Suites et séries de fonctions. Exercice 1. Exercice 2. Exercice 3. INSA Toulouse, Département STPI. Année IMACS 2 e année.

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1 INSA Toulouse, Département STPI Année 2-22 IMACS 2 e année Feuille de TD n 4 Eercice Suites et séries de fonctions Eercice 2 Eercice Soit f n n N la suite de fonctions dénies par: [, + [, f n + 2 n Montrer que la suite f n n N converge simplement et uniformément sur [, + [ On commence par la convergence simple On a f n, n N De plus, pour >, + 2 n +, donc f n Pour conclure, f n n N converge simplement vers la fonction identiquement nulle : f On étudie la convergence uniforme On a : f n f sup + 2 n [,+ [ sup [,+ [ + 2 n Ici, il faut se méer d'une conclusion hâtive : la fonction ne converge pas + 2 n forcément vers en + Pour ne pas faire d'erreur, on évalue le suprémum eplicitement : f n n n + 2 2n Donc f n s'annule en et en 2n Comme f n et f n, on a : + /2 /2 f n f n 2n 2n + n 2n 2n Donc on a bien f n et f n n N converge uniformément vers 2 On pose: F n f n tdt pour tout > Les dicultés de cet eercice sont de deu ordres Premièrement, on travaille sur un domaine non borné, or tous les résultat d'interversion ite et intégrale reposent sur une hypothèse de domaine borné De plus, on étudie la suite des primitives F n n N, pour laquelle on n'a pas vu de résultats en cours

2 a Etudier la convergence simple de la suite F n n N sur [, + [ Sans démonstration supplémentaire, en déduire un domaine de convergence uniforme de la suite F n n N Comme f n n N converge uniformément sur [, + [, elle converge uniformément sur tout domaine borné du type [, A], A R + D'après le théorème d'interversion ite et intégrale, on peut donc armer que : F n f n tdt Donc F n n N converge simplement vers sur [, A] f ntdt Pour étudier la convergence uniforme, on remarque que F n est une fonction croissante de Donc sur l'intervalle [, A], F n F n A Or F n A converge simplement vers pour tout A positif Donc F n n N converge uniformément vers b Calculer F n et montrer que F n admet une ite nie en + Tracer le tableau de variation des fonctions F n On a F n Pour montrer que F n a une ite nie quand tend vers +, on remarque que pour tout n N, on a : et f n sur [, ] f n 2n sur [, + [ Pour n, et par comparaison au intégrales de Riemann, on conclut que f n est intégrable sur [, + [ et donc F nt est nie t + Donc les fonctions F n sont nulles en, croissantes et de ite nie c En déduire la convergence uniforme de la suite F n n N sur [, + [ Pour conclure sur la convergence uniforme, on remarque que sur l'intervalle [, + [, on a : F n + F n f ntdt + f n tdt 2 F n + f n tdt Or F n car F n n N converge simplement vers sur tout intervalle borné de type [, A] Puis, sur [, + [, pour n, on a : f n tdt [ 2n dt 4 4 2n 4 2n ] 5 2n 4 6 et Finalement, on voit donc que 2n 4 F n Donc la suite F n n N converge uniformément vers sur [, + [ 2

3 Eercice 4 Eercice 5 Etudier la nature des séries de fonctions fn de terme général déni par: f n n ln + n + Convergence Normale : sur [, + [ On a f n f n n+ 2n Donc n N f n diverge Convergence simple : + n + CVN, CVS, CVU On e > Dans ce cas, la suite ln n N est positive décroissante, de ite nulle Ainsi, la série numérique n N n ln + converge d'après n + le théorème des séries alternées De plus, f n, n N Donc f n converge simplement en vers Convergence uniforme : On remarque que : ln + n + n + + O 2 n Cette décomposition permet d'étudier la convergence uniforme en séparant la série initiale en deu séries : A/ n n + et en B/ n O 2 n On remarque alors que le terme général de la série A s'écrit sous la forme a n b n avec a n n et b n n + La suite a n n N est positive décroissante, de ite nulle La suite b n n N a bien une somme partielle bornée En eet, on a < Donc + n B n b k k n + k k On peut donc appliquer le théorème d'abel pour les séries de fonctions et conclure que n converge uniformément sur [, + [ n+ De plus la série B, converge normalement, car 2 n n 2 2 n n 2, [, + [ Donc Pour conclure, f n est la somme de deu série qui convergent uniformément, elle converge donc uniformément

4 Eercice 6 Soit f n n N la suite de fonctions dénies de la façon suivante: f n : [, + [ R n + n 2 Etudier la nature de la série f n, n N, sur [, + [ Calculons f n On a : Donc f n n n 2 2 f n n + n2 2n 2 2 n 2 + n 2 2 f n f n n n De plus f n et n /2 + f n Donc Par comparaison au séries de Riemann, on voit que f n converge et donc la série n N f n converge normalement, uniformément et simplement sur [, + [ 2 On note S la fonction somme de la série: S + n f n a Montrer que S est de classe C sur tout intervalle [a, b] ], + [, puis sur ], + [ et donner l'epression de sa dérivée / Etude sur [a, b] Pour montrer que la somme de la série f n est C sur tout intervalle [a, b] ], + [, on s'intéresse à la série des dérivées f n pour se ramener au théorème 9 du polycopié Si f n converge uniformément, alors on pourra conclure que S n f n n f n De plus S sera continue d'après le théorème 6 On a f n + n n 2 2 On remarque alors que pour [a, b], on a : et + n na n 2 2 b 2 + na 2 2 Donc f n + b2 et f +na 2 2 +na 2 n 2 converge par comparaison au séries de Riemann Donc S est dérivable à dérivée continue sur [a, b] Le fait que S soit C soit C sur tout intervalle de type [a, b] ], + [ implique que S est C sur ], + [ 4

5 b Montrer que S + On a >, f n n 2 n 2 Donc : S n n 2 Or n est une valeur nie π 2 /6 Donc on a bien S n 2 + c L'application S est-elle dérivable en? Indication : montrer que c'est-à-dire: Si S est dérivable en alors, [ A >, η >, < η S S + S S ] A + S S + + On utilise alors la somme partielle S k k n f n On remarque que S k+ S k Donc : S S k k n n + n 2 En particulier, on voit qu'en prenant k, on obtient : S k n k n + n/k n 2n En faisant tendre k vers +, on voit donc que + S + 5