Exercices ouverts en TS

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1 Exercices ouverts en TS Exercice : Exemple historique! Thème : Divers. Origine : n 0 de la banque 2004 d exercice TS. SoitΓun cercle de rayon 4 cm. Quelle est l aire maximale d un rectangle dont les sommets sont surγ? Commentaire : Testé dans de nombreuses classes dont deux TS du lycée Limosin à Limoges. Une sélection de copies d élèves a été remise à une cinquantaine de profs de TS. L étude a mis en évidence l intérêt de cet exercice mais surtout l extrême difficulté d évaluation de ces copies. Exercice 2 : Construire une fonction non dérivable. Thème : Fonctions. Origine : Lycée Limosin.Limoges. Définir par son expression f (x) une fonction continue sur R, dérivable en tout réel sauf en et telle que f (4)=. Corrigé : Dans le Bordas MémoBac exo+ TS, Chap, n 4 page 50. Commentaire : Testé plusieurs fois en TS. Faible taux de réussite. Exercice : Recherche de fonctions polynômes. Thème : Fonctions. Origine : Lycée Limosin.Limoges. Donner et représenter une fonction polynôme de degré a) s annulant fois. b) s annulant 2 fois. c) s annulant fois. Commentaire : Cet exercice qui nous paraît simple a été testé dans une bonne TS. Taux de réussite : environ 50 %. Exercice 4 : Comparaison de deux fonctions. Thème : Fonctions et trigo. Origine : Classique. Montrer que pour tout x de [0; π 2 ], sin(x) 2 π x. Commentaire : Calculatrice graphique bienvenue...

2 Exercice 5 : Est-ce un cercle? Thème : Divers. Origine : n 4 de la banque 200 d exercice TS. O Soit f la fonction définie sur [0;] par f (x)= x 2 x+. Cette fonction est dérivable sur ]0;] et f ()=0. La courbeγde f est représentée ci-dessus.. (a) Montrer que le point M de coordonnées (x; y) appartient àγsi, et seulement si x 0, y 0 et x+ y =. (b) Montrer que Γ est symétrique par rapport à la droite d équation y = x. 2. (a) SiΓest un arc de cercle, quel pourrait être son centre? Quel pourrait être son rayon? (b) La courbeγest-elle un arc de cercle? Corrigé : Dans le Bordas MémoBac exo+ TS, Chap, n 6 page 52. Commentaire : Faut-il poser toutes ces questions ou seulement la dernière? Exercice 6 : Construire une fonction "d intégrale" donnée. Thème : Intégration. Origine : Lycée Pierre Bourdan. Guéret. Déterminer une fonction f continue sur [0;4] qui vérifie f ()= et 4 0 f (t)dt = 5. Corrigé : Dans le Bordas MémoBac exo+ TS Chap 2, n page 5. Commentaire : Testé plusieurs fois en TS. Faible taux de réussite. Exercice 7 : Trouver un ensemble de nombres complexes. Thème : Complexes. Origine : Lycée Pierre Bourdan.Guéret. E est l ensemble des nombres complexes qui vérifient z =. Quels sont les éléments de E dont le module est maximum? Corrigé : Dans le Bordas MémoBac exo+ TS Chap, n 4 page

3 Exercice 8 : Construire une suite. Thème : Suites. Origine : Lycée Pierre Bourdan.Guéret. Déterminer une suite définie sur N, strictement positive et strictement monotone dont la somme des 00 premiers termes vaut. Corrigé : Dans le Bordas MémoBac exo+ TS Chap 4, n 0 page 265. Commentaire : Testé plusieurs fois en TS, notamment avec la variante : Déterminer une suite positive et strictement monotone dont la somme des 00 premiers termes vaut 00. Les élèves cherchent presque tous une suite arithmétique, parfois une suite géométrique, ce qui n est pas surprenant : ce sont les seules suites pour lesquelles ils ont une formule donnant la somme des termes. Exercice 9 : Calculer une somme. Thème : Suites et nombres complexes. Calculer S = +i + i i 2007 et S 2 = i + i 2 i +... i Commentaire : Plusieurs approches possibles : en considérant la somme des termes d une suite géométrique, mais aussi en regroupant les termes par paquets de 4 par exemple, ou encore en calculant S + S 2 et S S 2. Exercice 0 : Convergence d une suite. Thème : Suites. Origine : Inspection Générale. Etudier la convergence de la suite (U n ) n N définie par : U n = n radicaux Commentaire : Non testé en DS. En fait, on peut remarquer que (U n ) est croissante et démontrer par récurrence par exemple qu elle est majorée par 2. Evidemment, si on remarque que U n+ = +U n,.... Exercice : Avec un paramètre. Thème : Exponentielle. Etudier suivant la valeur du réel a le nombre de solutions de l équation e x = x+ a. Commentaire : On peut faire une étude purement graphique, sachant que la droite d équation y = x + est tangente à la courbe représentant l exponentielle. On peut aussi étudier f définie par f (x)=e x x a qui admet un minimum en 0 qui vaut a. Exercice 2 : Congruence. Divisibilité. Thème : Arthmétique. Origine : Classique. Quel est le dernier chiffre (à droite) de n 5 n? (n N).

4 Corrigé : Voici plusieurs solutions. En faisant des essais pour les premières valeurs de n, on constate que n 5 n se termine par zéro. On peut conjecturer que c est vrai pour tout naturel et chercher à le démontrer. Remarquons tout d abord que n 5 n est pair. En effet, n 5 n= n(n )(n+ )(n 2 + ) et comme n et n + sont deux entiers consécutifs, leur produit est pair. Les naturels 2 et 5 étant premiers entre eux, pour démontrer que n 5 n est divisible par 0, il ne nous reste plus à démontrer que n 5 n est divisible par 5.. Par récurrence. C est vrai pour n= 0. Soit n N. Supposons que n 5 n est un multiple de 5. Alors (n+ ) 5 (n+ )=n 5 + 5n 4 + 0n + 0n 2 + 5n+ n =n 5 n+ 5(n 4 + 2n + 2n 2 + n) est donc divisible par 5 comme somme de deux multiples de 5 : n 5 n et 5(n 4 + 2n + 2n 2 + n). La propriété est donc vraie pour tout naturel n. 2. En étudiant toutes les valeurs possibles pour le reste dans la division euclidienne de n par 5. Si n 0 [5], n 5 n aussi. Si n [5], n 5 [5] et donc n 5 n 0 [5]. Si n 2 [5], n 5 2 [5] et donc n 5 n 0 [5]. Si n [5], n 5 [5] et donc n 5 n 0 [5]. Enfin, Si n 4 [5], n 5 4 [5] et donc n 5 n 0 [5].. En utilisant la factorisation de n 5 n. Comme n 5 n= n(n )(n+ )(n 2 + ), si n 0 [5], n 5 n aussi. Si n ou [5],alors n+ ou n est congru à 0 modulo 5 et n 5 n aussi. Et si n 2 ou 2 [5], alors n 2 4 [5] et donc n 2 + 0[5] et n 5 n aussi. 4. En utilisant le petit théorème de Fermat. Comme n 5 n= n(n 4 ), si n 0 [5], n 5 n aussi. Sinon, 4 est premier avec 5 (qui est premier) et d après le petit théorème de Fermat, n 4 0[5] et donc n 5 n aussi. Exercice : Distance d un point à un plan. Thème : Géométrie dans l espace. E H F G A D B C On donne un cube ABCDEFGH d arête. Soit K le projeté orthogonal de A sur le plan (BDE). Calculer la longueur AK. 4

5 Corrigé : Voici quelques solutions.. Méthode de seconde en calculant le volume du tétraèdre ABDE. Si on prend pour base ABD d aire 2, on a V = 2 = 6 Si on prend pour base le triangle équilatéral BDE de côté 2 et de hauteur 2 donc d aire = 2, on a On en déduit AK V = AK = AK 6. 6 = 6, donc AK = =. 6 2 = 2, 2. Méthodes analytiques : on choisit un repère orthonormal, par exemple (A, AB, AD, AE ). (a) Dans le repère choisi, une équation du plan (BDE) est x+y+ z =0. En utilisant la formule donnant la distance d un point à un plan, on obtient AK = =. (b) Dans le repère choisi, une équation du plan (BDE) est x+y+ z =0, de vecteur normal (,,), qui est un vecteur directeur de (AK). Un système d équation paramétrique de (AK) est donc x y z = t = t = t L étude de l intersection de cette droite et du plan (BDE) donne t+ t+ t =0, soit t = (, d où K,, ) et AK = =. (c) On peut aussi montrer (ce n est pas simple) que K est l orthocentre du triangle ( équilatéral BDE, et donc également son centre de gravité. On en déduit K,, ), puis AK = =. Commentaire : Voir autres solution dans le Bordas MémoBac exo+ TS Chap 6, n 7 page

6 Exercice 4 : Triangle rectangle dans un cube. Thème : Géométrie dans l espace. Origine : Lycée Limosin. Limoges. On donne un cube ABCDEFGH. On nomme I, J et K les milieux respectifs des arêtes [BC], [CG] et [EH]. Démontrer que le triangle IJK est rectangle. H G K E F J D C I A B Corrigé : Voici quelques solutions.. Méthode de seconde avec le théorème de Pythagore (plusieurs fois). 2. Méthode de première avec le produit scalaire : J I JK= ( JC + C I ) ( JG + G H + HK ). Méthode analytique : on choisit un repère orthonormal, on calcule les coordonées de I, J et K dans ce repère et on calcule le produit scalaire J I JK. 4. Méthode géométrique (la plus élégante!) : Soit O le centre de ce cube et L le milieu de [AE]. Le point O est le milieu de [IK] et de [JL]. La sphère (ou le cercle...)de diamètre [IK] passe donc par J ce qui prouve que le triangle IJK est rectangle. Exercice 5 : Comparer des angles. Thème : Similitudes. Trigo. 2 2 O0 - α β Comparer les angles α et β de la figure ci-dessus. Corrigé : Dans le Bordas MémoBac exo+ TS Chap 7, n 4 page 45. 6

7 Exercice 6 : Additionner des angles. Thème : GClassique... α β Montrer que les angles α et β de la figure ci-dessus vérifient α+β= π 4 Commentaire : Plusieurs méthodes, dont une niveau collège avec de la géométrie élémentaire. Exercice 7 : Droites perpendiculaires. Thème : Géométrie (seconde). Complexes. Trigo. D C F A E B ABCD est un carré, E et F les milieux de [AB] et [BC]. Démontrer que (DE) (AF). Commentaire : Plusieurs méthodes, dont une niveau seconde avec une rotation bien choisie. Exercice 8 : Fonction affine. Thème : Fonctions Origine : Lycée B. de Ventadour. Ussel La fonction f est définie par f (x)= 2x x 2 x x 2. Est-elle affine? + x+ Commentaire : Calculatrice bienvenue Exercice 9 : Equation de degré. Thème : Fonctions Origine : Lycée Darnet. St Yrieix Résoudre + x+ x 2 + x = 0. Commentaire : Suivant la classe, dans R ou dans C. Corrigé : On peut factoriser (en seconde) : + x+ x 2 + x = + x+ x 2 (+ x) etc., utiliser la somme des termes d une suite géométrique (en première), ou le théorème des valeurs intermédiaires (en terminale), la calculatrice, etc. 7