Transformation de Fourier

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1 Transformation de Fourier IV 1 - Convolution a. Système de convolution. b. Principe de la convolution. c. Définition. d. Exemples. IV - Transformation de Fourier a. Définition. Théorème d inversion. b. Exemples. c. Convolution. 1. d. TF dans L L Transformation de Fourier 1

2 IV 1 a - Système de convolution. X : e f s Définition : Un système de convolution X est * linéaire. * continue. * invariant par translation. Inconnue Théorème : Tout système de convolution vérifie s = e * f ( ) = ( ) ( ) s t e t u f u du Sous réserve d existence e * f = f * e. f est dite réponse impulsionnelle car f * δ = f. Dirac Transformation de Fourier

3 IV 1 b - Principe de la convolution. La transformation de Fourier de de Laplace opérent les transformations suivantes : e f s E F S de telle manière que : s = e * f S = E F Principe : S = EF F = S / E s = e f f * Réponse impulsionnelle Transformation de Fourier 3

4 IV 1 c - Définition. f * g t = f t u g u du t R. ( )( ) ( ) ( ) Théorème : f * g existe et appartient à L 1 si f et g sont dans ou dans. L 1 L Ce résultat est obtenu à l aide de l inégalité de Cauchy Schwarz et du théorème de Fubini. Transformation de Fourier 4

5 IV -1 d : Exemples. Exercice Calculer les carrés de convolution des signaux 1. f ( t) = e t. f ( t) 1 = 1 + t 3. f ( t) = 1 0 si ailleurs t T Transformation de Fourier 5

6 > f :=t -> exp(-t^); f := t e t > Int( f(t-u) * f(u), u=-infinity..infinity ) : "=value("); ( t u ) u π e e du = e 1 t Transformation de Fourier 6

7 > f := t -> 1 / (1+t^) : > Int( f(t-u)*f(u), u=-infinity..infinity) : value( " ) ; 1 ( 1 ( ) )( + t u 1 + u ) du pas de réponse > Int( f(t-u)*f(u), u=0..infinity) : value( " ) ; π 4 + t ln ( 1 + ) + ( t 4 + t ) t t arctan t > Int( f(t-u)*f(u), u=-infinity..0) + " : value( " ) ; π 4 + t Transformation de Fourier 7

8 > assume( T > 0) : f := t -> piecewise( t<t/ and t>-t/, 1, 0 ) ; T T f : = t piecewise t < and < t, 1, 0 > convert( f(t), piecewise, t ) ; T t T t T < t ATTENTION il faut décoder Transformation de Fourier 8

9 > Int( f(t-u)*f(u), u=-infinity..infinity ) ; 1 0 u T 0 T < and u < 0 otherwise 1 t u T < 0 and T t + u < 0 otherwise 0 du Nous exprimons ce produit selon la valeur de t. Les valeurs utiles sont : t = -T et t = T. Transformation de Fourier 9

10 > assume( t> T ) : Int(f(u)*f(t-u), u=-infinity..infinity ) : value( " ) ; 0 > assume( t<- T ) : Int(f(u)*f(t-u), u=-infinity..infinity ) : value( " ) ; 0 > assume( t< T, t>0 ) : Int(f(u)*f(t-u), u=-infinity..infinity ) : value( " ) ; T ~ t ~ > assume( t>- T, u<0 ) : Int(f(u)*f(t-u), u=-infinity..infinity ) : value( " ) ; T ~ + t ~ Transformation de Fourier 10

11 > assume( T>0 ) : g := t -> piecewise(t<-t, 0, t<=0, t+t, t<t, -t+t, 0 ) ; ( ) g: = t piecewise t < T, 0, t < 0, t + T, t < T, t + T, 0 > convert( g(t), piecewise, t) ; 0 t T ~ t + T ~ t 0 t + T ~ t < T ~ 0 T ~ t ATTENTION il faut décoder Transformation de Fourier 11

12 > T := : plot(g(t), t=-3..3, thickness=) ; Transformation de Fourier 1

13 IV a - Définition - Théorème d inversion. Définition : La TF F f du signal f L 1 est [ ] i π ν t [ ]( ν) = ( ) ( 1) F f f t e dt Théorème d inversion : La TFI f du signal F[ f ] L 1 est Nous admettons que : f t F f ν e d ν i π ν t ( ) = [ ]( ) ( ) [ f ]( ν) Lim F = 0 ν ± Transformation de Fourier 13

14 IV - b : Exemples. Exercice Déterminer les TF des signaux 1. f ( t) = 1 T 0 si ailleurs t T. g( t) t = e π 3. h( t) = sin t t Transformation de Fourier 14

15 Exemple 1 > assume( T>0 ) : f := t -> piecewise(t<-t/, 0, t<t/, 1/T, 0) ; f : = t piecewise t < T, 0, t < T,, 0 T > subs( T=Pi, f(t)) : plot( f(t), t=-pi.. Pi ) ; f est appelée fonction porte ou rectangle et est notée 1 t f ( t ) = rect T T Transformation de Fourier 15

16 > Int( f(t)*cos(*pi*t*nu), t=-t/..t/) : "=value( " ) ; f est paire et nulle à l extérieur 1 0 t < T ~ 1/ T ~ 1 1 sin t < T ~ cos( π t ν) dt = 1/ T ~ T ~ πt 0 otherwise > F := nu -> sin (Pi*T*nu) / (T*Pi*nu) ; ( πt ν) sin F := ν = sinc πt ν ( T ν) ( πt ~ ν) ~ ν Transformation de Fourier 16

17 > subs( T=Pi, F(nu)) : plot( F(nu), nu=-pi.. Pi ) ; Transformation de Fourier 17

18 > Int(F(nu)*cos(*Pi*t*nu), nu = -infinity.. infinity) : " = value( " ) ; ( πt ~ ν) cos( π t ν) sin dν = πt ~ ν 1 signum T ~ ( T ~ t) signum( T ~ t) > convert(-1/*(-signum(t+*t)+signum(-t+*t)) / T, piecewise, t) : Comparer la réponse au signal de départ. Transformation de Fourier 18

19 Exemple > g := t -> exp(-pi*t^) ; g:= t e - π t > plot( g(t), t= ) ; Remarquable > Int(g(t)*cos(*Pi*t*nu), t=-infinity..infinity) : " = value(") ; π t ( π ν) e cos t dt = e π ν Transformation de Fourier 19

20 IV c - Convolution. Théorème de Convolution : Si f et g sont dans f * g L 1 et L 1 alors [ f * g] = [ f ] [ g] ( 3) F F F Si de plus f g, F[ f ] F[ g] et L 1 alors [ f g] = [ f ]* [ g] ( 4) F F F La relation (3) permet de résoudre les équations de convolution cf IV 1 b. Transformation de Fourier 0

21 > assume( T > 0) : f := t -> piecewise( t<t/ and t>-t/, 1, 0 ) : T T f : = t piecewise t < and < t, 1, 0 > Int( f(t)*cos(*pi*t*nu), t=-t/..t/) : "=value( " ) ; T ~ T 1 t ~ 0 T ~ T ~ < 0 and t < 0 cos otherwise sin ( πt ~ ν) = π ν ( π t ν) dt Transformation de Fourier 1

22 > assume( T>0 ) : g := t -> piecewise(t<-t, 0, t<=0, t+t, t<t, -t+t, 0 ) ; ( ) g: = t piecewise t < T, 0, t < 0, t + T, t < T, t + T, 0 > Int( g(t)*cos(*pi*t*nu), t=-t..t) : "=value( " ) ; T ~ T ~ 0 t T ~ t + T ~ t 0 t + T ~ t < T ~ cos 0 T ~ t cos = ( π t ν) ( πt ~ ν) π ν dt 1 Transformation de Fourier

23 IV d - Transformée de Fourier dans L 1 L. Théorème de Parseval : Si f et g sont dans L 1 L F [ ] F[ ] f, g = f, g En particulier l énergie est alors [ ]( ) ( ) W f = F f ν dν = f t dt F[ f ] est le spectre du signal f. F[ f ]( ν) est la densité spectrale d énergie du signal f. Transformation de Fourier 3

24 IV - d : Vérifier pour les exemples du IV - b le théorème de Parseval ( ) = F[ f ]( ν) f t 1 T 0 si ailleurs t T ( ) e F[ g]( ν) g t = π t = e π ν = ( πt ν) sin πt ν Exercice ( ) F[ h]( ν) h t sin t = = t 0 π π 1 ν > π 1 ν < π 1 ν = π Transformation de Fourier 4

25 > Int( f(t)^, t = -infinity.. infinity) : " = value( " ) ; 1 0 t < T ~ 1 1 t < T ~ dt T ~ 0 otherwise = 1 T ~ > Int(F(nu), nu = -infinity.. infinity) : " = value( " ) ; ( T ) sin π ν 1 = π T ~ ν T ~ Transformation de Fourier 5

26 > Int( g(t)^, t = -infinity.. infinity) : " = value( " ) ; ( ) t e dt = > Int( h(t)^, t = -infinity.. infinity) : " = value( " ) ; π sin t ( t) > Int(H(nu), nu = -infinity.. infinity) : " = value( " ) ; 1 0 ν < π + 1/ π 1 π ν < dt = π 1/ π π 0 otherwise dt = π Transformation de Fourier 6