Exercices : déterminants

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1 Propriétés générales Exercices : déterminants Exercice 1: Soit n un entier non nul impair et soit A M n (K) une matrice antisymétrique 1 Exprimer de deux façons det(a T ) en fonction de det(a) 2 Que peut-on dire de la valeur de det(a)? 3 Et si n est pair? Exercice 2: On considère deux matrices inversibles A et B appartenant à M n (R) telles que AB +BA 0 Montrer que n est un entier pair Exercice 3: Soit A M n (R), on définit la matrice B de M 2n (R) par B Exprimer le déterminant de B en fonction de celui de A ( ) 0 A I n 0 Calculs de déterminants Exercice 4: 0 a b c On souhaite calculer D a 0 b c a b 0 c a b c 0 1 Effectuer sur D l opération C 1 C 1 +C 2 +C 3 +C 4 L 2 L 2 L 1 2 Effectuer sur D les opérations L 3 L 3 L 1 L 4 L 4 L 1 3 À l aide d échanges de lignes et de colonnes, montrer que D (a+b+c) b a c b c 0 a b c 1 4 Conclure sur la valeur de D Exercice 5: En essayant d être le plus astucieux possible, calculer les déterminants suivants : a b c D 1 c a b D b c a D 3 a 0 a b a 0 a 0 0 b 0 0 a Exercices TSI2 Page 1 Déterminants

2 Exercice 6: x+2 2x+3 3x+4 Résoudre l équation : 3x+5 5x+8 10x+17 0 Indication : utiliser les opérations sur les lignes et les colonnes pour faire sortir des facteurs du type ax+b Exercice 7: c x a x a x Soient a, b et c trois réels distincts On pose, pour tout réel x, f(x) b x c x a x b x b x c x c x a x a x 1 a) À l aide de deux opérations sur les lignes montrer que f(x) d e f g h k, où d, e, f, g, h et k ne dépendent pas de x b) Sans calculer explicitement le déterminant, expliquer pourquoi f(x) est de la forme mx + p avec m et p deux réels indépendants de x 2 a) Calculer f(a) et f(b) b) En déduire les valeurs de m et p en fonction de a, b et c c a a 3 Grâce aux calculs précédents, calculer très rapidement b c a b b c c a a b 4 En s inspirant de la méthode détaillée ci-dessus, calculer (déterminant d ordre n) a b b c Exercice 8: Pour tout (a,b) K 2 et n 2 calculer le déterminant d ordre n suivant : a b b b a D n b b a b b b a Indication : on pourra commencer par ajouter à la première colonne toutes les autres colonnes Déterminant d une famille de vecteurs Exercice 9: On considère les 3 polynômes suivants : Q 0 X i Q 1 X +i Q 2 X 2 ix On considère de plus la base canonique de C 2 [X] : B c (P 0,P 1,P 2 ) 1 Montrer que la famille B (Q 0,Q 1,Q 2 ) est une base de C 2 [X] 2 Calculer det B (P 0,P 1,P 2 ) Exercices TSI2 Page 2 Déterminants

3 Exercice 10: On considère S 2 (R) l espace vectoriel des matrices symétriques de M 2 (R) ( ) ( ) ( ) Montrer que la famille B (A,B,C), où A, B et C, est une base de S 2 (R) 2 On pose M 1 ( ) 0 1, M ( ) 1 0 et M La famille (M 1,M 2,M 3 ) est-elle une base de S 2 (R)? ( ) 1 1 Calculer det 1 0 B (M 1,M 2,M 3 ) Déterminant d endomorphisme Exercice 11: Soit u l application définie sur R n [X] par u(p) XP +P(1) 1 Montrer que u est un endomorphisme de R n [X] 2 Calculer det(u) 3 u est-il un automorphisme de R n [X]? Pour aller plus loin Exercice 12: Le déterminant de Vandermonde de (a 1,,a n ) K n est défini par : 1 a 1 a 2 1 a n a 2 a 2 2 a n 1 2 V(a 1,,a n ) 1 a n a 2 n a n 1 1 Quelle est la valeur de ce déterminant s il existe i j tel que a i a j? 2 On suppose maintenant que les a i sont deux à deux distincts Pour tout x réel, on pose : P(x) V(a 1,,a n 1,x) a) Montrer que P est un polynôme de degré inférieur ou égal à n 1 b) Quelles sont les racines du polynôme P? c) Quel est le coefficient du terme de plus haut degré dans le polynôme P? n 1 d) En déduire que, x R, P(x) V(a 1,,a n 1 ) (x a k ) 3 Montrer par récurrence que : n 2, V(a 1,,a n ) k1 1 i<j n n (a j a i ) Exercices TSI2 Page 3 Déterminants

4 Correction de l exercice 1: Correction 1 On sait que det(a T ) det(a) pour tout les matrices A Ici on suppose que A est antisymétrique c est-à-dire que A T A On a donc aussi : det(a T ) det( A) ( 1) n det(a) det(a) car n est impair 2 D après la question précédente on a : det(a) det(a) Donc det(a) 0 3 Si n est pair on ne peut rien dire car on obtient det(a) det(a) ce qui ne mène à rien Correction de l exercice 2: On a AB BA donc det(ab) det( BA) ( 1) n det(ba) Or, det(ab) det(ba) det(a) det(b) 0 car A et B sont inversibles On a donc 1 ( 1) n et ainsi n est pair Correction de l exercice 3: Plus difficile On remarque ici qu en échangeant la colonne C 1 avec la colonne C n+1, la colonne ( C 2 avec) la colonne A 0 C n+2 et ainsi de suite jusqu à la colonne C n, la matrice B se transforme en la matrice 0 I n On a pour cela effectué n( échanges ) de colonnes A 0 Donc det(b) ( 1) n det 0 I n En développant n fois par rapport à la dernière colonne, on obtient : det(b) ( 1) n det(a) Correction de l exercice 4: 1 0 a b c a+b+c a b c D a 0 b c a b 0 c a+b+c 0 b c a+b+c b 0 c a b c 0 a+b+c b c 0 1 a b c (a+b+c) 1 0 b c 1 b 0 c 1 b c 0 C 1 C 1 +C 2 +C 3 +C 4 linéarité par rapport à la première colonne 2 1 a b c D (a+b+c) 0 a b a b 0 0 b a c b c L 2 L 2 L 1 L 3 L 3 L 1 L 4 L 4 L 1 Exercices TSI2 Page 4 Déterminants

5 3 a 1 b c D (a+b+c) b a 0 b 0 b a 0 c b c a b 1 c (a+b+c) b a c b 0 c C 1 C 2 C 2 C 3 a b c 1 (a+b+c) C 3 C 4 b a c b c 0 On peut raccourcir ces trois étapes en une en écrivant C 1 C 2 C 3 C 4 C 1 ( 1) 3 ( (a+b+c)) b a c b c 0 L 1 L 2 L 3 L 4 L 1 a b c 1 (a+b+c) b a c b c 0 a b c 1 4 D (a+b+c) ( a) ( b) ( c) 1 abc(a+b+c) Correction de l exercice 5: 1 2 a b c D 1 c a b b c a a+b+c b c a+b+c a b C 1 C 1 +C 2 +C 3 a+b+c c a 1 b c (a+b+c) 1 a b 1 c a 1 b c (a+b+c) 0 b c L 2 L 2 L 1 0 c b a c L 3 L 3 L 1 (a+b+c)(()(a c)+(b c) 2 ) (a+b+c)(a 2 +b 2 +c 2 ab ac bc) D L 2 L 2 L L 3 L 3 L L 4 L 4 L développement par rapport à C L 2 L 2 2L 1 L 3 L 3 3L 1 0 L 2 et L 3 proportionnelles Exercices TSI2 Page 5 Déterminants

6 D 3 a 0 a 0 3 b a 0 a 0 0 b 0 0 a a 0 3 a 0 a 0 +3 a b a a 0 (dvl par rapport à L 1 ) b 0 0 a 0 b 0 a a a a 0 b 0 a b a a 0 b 0 +a a 0 0 b a a dvl par rapport à C 2 dvl par rapport à C 3 a a a +3(3 ( b) ( 3b)+a ( a) ( 2a)) dvl par rapport à C 3 4a 3 +27b 2 Correction de l exercice 6: Avant de résoudre l équation calculons le déterminant : x+2 2x+3 3x+4 x 1 x 1 x 1 3x+5 5x+8 10x+17 3x+5 5x+8 10x+17 L 1 L 1 L (x+1) 3x+5 5x+8 10x (x+1) 2x+3 x+1 2x+2 C 2 C 2 C 1 3x+5 2x+3 7x+12 C 3 C 3 C 1 (x+1) x+1 2(x+1) 2x+3 7x (x+1)2 2x+3 7x+12 (x+1) 2 (7x+12 4x 6) (x+1) 2 (3x+6) 3(x+1) 2 (x+2) x+2 2x+3 3x+4 Donc 0 x 1 ou x 2 3x+5 5x+8 10x+17 Correction de l exercice 7: Inspiré d un oral de CCP c x a x a x 1 a) f(x) b c c a 0 b c b a c a L 2 L 2 L 1 L 3 L 3 L 1 b) Il suffit de développer le déterminant précédent par rapport à la première ligne pour obtenir un somme de termes de degré 1 en x Ainsi f(x) est bien de la forme mx+p 2 a) On revient à la définition initiale de f c a 0 0 f(a) b a c a 0 b a b a c a c b (c a)3 et f(b) 0 c b 0 0 c b (c b)3 b) On a calculé f(a) et f(b) en fonction de a, b et c mais on a aussi f(a) ma+p et f(b) mb+p { ma+p (c a) 3 m (c a)3 (c b) 3 Donc mb+p (c b) 3 p a(c b)3 b(c a) 3 Exercices TSI2 Page 6 Déterminants

7 c a a 3 On remarque que b c a b b c f(0) p a(c b)3 b(c a) 3 c x a x a x b x 4 On applique le même procédé On définit g(x) a x b x b x c x En effectuant sur ce déterminant les opérations L i L i L 1 avec i {2,,n} on obtient un déterminant où x n apparaˆit que sur la première ligne Puis en développant par rapport à la première ligne on voit que g(x) est de la forme mx+p Ensuite on remarque que g(a) (c a) n et g(b) (c b) n Donc g(x) (c a)n (c b) n x+ a(c b)n b(c a) n c a a b En conclusion a(c b)n b(c a) n a b b c Correction de l exercice 8: a+(n 1)b b b a+(n 1)b a 1 b b 1 a D n b b (a+(n 1)b) b b n C 1 C i a b a b i1 a+(n 1)b b b a 1 b b a 1 b b (a+(n+1)b) 0 i {2,,n}L i L i L (a+(n 1)b)() n 1 Correction de l exercice 9: 1 Il est très facile d obtenir la matrice de la famille (Q 0,Q 1,Q 2 ) dans la base B c donc nous allons nous servir du déterminant pour montrer que la famille (Q 0,Q 1,Q 2 ) est une base de C 2 [X] i i 0 On a det Bc (Q 0,Q 1,Q 2 ) 1 1 i i i 1 1 2i Comme det Bc (Q 0,Q 1,Q 2 ) 0 on peut affirmer que (Q 0,Q 1,Q 2 ) est une base de C 2 [X] 1 2 Il faut ici penser à remarquer que det B (B c ) det Bc (B) On a donc det B (P 0,P 1,P 2 ) 1 2i i 2 Exercices TSI2 Page 7 Déterminants

8 Correction de l exercice 10: 1 On commence par remarquer que : {( } a b S 2 (R) )/(a,b,c) R 3 Vect(A,B,C) b c La famille (A,B,C) est donc génératrice de S 2 (R) Montrons que la famille (A,B,C) est libre On cherche tous les réels a, b et c tels que : ( ) a b aa+bb +cc 0 0 a b c 0 b c La famille (A,B,C) est donc libre La famille (A,B,C) est libre et génératrice de S 2 (R) donc c est une base de S 2 (R) 2 On a : M 1 0A+1B +1C; M 2 1A+0B +1C; M 3 1A+1B +0C Donc Mat B (M 1,M 2,M 3 ) Ainsi : det (M ,M 2,M 3 ) B Comme det B (M 1,M 2,M 3 ) 0, la famille (M 1,M 2,M 3 ) est une base de S 2 (R) Correction de l exercice 11: 1 Soient P et Q deux polynômes de R n [X] et λ un réel Alors : u(p +λq) X(P +λq) +(P +λq)(1) XP +λxq +P(1)+λQ(1) XP +P(1)+λ(XQ +Q(1)) u(p)+λu(q) u est une application linéaire De plus, si P R n [X] alors P R n 1 [X] et donc XP R n [X] et P(1) R donc u(p) R n [X] En conclusion, u est une application linéaire de R n [X] dans lui-même donc u est un endomorphisme de R n [X] 2 On va, pour calculer ce déterminant, commencer par trouver la matrice de u dans la base canonique (P 0,P 1,,P n ) de R n [X] Pour tout i {0,,n}, u(p i ) X ix i 1 +1 ix i +1 P 0 +ip i Ainsi la matrice de u dans la base canonique est A n Ainsi det(u) det(a) n! 3 Comme det(u) 0, u est un endomorphisme bijectif c est-à-dire un automorphisme de R n [X] Exercices TSI2 Page 8 Déterminants

9 Correction de l exercice 12: 1 On a alors deux lignes identiques donc le déterminant de Vandermonde est alors nul 2 a) Il suffit pour cela de développer le déterminant V(a 1,,a n 1,x) par rapport à la dernière ligne et on voit que P(x) est un polynôme de degré inférieur ou égal à n 1 b) En s inspirant de la première question on voit que P(a 1 ) P(a 2 ) P(a n 1 ) 0 Les racines de P sont (a 1,,a n 1 ) c) P est un polynôme de degré inférieur ou égal à n 1 et on a trouvé n 1 racines distinctes donc il existe un réel A tel que P(x) A(x a 1 ) (x a 2 ) (x a n 1 ) Si on développe cette écriture de P on remarque que A est le coefficient de x n 1 De plus, en revenant à la définition de P(x) et en développant par rapport à la dernière ligne on 1 a 1 a 2 1 a n 2 1 remarque que le coefficient de x n 1 1 a 2 a 2 2 a n 2 2 est V(a 1,,a n 1 ) 1 a n 1 a 2 n 1 a n 2 n 1 On a donc P(x) V(a 1,,a n 1 ) (x a k ) 3 Montrons par récurrence que la propriété P(n) : V(a 1,,a n ) k1 n 2 V(a 1,a 2 ) 1 a 1 1 a 2 a 2 a 1 donc P(2) est vraie Soit n 2 un entier fixé Supposons que P(n) est vraie n 1 1 i<j n S il existe i {1,,n} tel que a n+1 a i alors V(a 1,,a n+1 ) 0 et donc P(n+1) est vraie Si pour tout i {1,,n}, a i a n+1 alors d après la question précédente : V(a 1,,a n+1 ) V(a 1,,a n ) n (a n+1 a k ) k1 Ainsi P(n+1) est encore vraie En conclusion, V(a 1,,a n ) 1 i<j n (a j a i ) 1 i<j n (a j a i ) (a j a i ) est vraie pour tout 1 i<j n+1 n (a n+1 a k ) k1 (a j a i ) 0 1 i<j n+1 (a j a i ) Exercices TSI2 Page 9 Déterminants