Isométrie Vectorielle MPSI

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1 Isométrie Vectorielle MPSI 6 juin 2008

2 Table des matières 1 Généralités 2 2 Isométrie vectorielle plane Classification Cas particulier des rotations Rotation orthogonales Isométrie vectorielle d un espace euclidien de dimension Symétrie orthogonale Propriété de la matrice d un symétrie orthogonale dans une base orthonormée Rotation Calcul de l image d un vecteur de x par une rotation Classification Élements caractéristiques d une rotation Autres résultats

3 Chapitre 1 Généralités Définition 1 Soit E un espace euclidien, soit f L(E). f est une isométrie vectorielle si : Propriété 1 Soit f L(E). x E f(x) = x (f est une isométrie vectorielle) ( x E y E, < f(x), f(y) >=< x, y >) On dit que f est un endomorphisme orthogonale Propriété 2 Une isométrie vectorielle est bijective Propriété 3 La réciproque d une isométrie vectorielle est une isométrie vectorielle Propriété 4 La composée de deux isométries vectorielles est une isométrie vectorielle Propriété 5 L ensemble des isométrie vectorielles, munie de la loi de composition des applications est un groupe, appelé le groupe orthogonale de E, notée O(E) Propriété 6 Soit f endomorphisme de E, et B base orthonormée. (f est une isométrie vectorielle) ( f(b) est une base orthonomée) (f est une isométrie vectorielle) (mat B (f) est une base orthogonale) 2

4 Chapitre 2 Isométrie vectorielle plane 2.1 Classification Nom Matrice [ ] Déterminant Vecteur invariant cos(x) sin(x) Rotation d angle θ +1 {0} ou E pour Ide [ sin(x) cos(x) ] cos(x) sin(x) Symétrie / à une droite D -1 Droite vectorielle sin(x) cos(x) 2.2 Cas particulier des rotations Propriété 7 L ensemble des rotations vectorielle planes est un sous groupe de O(E), appelé groupe spéciale orthogonale. Il est notée SO(E) 2.3 Rotation orthogonales Propriété 8 La composée de deux symétries orthogonales par rapport à deux droites est une rotation d angle deux fois l angle entre les deux droites. 3

5 Chapitre 3 Isométrie vectorielle d un espace euclidien de dimension Symétrie orthogonale Soit E un espace euclidien de base B=(i,j,k) orthonormée directe. Soit F un sous espace de E, et s f la symétrie orthogonale par rapport à F : Définition de F Base Matrice Déterminant Type F = {0} Quelconque s f = h 1 dim(f) = 1 (e 1, e 2, e 3 ) D =Vect(e 1 ) dim(f) = 2 (e 1, e 2, e 3 ) P =Vect(e 1, e 2 ) Réflection dim(f) = 3 Quelconque s f = Ide Propriété de la matrice d un symétrie orthogonale dans une base orthonormée Si B est une base orthonormée et s une symétrie orthogonale. Soit M=mat B (s). 4

6 Sachant que s est une symétrie, M est inversible et M 1 = M. De plus, la symétrie est orthogonale, donc la matrice l est aussi, donc M 1 = t M. On obtient donc M = t M. Donc M est une symétrie. 3.3 Rotation Définition 2 Soit D une droite vectorielle orienté et θ un réel. La rotation d axe de D et d angle θ est l application linéaire r telque : u D r(u)=u Le plan D est stable par r et la restriction de r à ce plan est une rotation plane d angle θ orienté par D. Propriété 9 Soit B = (e 1, e 2, e 3 ) base orthonormée directe telle que D=Vect(e 1 ) et D = V ect(e 2, e 3 ), alors : 0 cos(θ) sin(θ) 0 sin(θ) cos(θ) Donc : det(r) = 1 Propriété 10 Cas particulier : θ = 0, alors r = Ide θ = π, alors r=s D Propriété 11 Composée de deux réflections : Soient P,P deux plans distincts telque P P = D : Si u D : s P (s P (u)) = u Si u D r est stable dans D s P os P (u) est une rotation d axe D. 3.4 Calcul de l image d un vecteur de x par une rotation Soit r rotation d axe D, orienté par d, vecteur directeur de D, et d angle θ. Soit x / D : r( x ) = < x, d >. d + cos(θ) ( d x ) d d x d 2 + sin(θ) d 2 d 5

7 Si d = 1 : r( x ) =< x, d >. d + cos(θ)( d x ) d + sin(θ) d x 3.5 Classification Soit Inv(f) l ensemble des vecteurs invariants. dim(inv(f)) f Base Matrice Det 3 Ide Quelconque Réflexion s p Base adaptée Rotation d axe D, d angle θ Base adaptée 0 cos(θ) sin(θ) 1 0 sin(θ) cos(θ) 0 Réflexion o rotation Base adaptée 0 cos(θ) sin(θ) -1 0 sin(θ) cos(θ) 3.6 Élements caractéristiques d une rotation L axe : L ensemble des vecteurs invariante L angle : cos(θ) est obtenu par la Trace(r) = 1 + 2cos(θ) dans une base adaptée. Le signe de sin(θ) est obtenu par le signe de Det(x,r(x),d), avec x espace non invariant de l espace, r(x) la rotation et d un vecteur directeur de l axe 3.7 Autres résultats Propriété 12 La matrice d une projection orthogonale dans une base orthonormée est symétrique 6