EQUATION CARTESIENNE D UNE DROITE DU PLAN EUCLIDIEN. APPLICATION A L ETUDE D INEQUATIONS

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1 ylvain ETIEE 00/004 EQUTIO CRTEIEE D UE DROITE DU PL EUCLIDIE PPLICTIO L ETUDE D IEQUTIO DE L FORE acost bsint c iveau : Terminale Pré-requis : Vecteurs Définition vectorielle d une droite Fonction sinus et cosinus ous nous plaçons dans le plan affine euclidien P muni d un repère orthonormal ( Oe, 1, e R = ), et nous noterons P le plan vectoriel associé C désignera le cercle trigonométrique de rayon 1 I ITRODUCTIO Il existe plusieurs manières de caractériser une droite : de façon vectorielle et de façon paramétrique ous allons donner ici une nouvelle caractérisation qui est l équation cartésienne Cette nouvelle caractérisation nous permettra de résoudre de façon plus simple des inéquations, comme les inéquations trigonométriques Le plan choisi est celui donné par l intitulé II EQUTIO CRTEIEE D UE DROITE DU PL Théorème 1 : oit D une droite du plan abc,, ) ab, ( 0, 0 ) ( x, P ax by c= 0 abc,, ) ab, ( 0, 0) D = { ( x, / ax by c= 0} est une droite du plan de vecteur directeur u( b,a) Il existe ( avec tel que :, Réciproquement, pour ( avec, Définition 1 : L équation ax by c= 0 est appelée équation cartésienne de D α oit D = D( u, ) avec ( x, y ) un point de la droite et u un vecteur directeur β oit ( x, P ous avons les équivalences suivantes : D, u sont colinéaires, det, u = 0, ( e, e ) 1 Page 1

2 ylvain ETIEE 00/004 x x α = 0, y y β β x ( α) y ( α y β x) = 0 Or ( αβ, ) ( 0, 0 ), donc D = { ( x, / ax by c= 0} Réciproquement, considérons ( x, vérifiant ax by c= 0 avec ( ab, ) ( 0, 0) Comme ( ab, ) ( 0, 0 ), il existe ( x, vérifiant ax by c= 0 ax by c= ax by c a( x x ) b( y y ) = 0 insi, il vient, ie : Cette b dernière égalité signifie que les vecteurs et u sont colinéaires a ous obtenons l équation de la droite D u, Remarque 1 : Cette écriture n est pas unique En effet, il suffit de multiplier par une constante non nulle pour s en apercevoir Proposition 1 : Deux équations ax by c= 0 et ax by c= 0 représente la même droite si et seulement si elles sont proportionnelles La réciproque étant évidente, regardons le sens direct i les équations ax by c= 0 et ax by c= 0 représente la même droite, alors b b les vecteurs u et u seront colinéaires : soit k tel que ( ab, ) = k( a, b ) a a c c upposons que b soit non nul, alors le point 0, D De plus, de a 0 b c = 0, nous tirons c= kc et ainsi : ( abc,, ) = k( a, b, c ) Remarque : a c upposons b 0 lors ax by c= 0 y= x y= mx p avec ( mp, ) b b Cette dernière égalité est appelée équation réduite de D Elle est unique et m s appelle le coefficient directeur de D et p l ordonnée à l origine III ETUDE D IEQUTIO TRIGOOETRIQUE ous cherchons, dans ce paragraphe, à résoudre (si c est possible!) une inéquation du type acost bsin t c, avec ( abc,, ) tel que ( ab, ) ( 0, 0), que nous noterons () 1 oit Γ son ensemble de solutions qui peut être éventuellement vide Page

3 ylvain ETIEE 00/004 oit ( abc,, ) tel que ( ab, ) ( 0, 0) Pour la suite de la leçon, nous posons : f :, et D la droite d équation f ( x, y ) = 0 xy, ax byc, (, P Γ f oit x est équivalent à : x, y 0 et x y 1 = ( ) L inégalité f x,y 0 demande un résultat préalable sur le régionnement du plan par une droite De plus, une discussion s impose car t, cost 1 et sin t 1 ; l inéquation n aura pas toujours de solution Par exemple, si a = b= 1 et c =, nous n avons pas de solution Pour répondre à cette discussion, nous devons mettre en place la notion de distance d un point à une droite ) REGIOEET DU PL PR UE DROITE Théorème : La droite D d équation f x, y = 0 partage le plan P en deux demi-plans ouverts : P = { ( x, P / f ( x, > 0 } et P = { ( x, y ) P / f ( x, y ) < 0} ous avons : -i- P = P D P (réunion disjointe) -ii- (, ) de P (resp P ), le segment [ ] est dans P (resp P ) Les demiplans P et P sont dits connexes -iii- (, ) P P, le segment [ ] coupe la frontière D en un seul point -i- Evident -ii- oit ( x, y ) P et ( x, y ) P oit ( x, y ) [ ] oit λ [0,1] tel que (, ) = ( x, y ) ( )( x y ) x y λ 1 λ, ous avons alors : ax by c a x x b y y c = ( λ ( 1 λ) ) ( λ ( 1λ) ), = λ( ax by c) ( 1 λ)( ax by c) > 0 ( x, y ) P ( x, P [ 0,1] ( λ ( 1 λ) ) ( λ ( 1λ) ) = λ( ) ( ax by c) -iii- oit et oit λ a x x b y y c ax by ax by Le membre de droite est une équation linéaire en λ, dont le coefficient est non nul, donc admet une unique solution En effet, ax by c> 0 et ax by c >, d où le résultat De plus, la quantité ( ax by c) a( x x) b( y ( x ) b( y y ) ( a 0 est bien positive par ce qui précède et est inférieure à 1 car a x by c ax by c et la dernière inégalité est vraie x ) Page

4 ylvain ETIEE 00/004 B) DITCE D U POIT UE DROITE Proposition : oit x, P La distance du point à la droite est : ax by c d(, D ) = a b a oit H( x H, y H) le projeté de sur la droite D Le vecteur v est orthogonal à la droite D H v a( xh x ) b( yh y ) ous avons alors : d(, D ) = H = = Or H D v a b ax by c donc vérifie l équation : axh byh c= 0 ; d où : d(, D ) = a b C) RETOUR L IEQUTIO En terme d ensemble, et en gardant les notations précédentes, ( devient : Γ= P D C c otons d = d ( O, D ) = a b i d > 1, la droite D et le cercle C ne se coupent pas et il y a deux cas de figure : ou bien, la solution de l inéquation de départ est l ensemble vide, ou bien c est le cercle trigonométrique dans son ensemble Pour trancher, nous utilisons le point -ii- et -iii- du théorème En effet, si O, par exemple, appartient à P D, alors tout réel t satisfait () l inéquation 1 (la réciproque est évidente!) Or O P D c < 0 i d 1, la droite D et le cercle C se coupent, éventuellement en un point Dans ce cas, Γ sera un arc de cercle (éventuellement réduit à un seul point!) d extrémités les intersections de la droite D et le cercle C D) EXEPLE 1) Résoudre sin t 0 ous avons a = 0, b = 1, c= L inéquation sin t 0 n a pas de solution par ce qui précède ous avons d = > 1 et c > 0, donc Γ= ) Page 4

5 ylvain ETIEE 00/004 ) Résoudre 4costsint5 0 En multipliant par ( 1), nous devons résoudre 4cost sin t 5 0, ce qui donne a =4, b=, c=5 ous avons : 5 5 d = = > 1 et c < 0, donc Γ=C 4 ) Résoudre cost sint 1 1 ous avons a =, b = 1, c= 1 D où d = 1 Il faut donc chercher les points d intersection de la droite D 1 : x y1 avec le cercle trigonométrique C ous devons donc résoudre le système : x y = 1, x y = 1 ous trouvons : x ( 1 x) ( x =1, d où 1, 0,1,, La réciproque est évidente 1 oit ( 0,1 ), B,, alors Γ= B, arc de cercle contenu dans P D = { ( x, \ x y 1} ous π π aurons alors Γ= kπ, kπ k 6 x x = 0 et x y =1, ie : IV COCLUIO ous avons donné une nouvelle caractérisation de droite qui est unique à coefficient multiplicatif près Cette forme nous permet de résoudre des inéquations tels les inéquations trigonométriques, dont le problème est à rapprocher du problème de position relative d un cercle par rapport à une droite Page 5