Chapitre IV : Problèmes à un degré de liberté

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1 Chapitre IV : Problèmes à un degré de liberté I Forces conservatives I-1) Définition I-2) Propriété principale I-3) La force de pesanteur I-4) La force de rappel I-5) Forces non conservatives II Energie potentielle II-1) Energie potentielle II-2) Exemples de champs conservatifs II-2-1 Le champ de pesanteur II-2-2 La force de rappel II-2-3 Les champs newtoniens III Théorème de l énergie mécanique III-1) Définition de l énergie mécanique III-2) Théorème de l énergie mécanique III-3) Conservation de l énergie mécanique IV Equilibre d un point et condition de stabilité IV-1) Equilibre stable d un point matériel IV-2) Discussion qualitative d un mouvement conservatif à un degré de liberté V Notion d oscillateur harmonique V-1) Au voisinage d une position d équilibre V-2) Exemples d oscillateurs harmoniques V-2-1 le ressort vertical V-2-2 le pendule simple V-3) Régime libre V-3-1 Evolution de x(t) V-3-2 Aspects énergétiques V-4) Portrait de phase de l oscillateur harmonique V-4-1 Définition V-4-2 Propriétés V-4-3 Cas de l oscillateur harmonique VI Régimes libres de l oscillateur harmonique amorti VI-1) Position du problème VI-1-1 Force visqueuse VI-1-2 Résistance d un fluide VI-1-3 Mise en équation VI-2) Les différents régimes libres VI-2-1 Equation caractéristique VI-2-2 Le régime pseudo-périodique VI-2-3 Le régime critique VI-2-4 Le régime apériodique VI-3) Aspects énergétiques VI-3-1 Interprétation énergétique de l amortissement VI-3-2 Interprétation énergétique du facteur de qualité VI-) Le portrait de phase VI-4-1 Cas de l oscillateur faiblement amorti VI-4-2 Traitement numérique des divers régimes VI-4-3 Oscillateur amplifié L.PIETRI Cours de Mécanique Première année Page 47

2 Chapitre IV : Problèmes à un degré de liberté Introduction Après avoir introduit l énergie potentielle et le théorème de l énergie potentielle on étudiera le problème de la stabilité d un système à un degré de liberté. Pour finir on s intéressera au cas de l oscillateur harmonique amorti en régimes libres L.PIETRI Cours de Mécanique Première année Page 48

3 I Forces conservatives I-1) Définition I-2) Propriété principale I-3) La force de pesanteur L.PIETRI Cours de Mécanique Première année Page 49

4 I-4) La force de Rappel Avec le modèle de Hooke : Expression qui montre que la force de rappel est une force conservative. I-5) Forces non conservatives II Energie potentielle II-1) Définition On définit l énergie potentielle d un champ de forces conservatifs par : ur r de = F C. dr = δw p C L.PIETRI Cours de Mécanique Première année Page 5

5 II-2) Exemples de champs conservatifs II-2-1 Le champ de pesanteur Soit : ur uuuur uur uur uur uur dep = P. dom = [ mge.( dxe + dye + dze )] = mgdz M D ' où Ep(M)-Ep()= mgdz = mgz Ep( M ) Ep() = mgz z x y z II-2-2 La force de rappel élastique II-2-3 Les champs newtoniens III Théorème de l énergie mécanique III-1) Définition de l énergie mécanique L.PIETRI Cours de Mécanique Première année Page 51

6 III-2) Théorème de l énergie mécanique III-3) Conservation de l énergie mécanique L.PIETRI Cours de Mécanique Première année Page 52

7 IV Equilibre d un point et condition de stabilité IV-1) Equilibre stable d un point matériel L.PIETRI Cours de Mécanique Première année Page 53

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9 IV-2) Discussion qualitative d un mouvement conservatif à un degré de liberté L.PIETRI Cours de Mécanique Première année Page 55

10 (1) est une solution bornée alors que (2) diverge. L équilibre est stable si l énergie potentielle est minimale, instable si l énergie potentielle est maximale. L.PIETRI Cours de Mécanique Première année Page 56

11 V Notion d oscillateur harmonique V-1) Au voisinage d une position d équilibre V-2) Exemples d oscillateurs harmoniques V-2-1 le ressort vertical L.PIETRI Cours de Mécanique Première année Page 57

12 V-2-2 le pendule simple V-3) Régime libre V-3-1 Evolution de x(t) L.PIETRI Cours de Mécanique Première année Page 58

13 V-3-2 Aspects énergétiques V-4) Portrait de phase de l oscillateur harmonique V-4-1 Définition L.PIETRI Cours de Mécanique Première année Page 59

14 V-4-2 Propriétés L.PIETRI Cours de Mécanique Première année Page 6

15 V-4-3 Cas de l oscillateur harmonique VI Régimes libres de l oscillateur harmonique amorti VI-1) Position du problème VI-1-1 Force visqueuse Il existe deux modèles de forces de frottement : ur r - le cas linéaire : f = hv souvent utilisé pour les faibles vitesses. ur r - Le cas quadratique : f = hvv souvent utilisé pour les fortes vitesses. En fait f=-hv α où α varie entre et 3. VI-1-2 Mise en équation Considérons un projectile de masse m assujetti à se déplacer sur l'axe Ox qui subit la force r r visqueuse -hv et la force de rappel -kx d²x dx D ' où m = h kx dt² dt d²x h dx k + + x = dt² m dt m 2 k Posons ω = où ω est la pulsation propre du circuit m h ω et = où Q est la facteur de qualité du problème. m Q d²x ω dx 2 mω ω x = où Q= = km dt² Q dt h h On peut aussi écrire l'équation différentielle en introduisant le facteur d'amortissement λ tel que : h m ω Q d²x dt² dx dt 2 2 λ= = + 2λ + ω = x L.PIETRI Cours de Mécanique Première année Page 61

16 VI-2) Les différents régimes libres VI-2-1 Equation caractéristique On a donc affaire à une équation différentielle linéaire amortie du second ordre à termes constants. On cherche les solutions de l équation différentielle sous : x(t)=ae rt Or d²x/dt²=r²x et dx/dt=rx d où : r²x+2λrx+ω ²x= Ceci doit être vérifié pour tout x d où : r²+2λr+ω ²= équation caractéristique Suivant le signe du discriminant =4λ²-4ω 2 on aura trois régimes différents = 4( λ² ω ) = 4 ω ( 1) 4 Q² 1 D ' où = λ = ω Q = 2 1 = Q = régime critique 2 1 > Q < régime apériodique 2 1 < Q > régime pseudo-périodique 2 VI-2-2 Le régime pseudo-périodique L.PIETRI Cours de Mécanique Première année Page 62

17 VI-2-3 Le régime critique VI-2-4 Le régime apériodique VI-3) Aspects énergétiques VI-3-1 Interprétation énergétique de l amortissement L.PIETRI Cours de Mécanique Première année Page 63

18 VI-3-2 Interprétation énergétique du facteur de qualité VI-1) Le portrait de phase VI-4-1 Cas de l oscillateur faiblement amorti L.PIETRI Cours de Mécanique Première année Page 64

19 VI-4-2 Traitement numérique des divers régimes VI-4-3 Oscillateur amplifié L.PIETRI Cours de Mécanique Première année Page 65

20 L.PIETRI Cours de Mécanique Première année Page 66

21 Annexe mathématique : Les solutions des équations différentielles classiques en physique Type d équations linéaires Sans second membre Avec second membre Equations du premier &x= x=b &x = a x(t)=at+b ordre x& + x/ τ = x(t)=ae -t/τ x& + x/ τ = h/ τ x(t)=ae -t/τ +h Equations du second &&x= x(t)=bt+c &&x = a x(t)=½at²+bt+c ordre Oscillateur harmonique 2 &&x + ω x= x(t)=acos(ω t)+bsin(ω t) 2 2 &&x + ω x= ω h x(t)=acos(ω t)+bsin(ω t)+h Les solutions hyperboliques Oscillateur harmonique amorti Régime pseudopériodique: Q>1/2 λ<ω =acos(ω t+ϕ) =A e jω t +B e -jω t 2 &&x ω x= x(t)=ach(ω t)+bsh(ω t) =ach(ω t+ϕ) =A e ω t +B e -ω t 2 && x+ 2λx& + ω x= x(t)=e -λt [Acos(ωt)+Bsin(ωt)] =ae -λt cos(ωt+ϕ) = e -λt [A e jωt +B e -jωt ] où ω= ω 2 λ² =acos(ω t+ϕ)+h =A e jωt +B e -jωt +h 2 2 && x+ ω x= ω hcos( ωt) x(t)=acos(ω t)+bbsin(ω t)+ccos(ωt) =acos(ω t+ϕ)+ccos(ωt) =A e jωt +B e -jωt +ccos(ωt) 2 2 &&x ω x= ω h x(t)=ach(ω t)+bsh(ω t)+h =ach(ω t+ϕ)+h =A e ωt +B e -ωt +h 2 2 && x ω x= ω hcos( ωt) x(t)=ach(ω t)+bsh(ω t)+ccos(ωt) =ach(ω t+ϕ)+ccos(ωt) =A e ω t +B e -ω t +ccos(ωt) 2 2 && x+ λx& + ω x= ω h 2 x(t)=e -λt [Acos(ωt)+Bsin(ωt)]+h =ae -λt cos(ωt+ϕ)+h = e -λt [A e jωt +B e -jωt ]+h 2 Régime critique: && x+ 2λx& + ω x= x(t)=e -λt 2 2 [at+b] && x+ 2λx& + ω x= ω h x(t)=e -λt [at+b]+h Q=1/2, λ=ω 2 Régime apériodique: && x+ 2λx& + ω x= x(t)=e -λt [ae ωt +be -ωt 2 2 ] && x+ 2λx& + ω x= ω h x(t)=e -λt [ae ωt +be -ωt ]+h Q<1/2 λ>ω 2 2 Excitation sinusoïdale && x+ 2λx& + ω x= ω h cos(ωt) x(t)=x régime libre +x régime permanent où x régime permanent =ccos(ωt+ψ) Remarques : 1 ) a, b, A, B, A, B et ϕ sont des constantes déterminées par les conditions initiales sur x & dx/dt par exemple. 2 ) c & ψ sont des constantes déterminées en utilisant la notation complexe du régime forcé. 3 ) En ce qui concerne l oscillateur harmonique : - x(t)=acos(ωt+ϕ)=acosϕcos(ωt)-asinϕsin(ωt)=acos(ωt)+bsin(ωt) où A=acosϕ & B=-asinϕ. - x(t)=a/2.(e jωt +e -jωt )+B/2j.(e jωt -e jωt )=A e jωt +B e -jωt où A =(A-jB)/2=ae -jϕ /2 & B =(A+jB)/2=ae jϕ /2. On vient bien ainsi que les trois solutions sont équivalentes. L.PIETRI Cours de Mécanique Première année Page 67

22 VI-2) Les différents régimes libres VI-4) Le portrait de phase L.PIETRI Cours de Mécanique Première année Page 68