Correction de l interrogation de mathématique 1 BMV Octobre 2012

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1 Correction de l interrogation de mathématique 1 BMV Octobre 2012 s données par question La valeur sur fond jaune correspond à la réponse correcte Code Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6 Q7 Q8 Q9 Q10 Q11 Q12 Q13 Q14 Q15 Q16 A B C D E F Blanc Distribution des résultats 1 Fréq. rel. cum. 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 Fréq. rel. cum. 0,3 0,2 0,

2 1a. Calculez l intégrale I de 2*x*sin[ln(x² + 1)]/(x² + 1) pour x compris entre -3 et 2? a. 0 car la fonction est impaire! b. cos(ln(10)) cos(ln(5)) c. sin(ln(10)) sin(ln(5)) d. ln[cos(10)/cos(5)] e. Cette fonction n est pas intégrable dans cet intervalle f. Aucune des réponses proposées Comme la fonction (x² + 1) apparait deux fois dans l expression, et que sa dérivée (2*x) est également présente, il est sans doute judicieux de poser : La primitive devient alors : u = x² + 1 => du = 2*x *dx Cette fois, il est apparent que la fonction y = ln(u) et sa dérivée y = 1/u font partie de l expression. On pose donc : y = ln(u) => dy = du/u La primitive, exprimée en fonction de y, devient donc : cos On peut réexprimer la primitive en fonction de x pour calculer l intégrale (ou, alternativement, transformer les bornes sur x en bornes sur y). On obtient : L intégrale vaut donc : Ce qui correspond à la réponse (b). cos²

3 2a. Déterminez l équation de la droite D tangente à la (demi-)ellipse d équation : ² en x = -3. a. Il s agit d une droite horizontale d équation y = 2 b. Il s agit d une droite verticale d équation x = -3 c. y = 1.5*x d e f. Aucune des réponses proposées. On peut commencer par calculer le point de la demi ellipse qui a pour abscisse x = -3. Ce point P est : , 3, 3 3 Comme la droite recherchée est tangente à l ellipse en ce point P, sa pente est égale à la valeur de la dérivée y(x) en x = -3. La dérivée vaut : ² Et donc la pente vaut : 3 L équation de la droite est donc : Soit : 3 3 Ou encore : Ce qui correspond à la réponse (d)

4 3a. Calculez la valeur de p pour que les 2 paraboles (y 4*x² + p*x - 2 = 0) et (y p*x² + 3*x 4 = 0) aient le même sommet, mais soient de concavités opposées (une est tournée vers le haut, et l autre vers le bas) a. 2 3 b. 2 3 c. p = 0 d. aucune valeur possible e. p = -13/5 f. Aucune des réponses proposées Pour que les sommets S 1 et S 2 soient identiques, il faut que (x 1, y 1 ) = (x 2, y 2 ), ce qui conduit au système x 1 = x 2 et y 1 = y 2. Commençons par l égalité des abscisses. L abscisse x S du sommet d une parabole d équation y = a*x² + b*x + c est donnée par x S = -b/(2*a). En réécrivant les deux paraboles sous cette forme canonique, on a : y = 4*x² - p*x + 2 et y = p*x² - 3*x + 4, et on peut donc écrire : Ce qui conduit aux deux valeurs possibles 12 et à l abscisse du sommet commun : Comme les deux paraboles doivent être de concavités contraires, il faut que le coefficient a des 2 paraboles soient de signe différent, ce qui nécessite que 12. Plaçant cette valeur dans l équation des 2 paraboles pour obtenir y 1 et y 2, on constate que y 1 y 2. Par conséquent, il n y a pas de valeur de p qui permette de faire coïncider les deux sommets (réponse (d)).

5 4a. Combien vaut la dérivée de f(x) = arcsin[exp(2*x² + y)] par rapport à x? a. f (x) = arcos[exp(2*x 2 + y)] b. f (x) = 4*x*arcos[exp(2*x 2 + y)] c. f (x) = 4*x*exp(2*x 2 + y)*arcos[exp(2*x 2 + y)]. d. f (x) = 4*x /1 4 ² 2 e. f (x) = 4*x*exp(2*x 2 + y)/1 4 ² 2 f. Aucune des réponses proposées. Il s agit de la dérivée d une fonction de fonction. Posons : u = exp (2*x² + y), on écrit alors : f(u) = arcsin(u) => u est également la dérivée d une fonction de fonction. Posons : v = 2*x² + y, on a alors : u(v) = exp(v) => et ² 4 Rassemblant les différents facteurs, on obtient donc : f (x) = 4*x*exp(2*x 2 + y)/1 4 ² 2 qui est la réponse (e).

6 5a. Trouver la valeur de y correspondant à un maximum pour la fonction ² a. y = -1 b. y = 0 c. y = 1 d. y = 2 e. Plusieurs solutions sont possibles f. Aucune des réponses proposées Il faut d abord remarquer que cette fonction n est définie que quand la racine est calculable, c est-à-dire quand (5 4*x x²) est positif. Comme il s agit de l équation d une parabole tournée vers le bas, la fonction n est positive qu entre les racines si ces dernières existent. Calculant = (b² - 4*a*c) pour cette parabole, on obtient = 36, et il y a donc 2 racines (en x = -5 et x = 1). Par ailleurs, la fonction sera maximale quand la parabole atteindra son sommet, ce qui se produit juste au milieu des 2 racines, soit en x = -2. La valeur de la fonction est alors : La bonne réponse est donc la réponse (d). Bien entendu, on aurait pu rechercher de manière classique la valeur de x qui annulait la dérivée.

7 6.a A une constante près, combien vaut la primitive P de f(x) = 2*x*cos(x²) /[1+sin²(x²)]? a. P = 1 + sin²(x²) b. P = ln[1 + sin²(x²)] c. P = arctg[1+sin²(x²)] d. P = arctg[sin²(x²)] e. P = arctg[sin(x²)] f. Aucune des réponses proposées Il faut remarquer ici que la dérivée de sin(x²) est 2*x*cos(x²), qui est le numérateur de cette fonction. Par conséquent, écrivant g(x) = sin(x²), la fonction pourrait s écrire : f(x) = g (x)/(1 + g²(x)) qui est la dérivée de arctg(g(x)). Par conséquent, la primitive recherchée est : P(x) = arctg(g(x))+ k = arctg(sin(x²)) + k (réponse (e)).

8 7.a Combien vaut le premier terme non nul du développement en série de f(x) = x²*tg(2*x) autour de x = 0? a. 10*x³ b. 5/3*x³ c. 2*x*tg(2*x) + 2*x²/cos²(2*x) d. 10 e. Pas de terme non nul! f. Aucune des réponses proposées Il faut calculer les dérivées successives de f(x), puis leur valeur en x = 0. f(x) = x²*tg(2*x) => f(0) = 0 f (x) = 2*x*tg(2*x) + 2*x²/cos²(2*x) => f (0) = 0 f (x) = 2*tg(2*x) + 8*x/cos²(2*x) + 8*x²*sin(2*x)/cos³(2*x) => f (0) = 0 f (x) = 4/cos²(2*x) + 8/cos²(2*x) + termes en x et x² => f (0) = 12 On peut donc calculer le premier terme non nul du développement en série de Mac-Laurin, qui est donc : 0 2 3! Cette solution n est pas proposée (réponse(f)).

9 8.a Quelle(s) valeur(s) le paramètre k peut-il prendre pour que le reste de la division du polynôme P(w) = 27*w³ + 54*w² + 18*k*w + 9 par (3*w + k) soit exact? a. k = 3*w + 1 b. k = 9 c. k = -1 ou k = 0 d. k doit être un multiple de 3 e. Aucune valeur de k n est possible f. Aucune des réponses proposées Comme le dividende est du troisième degré et le diviseur du premier, le quotient sera du second. De plus, le reste sera nul pour que la division soit exacte. On peut donc écrire : 27*w³ + 54*w² + 18*k*w + 9 = (3*w + k)*(a*w² + b*w + c) En identifiant les coefficients des différentes puissances de w, on obtient un système de 4 équations à 4 inconnues (a, b, c, k), dont nous allons tirer k : La première équation fournit (a = 9). La seconde donne (b = 18 3*k). La dernière donne (c = 9/k). Remplaçant b et c dans l équation 3, on obtient : 27/k + k*(18 3*k) = 18*k Eliminant 18*k dans les deux termes, il reste : 27/k 3*k² = 0 => k³ = 9. La solution est donc la solution (b), k = 9.

10 9.a Trouvez la valeur de α pour que la fonction f(x) = x² + 6 puisse être utilisée comme une densité de probabilité de la variable aléatoire x dans [S - α, S + α] où S est la valeur de x correspondant au sommet de la parabole. (Truc : l intégrale sur l intervalle vaut 1) a. α b. α c. α d. α e. Une parabole ne peut pas être utilisée comme une densité de probabilité. f. Aucune des valeurs proposées Le sommet de la parabole a pour abscisse x S = -b/(2*a) = 0. L intervalle d intérêt est donc [-α, α]. La primitive de f(x) vaut P(x) = x³/3 + 6*x + k. L intégrale sur l intervalle vaut donc : α³/3 + 6*α + k - (-α)³/3 6*(-α) k = 2*α³/3 + 12*α = 1 Il n est pas évident de résoudre cette équation du troisième degré en a, mais il y en en tous cas (au moins) une solution. On peut tester les différentes valeurs proposées : la valeur α est clairement trop grande car 2*α³/3 + 12*α > 2*5³/3 + 12*5 >> 1 idem pour α Aucune des 2 autres valeurs proposées ne permet de résoudre l équation (2*0.247³/3 + 12*0.247 = 2.97 et 2*0.548³/3 + 12*0.548 = 6.686). Remarquez toutefois que la fonction proposée est néanmoins éligible comme densité de probabilité, étant positive sur l intervalle [-α, α] quel que soit α, puisque cette fonction est toujours positive. En réalité, la valeur de α qui permet d obtenir l égalité est α La réponse correcte est donc la réponse (f).

11 10.a Quelle valeur positive de k permet aux deux paraboles x²/5 + y/10 = 1 et x²/2 - y/16 = 1 k*x de se couper en un seul point : a b. k = 0 c. 65/4 d. Ces deux paraboles ne se coupent jamais e. Ces deux paraboles se coupent toujours en 2 points f. Aucune des solutions proposées Les deux paraboles se coupent quand, pour une même valeur de x, les y sont également identiques. On peut réécrire les deux équations sous la forme habituelle : y 1 = 10 2*x² et y 2 = 8*x² - 16*(1 k*x). En égalant les valeurs de y, on obtient une équation du second degré en x : 10 2*x² = 8*x² - 16*(1 k*x) => 10*x² + 16*k*x 26 = 0 On peut calculer = (b² - 4*a*c) pour cette équation, ce qui donne : = 256*k² - 4*10*(-26) = *k² Cette expression est positive, quelle que soit la valeur de k. Par conséquent, il y a toujours 2 solutions (réponse (e)).

12 11.a Soient deux vecteurs A( 3, 1, 1) et B(0,-2, 1). Quel angle α forment ils dans le plan XY? a. α = arctg(3) b. α = arctg(1/3) c. α = arctg(1/3) + π/2 d. α = arctg(1/3) - π/2 e. α = 0 (les vecteurs sont parallèles) f. Aucune des solutions proposées Les coordonnées des deux vecteurs dans le plan XY sont obtenues simplement en supprimant la coordonnée selon l axe Z, soit A (3, 1) et B (0,-2). Le dessin de ces deux vecteurs permet de répondre de manière directe à la question : O A C θ B π/2 L angle B OC vaut π/2. Par ailleurs, dans le triangle A OC, tg(θ) = tg(a OC) = A C/OC = 1/3, et donc θ = arctg (1/3). La bonne réponse est donc la réponse (c).

13 12.a Combien vaut la norme (la longueur) du vecteur C résultant du produit vectoriel des deux vecteurs A( 3, 2, 1) et B(-1, -2, 1)? a. C = 0 b. C = -2 c. C = 6 d. C = 4* 3 e. C = 14 6 f. Aucune des propositions Le produit vectoriel vaut : C = (2*1 1*(-2), 1*(-1) 3*1, 3*(-2) 2*(-1)) = (4, -4, -4). La norme (euclidienne) de ce vecteur est donc : La réponse correcte est donc (d).

14 13.a Combien vaut le minimum de la fonction f(x) = e (2-3*x) *sin(2-3*x) entre 0 et 1? a. x = (π + 8) / 12. b. f(0) car la fonction est strictement croissante dans cet intervalle c. f(1) car la fonction est strictement décroissante dans cet intervalle d. f(x) = e. f(x) = f. Aucune des solutions proposées Pour trouver la valeur de x pour laquelle la fonction est minimale, il faut résoudre l équation obtenue en annulant la dérivée de f(x). La dérivée vaut : 3 sin2 3 3 cos2 3 3 sin2 3 cos2 3 Le premier facteur n est nul que quand x tend vers l infini, et f(x) tend vers 0 dans ce cas. Le second est nul quand sin2 3 cos2 3, ce qui signifie que tg2 3 1, ce qui a lieu quand 2 3 x π/4, soit quand. Remplaçant x par sa valeur dans la fonction, on peut calculer la valeur de la fonction : La bonne réponse est (d).

15 14.a Suite à des problèmes techniques sur la ligne, un train parcourt la première moitié d un trajet à 80 km/h, le tiers suivant à 40 km/h, et enfin le dernier sixième à 60 km/h. Quelle est sa vitesse moyenne? a. v = 60 km/h b. v = 63,33 km/h c. v = 57,6 km/h d. v = 80 km/h e. v = 40 km/h f. Aucune des réponses proposées. Soit d la distance parcourue. Calculons le temps mis pour chaque partie du trajet : t 1 = (d/2)/80, t 2 = (d/3)/40 et t 3 = (d/6)/60. Le temps total de parcours est donc : Par conséquent, la vitesse moyenne est : km/h. La réponse correcte est (c).

16 15.a Avec quelle expression peut on égaler sin 4 (2*x)? a. 16*sin 4 (x) + 32*sin 6 (x) + 16*sin 8 (x) b. 16*cos 4 (x) 32*cos 6 (x) + 16*cos 8 (x) c. 16*cos 4 (x) 32*sin 6 (x) + 16*cos 8 (x) d. 16*sin 4 (x) 32*cos 6 (x) + 16*sin 8 (x) e. 16*sin 4 (x) + 32*sin 6 (x) + 16*sin 8 (x) f. Aucune des réponses proposes sin 4 (2*x) = [ 2*sin(x)*cos(x) ] 4 = 16*sin 4 (x)*cos 4 (x) = 16*(1 - cos 2 (x))*(1 - cos 2 (x))*cos 4 (x) = 16*(1 + cos 4 (x) 2*cos 2 (x))*cos 4 (x) = 16*cos 4 (x) 32*cos 6 (x) + 16*cos 8 (x). On obtient donc la réponse (b).

17 16.a Combien vaut l'intégrale I de cos(x)*ln(sin(x)) entre x = π/4 et x = π/2? a. I = 0 b. 1 c. 1 d. 1 1 e. 1 1 f. Aucune des réponses proposées. On peut résoudre par partie, en posant : du = cos(x)*dx => u = sin(x) v = ln(sin(x)) => dv = cos(x)/sin(x)*dx La primitive devient (à une constante près): P(x) = sin(x)*ln(sin(x)) - cos(x)*dx = sin(x)*ln(sin(x)) sin(x) = sin(x)*[ln(sin(x)) 1] L intégrale vaut donc : qui est donc la réponse (e).