Term S Physique Chapitre 12. Systèmes mécaniques oscillants

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1 Ter S Physique Chapitre 1 Systèes écaniques oscillants

2 1 Généralités sur les systèes écaniques oscillants Pari les systèes écaniques, ceux qui ont un ouveent périodique de va-et-vient autour d une position d équilibre sont dits oscillants. C est le cas de tous les exeples précédents. 1.1 Différents régies d oscillations Le jouet d enfant, la lae du xylophone, la balançoire sont is en ouveent puis ils oscillent laissés à eux-êes : les oscillations sont dites libres. La ise en ouveent de l oscillateur résulte d un apport initial d énergie. Au cours du ouveent, les oscillations s aortissent et le ouveent finit par s arrêter. Par les frotteents (air, axe), le systèe transfère de l énergie à l extérieur. Les oscillations du balancier de l horloge sont entretenues par la chute du «poids», celles de la balançoire par la personne qui pousse régulièreent. Le «poids» de l horloge, la personne qui pousse la balançoire donnent au systèe oscillant l énergie nécessaire pour copenser l énergie transférée par les frotteents à l extérieur : l aortisseent des oscillations peut être ainsi supprié (copensé), on dit que les oscillations sont entretenues. Le ouveent oscillatoire de la ebrane du hautparleur (voir ci-contre) est iposé par le signal électrique du circuit de sa bobine dans l entrefer de l aiant, les oscillations des aortisseurs de la oto sont iposées par la succession régulière des déforations de la route : les oscillations sont alors dites forcées. Nous avons déjà rencontré le phénoène d oscillations libres (aorties, non-aorties, entretenues) lors de l étude du circuit RLC série en électricité (chapitre 8). 1. Différents types d oscillateurs écaniques Dans ce chapitre, nous étudierons les oscillations de pendules pesants constitués d un objet pouvant osciller autour d un axe fixe, coe, par exeple, la balançoire avec l enfant ou le balancier de l horloge. Les oscillations liées aux suspensions autoobiles, ou aux ouveents liés aux déforations d un ressort en général seront étudiées au chapitre suivant. Du pendule pesant au pendule siple.1 Description du pendule pesant Un pendule pesant est constitué d un solide pouvant osciller autour d un axe fixe Δ. Dans la représentation du pendule pesant, G est le centre d inertie du pendule et O le point correspondant à l intersection de l axe de rotation Δ avec le plan des oscillations de G. Si l on étudie le cas théorique d un pendule se déplaçant sans frotteent, le systèe défini par le pendule est alors souis à deux forces : son poids P et la force R exercée par l axe de la tige du pendule. La force R exercée sur la tige n a pas d effet sur la rotation du pendule car sa droite d action coupe toujours l axe de rotation Δ. En revanche, lors des oscillations, le poids P du pendule a un effet sur la rotation, d où le no de pendule pesant donné à cet oscillateur, qui oscille sous l action de son poids.. Les grandeurs caractéristiques..1 Position d équilibre Lorsque le point G est situé sur la verticale du point O au point Go, la droite d action de P coupe égaleent l axe Δ, et n a donc pas d effet sur le ouveent de rotation du pendule. Ainsi,

3 3 si le pendule est iobile dans cette position, il y reste si on l éloigne un peu de cette position, alors le poids P du pendule tend à l y raener : cette position est appelée position d équilibre du pendule O T O T Fig. 1 Le pendule est iobile dans sa position d équilibre : les forces poids et tension se copensent exacteent. G P P T G P PN Fig. La coposante norale du poids tend à raener le pendule à sa position d équilibre ; sa coposante tangentielle s oppose à a tension... Ecart à l équilibre et abscisse angulaire L écart à l équilibre est l angle foré par la position d équilibre du pendule et sa position à la date t. En choisissant une orientation du plan, l angle orienté correspondant à l écart à l équilibre peret de repérer sans abiguïté la position du pendule : on définit ainsi l abscisse angulaire coe l angle orienté t OG, o OG défini par la position d équilibre du pendule et sa position à la date t. t 3 O t t 1 sens direct.3 Etude des oscillations du pendule pesant Extrait 1 J ai pris deux boules, l une en plob et l autre en liège, celle-là au oins 100 fois plus lourde que celle-ci, puis j ai attaché chacune d elles à deux fils très fins tous deux de quatre coudées fixés par le haut. Puis les écartant alors de la position perpendiculaire, le les lâchais en êe teps [ ] ; une bonne centaine d allées et venues accoplies par les boules elles-êes, ont claireent ontré qu entre la période du corps pesant et celle du corps léger, la coïncidence est telle qu une fois sur ille vibrations coe sur cent, le preier n acquiert sur le second aucune avance, fut-ce la plus inie, ais que tous deux ont un rythe de ouveent rigoureuseent identique. Extrait Notez ici deux détails qui éritent d être connus. L un, c est que les vibrations de ce pendule se font nécessaireent et en des teps si déterinés qu il est absoluent ipossible de les faire accoplir en des teps différents, sauf à allonger ou raccourcir la corde ; vous pouvez aussi vous en assurer tout de suite par l expérience : accrochez une pierre à une ficelle dont vous tenez l autre bout en ain, et, essayez par tous les oyens que vous voudrez, sauf l allongeent ou le raccourcisseent de la ficelle d arriver à la faire osciller autreent que dans son teps déteriné : vous verrez que c est absoluent ipossible. L autre détail est vraient étonnant : le êe pendule fait ses vibrations avec la êe fréquence (du oins les différences sont très petites et presque iperceptibles), que les arcs sur cette circonférence soient très grands ou très petits. Je le déclare, que nous écartions d un, deux ou trois degrés seuleent ou bien de 70, 80, voire d un angle droit, une fois qu on l aura laissé en liberté, dans les deux cas les vibrations auront la êe fréquence [ ]. Galilée, Discours concernant deux sciences nouvelles.

4 4.3.1 Cas d un ouveent sans frotteent D après Galilée, l abscisse angulaire θ(t) du pendule fil-boule est une grandeur qui apparaît pratiqueent constante. Observer : Periode_pendule.swf ; Pendpesant.swf Période et aplitude θ θ 6T Si les forces de frotteent exercées sur le pendule pesant sont négligeables devant les autres forces, l abscisse angulaire θ(t) est une fonction périodique du teps. La durée d une oscillation du pendule pesant est constante et représente la période T du phénoène. Pour un phénoène oscillatoire, la période T représente la durée d une oscillation, ie. la durée entre deux passages consécutifs du pendule par la êe position et dans le êe sens. A chaque période, l abscisse angulaire atteint une êe valeur axiale θ appelée aplitude des oscillations du pendule. Isochronise des petites oscillations L étude de l influence de l aplitude des oscillations du pendule sur la valeur de la période T (voir extraits de Galilée) ontre que cette valeur augente de façon significative dès que l aplitude θ est supérieure à 0. Lorsque l aplitude des oscillations reste faible inférieure à 0, la période ne dépend pas de l aplitude θ : cette propriété est appelée «isochronise des petites oscillations» ; la période alors observée est appelée période propre T o du pendule..3. Cas d un ouveent avec des frotteents fluides Lorsque le pendule pesant est souis à des forces de frotteent fluide, son ouveent est alors aorti. Selon l iportance de l aortisseent, deux régies se présentent, le ouveent du pendule pesant est oscillatoire ais la valeur axiale de l abscisse angulaire diinue au cours du teps son ouveent n est plus oscillatoire Lorsque l aortisseent est faible, l enregistreent réalisé ontre que la valeur θ de l aplitude des oscillations diinue au cours du teps, ais que la durée d une oscillation reste constante. Ce régie d oscillations aorties est un régie pseudopériodique. Les résultats expérientaux ontrent que, si l aortisseent reste faible, la valeur de la pseudopériode d un pendule pesant est très voisine de celle de sa période propre T o.

5 5 Lorsque l aortisseent devient plus iportant, le ouveent du pendule cesse d être oscillatoire : le pendule atteint sa position d équilibre dans la dépasser. Ce régie est apériodique..4 Le odèle du pendule siple.4.1 Description du pendule siple Le odèle du pendule siple correspond à un objet ponctuel de asse fixé à l extréité libre d un fil de longueur constante L et de asse nulle. On considère qu un pendule pesant «réel» (coe le pendule fil-boule) peut être odélisé par un pendule siple lorsque : le pendule est foré d un fil inextensible, de asse très faible devant celle de l objet qui est suspendu l objet, dense, a de petites diensions devant la longueur du fil Exeple 1 : un pendule constitué d un fil de longueur L = 1,00 et d une sphère très dense de diaètre d =,0 c peut être odélisé par un pendule siple : sa longueur est 50 fois plus iportante que le diaètre de la boule. Exeple : le pendule de Foucault Il a été installé en 1851 sous le dôe du Panthéon à Paris pour ontrer le ouveent de rotation de la Terre autour de son axe. La sphère a un diaètre de 19 c et asse de 8 kg. Elle est suspendue à un fil de longueur 67. Le pendule oscille avec une période de 16,5 s. Ce pendule pesant peut-il être odélisé par un pendule siple?.4. Position d équilibre du pendule siple Etudions de l objet ponctuel du pendule siple dans le référentiel terrestre. D après le principe d inertie, à l équilibre, les deux forces qui s exercent sur l objet (son poids P et la tension du fil T ) sont opposées : la tension du fil est donc verticale, coe le poids. Cette condition est réalisée lorsque le fil tendu est vertical. A sa position d équilibre, le pendule siple est vertical, l objet étant en dessous du point d attache O..4.3 Période propre T o du pendule siple Les oscillations du pendule siple sont périodiques et on peut étudier l influence de paraètres sur la période des oscillations de faible aplitude. L = 1 sur Terre L = 4 sur Terre L = 4 sur la Lune

6 6 Influence des paraètres En un êe lieu, des pendules siples de êe longueur L, ais de asses différentes ont la êe période propre T o : la période propre T o d un pendule siple ne dépend donc pas de la asse du pendule. En un êe lieu, la période propre T o d un pendule siple dépend de la longueur L du pendule siple : T o augente quand L augente. La période propre T o d un pendule siple dépend de la valeur de l intensité g de la pesanteur du lieu de l expérience : To augente lorsque la valeur de g diinue. Expression de la période propre T o a)raisonneent par analyse diensionnelle On peut déteriner l expression de T o, à une constante ultiplicative près, par analyse diensionnelle. Pour cela, reprenons les trois paraètres dont peut dépendre a priori T o : la asse, la longueur L et l intensité g de la pesanteur du lieu. On peut exprier T o de la anière générale suivante, To C L g où C est une constante sans diension. Coe g a les diensions d une accélération, g L. T nous avons T C L g M L T o Par ailleurs, la diension de la période propre est celle d un teps, donc l égalité précédente est hoogène à une durée : T M L T ce qui conduit à d où l on tire Le fait que α = 0 indique bien que To ne dépend pas de la asse. Par ailleurs, nous pouvons dire que L 1 1 To C L g C g b)raisonneent epirique En faisant varier la longueur du pendule et en relevant la valeur de la période pour de petites oscillations, on peut tracer un graphe donnant T² en fonction de l (voir ci-dessous). L équation de cette droite est de la fore T C g l Nous en tirons donc C 4,0968 g

7 C 4, 09689,8 6,33 L étude athéatique coplète du odèle du pendule siple conduit à C Nous en venons à la conclusion que l T g Exeple : calcul de la longueur pour une période identique à celle du pendule de Foucault, To = 16,5 s. g T o 9,81 16,5 l 67,7 4 4 soit une valeur supérieure de 1% par rapport au pendule «réel» T² (s²) Carré de la période du pendule siple en fonction de sa longueur T² = l R = 1 0 l () 0 0,5 1 1,5,5 3 3,5 Ouvertures - l histoire du pendule de Foucault Ce pendule a constitué une preuve ajeure de la rotation diurne de la Terre. - un oscillateur paraétrique : le Botafueiro de Saint Jacques de Copostelle Ce gigantesque encensoir, suspendu au «plafond» de la cathédrale, est onté sur une suspension de longueur variable constituée d un enseble de cordes tirées à la force de huit hoes. 3 Les systèes asse-ressort 3.1 Force de rappel exercée par un ressort Lorsqu un systèe défore le ressort en faisant passer son extréité «libre» de la position de repos Ao (ressort non déforé) à la position A (déplaceent rappel F de direction l axe du ressort, en sens contraire de Ces propriétés sont traduites par la relation vectorielle Ao A ), le ressort exerce sur le systèe une force de F k A A o Ao A et de valeur proportionnelle à Ao A.

8 où k est la raideur du ressort expriée en N. 1. Un ressort ayant ces propriétés est dit «à réponse linéaire» (on dit aussi qu il vérifie la loi de Hooke). 8 Ressort coprié A 1 F Ressort au repos A o Ressort étiré F A Rearque : dans le dispositif à obile autoporteur, nous utilisons deux ressorts identiques de raideur k. On peut établir que cet enseble est équivalent à un dispositif solide ressort à un seul ressort de raideur k (cf. suite). 3. Equation différentielle du ouveent du solide Le dispositif solide ressort pour lequel on fait l étude théorique des oscillations libres est défini par les propriétés suivantes, le ressort est à réponse linéaire, de raideur k A 1 A o A l une de ses extréités est fixe et un solide de asse est relié à l autre extréité libre le solide se déplace, dans le référentiel terrestre, en translation rectiligne 1 sur un support horizontal. On suppose le contact solide-support sans frotteent et on odélise l action de l air sur le solide par une force de frotteent fluide f Inventaire des forces Le solide est souis à son poids P à la réaction du support R, norale au support à la force de rappel élastique du ressort F à la force de frotteent f de sens opposé au vecteur vitesse G o R 3.. Position d équilibre A l équilibre, d après le principe d inertie, O F i x G P f 1 Tous les points du solide en translation ont, à chaque instant, le êe ouveent.

9 P R F f 0 La force f est nulle en l absence de ouveent, les forces P et R ont une direction verticale et F est horizontale. Pour que cette relation soit vérifiée, on doit avoir F 0 soit GoG 0. A l équilibre, le ressort n est donc pas déforé Application de la èe loi de Newton Pendant les oscillations, la force de rappel F change de valeur et de sens selon la déforation du ressort. Notons (x x) l axe horizontal défini par le vecteur i et dont l origine O correspond la position de G o. On désigne par x(t) l abscisse du vecteur GoG. F s exprie alors par la relation F k x( t) i La èe loi de Newton appliquée au solide s écrit P R F f a Les forces P et R ayant une direction verticale, P x = R x = 0, et cette relation vectorielle conduit à k x( t) f a ( t) dvx dx En se rappelant que ax ( t) et que vx ( t), ou bien encore que dt dt d x k x( t) fx dt c est-à-dire et plus sipleent d x k f x x t dt x x 1 d x a ( ) x t dt : ( ) 0 en présence de frotteents, d x k 3 : ( ) 0 x t en l absence de frotteents dt, il vient 3.3 Résolution de l équation différentielle pour un déplaceent sans frotteent La solution athéatique de l équation différentielle (3) est une fonction sinusoïdale de la fore x( t) X cos t 4 To Dans cette expression, T o est la période propre des oscillations, expriée en secondes (s) X est l aplitude des oscillations ; elle s exprie en ètres () et est toujours stricteent positive φ est la phase à l origine des dates, choisie telle que. Les constantes X et φ dépendent des conditions initiales du ouveent. Exeple d application : on considère un dispositif solide ressort de période propre T o = 0,80 s. On allonge le ressort de,0 c à partir de sa position d équilibre et on lâche le solide (sans vitesse initiale) à l instant de date t = 0 s. Déteriner les valeurs de X et de φ Expression de la période propre T o Nous partons ici de la fore de la solution x( t) X cos t To La dérivée preière s écrit

10 La dérivée seconde s écrit v( t) x ( t) X sin t To To a( t) x( t) v ( t) X cos t 5 To To En reportant les expressions (4) et (5) dans l équation différentielle (3), il vient k X cos t X cos t 0 To To To Ainsi, à chaque instant t, k X cos t 0 T o T o et X étant une constante non nulle, pour que cette relation soit vérifiée à chaque instant de date t, il faut assurer soit d où l on peut tirer k To 0 k To To k Cette expression confire les observations expérientales : la période propre ne dépend pas de l aplitude des oscillations (contraireent au cas du pendule pesant où l isochronise n est vérifié que pour les petites oscillations). Rearque : analyse diensionnelle M et k F M. L. T M. T L L M T k M. T Rappelons que le coefficient π est adiensionné. 3.5 Iportance des conditions initiales L équation différentielle ne déterine ni l aplitude ni la phase à l origine ; ces constantes du problèe sont portées dans les conditions initiales et perettent la résolution. La période des oscillations libres est toutefois indépendante des conditions initiales. Les conditions x(t = 0) = x o et v(t = 0) = v o aènent les équations x t 0 X cos x o dx t 0 X cos v o dt To et la résolution du systèe donne accès aux valeurs de X et de φ. 3.6 Cas du dispositif solide ressort vertical L étude théorique du dispositif solide ressort vertical conduit aux êes résultats que deux du dispositif horizontal. Observer : ressort.swf 10

11 Le solide a un ouveent oscillatoire de part et d autre de sa position d équilibre. La période des oscillations est indépendante des conditions initiales. La période propre du dispositif est To. k 11 4 Oscillations forcées et résonance Lorsqu un éléent extérieur ipose la période des oscillations du systèe, dans certaines conditions, ces oscillations peuvent prendre une aplitude très grande : on dit que le systèe oscillant entre en résonance. L aplitude de ces vibrations est telle qu elles peuvent engendrer la rupture du systèe vibrant. Exeples Des rafales de vent régulières ont provoqué la rupture du pont de Tacoa, dans l état du Washington, le 7 novebre 1940 voir vidéo Pour certaines vitesses, des vibrations bruyantes apparaissent en voiture ou en oto. Le 16 avril 1850, les vibrations provoquées par le pas cadencé d une troupe ont entraîné l effondreent du pont d Angers : 6 orts! 4.1 Caractéristiques du phénoène de résonance Le dispositif d étude utilisé est le suivant. La rotation du disque ipose les oscillations au dispositif solide ressort. Le systèe {disque tournant + fil + poulie} est appelé résonateur. Observer : ressort_rsf.swf ou oscillationsforcees.swf Vidéos : avant, pendant et après la résonance

12 On constate que le solide oscille avec la êe période que celle du disque tournant l aplitude des oscillations du solide dépend de la période de rotation du disque 1 Quand on fait varier la période de l excitateur, l aplitude des oscillations du résonateur passe par un axiu à la résonance : la période des oscillations est alors très proche de la période propre du résonateur. On retiendra un systèe est le siège d oscillations forcées lorsqu un excitateur ipose sa période au systèe qualifié de résonateur le résonateur oscille avec la êe période que l excitateur l aplitude des oscillations du résonateur dépend de la période et cette aplitude est axiale à la résonance à la résonance, la période des oscillations est voisine de la période propre T o du résonateur Lorsque l aortisseent est faible, on dit que la résonance est aiguë : l aplitude à la résonance ne devient très iportante que si la période iposée par l excitateur est très proche de la période propre du résonateur. Lorsque l aortisseent est iportant, quand il y a phénoène de résonance, l aplitude reste faible ; de plus, ce phénoène se produit pour des périodes iposées êe éloignées de la période propre du résonateur : on parle de résonance floue. 4. Retour les exeples d oscillations forcées 3..1 Vibrations et suspensions d un véhicule Lorsqu un véhicule roule sur un revêteent présentant une succession d irrégularités (type tôle ondulée sur le sable du désert), ces dernières engendrent des oscillations des suspensions. Pour liiter l aplitude de ces oscillations forcées (pour le confort des passagers, la tenue de route et l intégrité du véhicule), le systèe doit être forteent aorti : c est le rôle des aortisseurs. 4.. Le haut-parleur : la résonance en acoustique La ebrane d un haut-parleur est le systèe oscillant qui engendre les vibrations sonores. On attend d un haut-parleur que les vibrations de sa ebrane (le résonateur) reproduisent fidèleent toutes les oscillations électriques (de périodes donc de fréquences différentes) engendrées par la source usicale (l excitateur). Ces oscillations forcées doivent correspondre à une résonance «floue», sinon, selon leur fréquence, certains sons seraient aplifiés beaucoup plus que d autres. On définit une «bande passante» du hautparleur correspondant à l enseble des fréquences de tous les sons reproduits fidèleent Une bizarrerie : les figures de Chladni En prenant des plaques et un peu de sable, en ajoutant la aîtrise de l archer, on obtient des figures très étranges, appareent aléatoires.

13 13 Ces figures peuvent être égaleent observées au sein de vrais instruents, coe un thésard s est ausé à le détailler dans le cas de la guitare et de sa fore si féinine (voir résonateur de Helholtz). Les figures de Chladni (du no de leur découvreur, l alleand Ernst Chladni ( )) sont dues au fait que certaines zones de la plaque restent iobiles, du fait de l instauration d un systèe d ondes stationnaires (prograe de spécialité). On peut donc faire varier les figures de Chladni en faisant varier l eplaceent des zones iobiles : pour cela, il suffit de faire varier les paraètres qui influent sur la plaque vibrante : la fréquence, ainsi que la nature de la plaque (taille, épaisseur, atière).