Fonctions trigonométriques

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1 Fonctions trigonométriques ère STID I - Cercle trigonométrique - Mesure des angles orientés Définition Dans le plan muni d un repère ; i, j, le cercle trigonométrique est le cercle de centre et de rayon sur lequel on a choisit : un sens direct, ou sens positif, sens inverse des aiguilles d une montre un sens indirect, ou sens négatif, sens des aiguilles d une montre. j + i Définition Sur le cercle trigonométrique, la mesure en radians d un angle orienté est égale à la mesure algébrique avec un signe de l arc intercepté. Eemple : Un tour complet, soit 60, mesure radians. L angle orienté i, j mesure 4 = radians /4 de tour. L angle orienté j, i mesure radians. n parle d une mesure de l angle orienté car il en possède une infinité : l angle orienté i, j mesure rad, + = 5 rad, 5 + = 9 rad,..., = rad,... Eercice Compléter :... Degrés Radians 0... Degrés Radians Définition La mesure principale d un angle orienté est la mesur de cet angle appartenant à l intervalle ] ; ]. Eemple : L angle orienté j, i a plusieurs mesures :,, + = 7,... Sa mesure principale est. Y. Morel - ymaths.free.fr/lycee/sti/ Fonctions trigonométriques - ère STID - /5

2 Eercice Déterminer la mesure principale des angles orientés suivants : a 7 b c 9 d 5 e 6 f II - Cosinus et sinus d un angle orienté Eercice. ABCD est un carré de côté. Calculer la longueur AC, puis en déduire les valeurs eactes de cos 4 et sin 4.. RST est un triangle équilatéral de côté. Calculer la longueur TI, en déduire les valeurs eates de cos 6, sin 6, cos et sin. Définition Soit M un point du cercle trigonométrique, et une mesure de l angle orienté Le cosinus de, noté cos, est l abscisse de M. Le sinus de, noté sin, est l ordonnée de M. A D R T I B C S i, M. j sin i M cos Angles remarquables 0 sin 0 cos 0 rad 0 6 rad 45 4 rad 60 rad 90 rad 0 sin 4 6 cos Propriété Pour tout réel : cos sin cos + sin = en notant cos = cos et sin = sin Y. Morel - ymaths.free.fr/lycee/sti/ Fonctions trigonométriques - ère STID - /5

3 Eercice 4 Déterminer les valeurs eactes de : a cos 5 b cos c cos 6 d cos 4 e sin 4 III - Angles associés + sin + cos 0 Parité des fonctions sinus et cosinus. La fonction cosinus est paire, la fonction sinus est impaire. En d autres termes, pour tout nombre réel, cos = cos sin = sin Autres relations. Pour tout nombre réel, cos = sin cos + = sin sin = cos sin + = cos + cos = cos sin = sin cos + = cos sin + = sin Eercice 5 Simplifier les epressions : a A = cos + sin + cos b B = sin + cos + + sin + c C = sin + cos + sin d D = cos + + sin + cos + IV - Equations trigonométriques Propriété Les solutions dans IR de l équation cos = cos a sont : entier relatif quelconque. = a + k = a + k, où k est un Propriété Les solutions dans IR de l équation sin = sin a sont : entier relatif quelconque. = a + k = a + k, où k est un Eercice 6 Résoudre les équations sur IR, puis sur [ 0; 4[ : 5 a cos = cos b sin = sin c cost = cos d sin t = sin e cos = 0 f cos = g sin t = h cos = cos + 4 i cos = sin j cos = sin k sin = cos l cos = sin Y. Morel - ymaths.free.fr/lycee/sti/ Fonctions trigonométriques - ère STID - /5

4 Eercice 7 Dans un repère orthonormé, on considère les points A;, B;, C; et D + ;. En calculant le produit scalaire AB CD de deu manières différentes, déterminer une mesure de l angle AB, CD. Eercice 8 n considère un objet soumis à deu forces F et F, telles que F = 00N, et F = 50N. F Déterminer une mesure de l angle, F pour que l on ait F F = 0 4. Eercice 9 Projection d un vecteur sur deu aes orthgonau n considère la décomposition d un vecteur F sur deu aes orthogonau comme représenté sur la figure ci-contre. n note F = F, F = F et F = F. Montrer que : F = F cosθ et, F = F sin θ. V - Fonctions sinus et cosinus F θ F F Propriété Pour tout réel, cos + = cos et sin + = sin. Les fonctions cos et sin sont périodiques de période. Les courbes représentatives des fonctions sinus sinusoïde et cosinus cosinusoïde sont inchangées par translation de vecteur i. Pour tout réel, cos = cos. La fonction cosinus est paire, sa courbe représentative admet l ae des ordonnées comme ae de symétrie. Pour tout réel, sin = sin. La fonction sinus est impaire, sa courbe représentative admet l origine du repère comme centre de symétrie. y = sin y = cos Eercice 0 Soit f la fonction périodique de période définie par ft = t + si t [0; ]. Tracer la représentation graphique de f sur [ ; 4]. Eercice Soit f la fonction périodique de période définie par ft = t si t [ ; ]. Tracer la représentation graphique de f sur [ ; 5]. Eercice Soit f la fonction périodique, de période, définie par ft = t + si t [ ; ]. Dresser le tableau de variations de f sur [ ; ]. Tracer alors la représentation graphique de f sur [ ; 5]. Y. Morel - ymaths.free.fr/lycee/sti/ Fonctions trigonométriques - ère STID - 4/5

5 Eercice L évolution de la population P d animau dans une forêt est modélisée par : Pt = sin t, où t est eprimé en années.. Calculer P0, P et P.. Quelle est la période de la fonction P?. Pour quelle valeur de t, la population est-elle à son maimum dans la première année? Quelle est la population maimum? Y. Morel - ymaths.free.fr/lycee/sti/ Fonctions trigonométriques - ère STID - 5/5