TD-3 : Cinématique du point matériel

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1 TD-3 : Cinématique du point matériel François Konschelle Dated: October 5, 16) I. EXERCICE 5 On jette une balle verticalement en l air. Le problème est uni-dimensionnel, et on suppose l axe vertical ascendant Oy. La balle jetée est soumise à une accélération constante a = ŷ. Le long de l axe Oy on aura donc, en définissant le vecteur vitesse v = v y ŷ qui n aura qu une composante v y t) le long de l axe Oy de vecteur directeur ŷ unitaire : a = d v dt = dv y dt dv y = dt t= dv y = t= dt v y t) v y t = ) = t v y = t + v 1.1) par définition du vecteur accélération a en fonction du vecteur vitesse v et définissant le vecteur position r = y t) ŷ qui n a qu une composante y t) le long de Oy et en faisant les mêmes manipulations intermédiaires que pour obtenir 1.1)) v = d r dt y t) = 1 t + v t + h 1.) par définition du vecteur position r. Nous avons supposé que la vitesse à t = est v et la hauteur à l instant initial t = est h, suivant les données du problème. 1. La balle atteindra la hauteur maximale lorsque sa vitesse le long de Oy sera nulle 1. Soit depuis 1.1) on aura v y t max ) = t max = v 1.3) ce qui définit l évènement y max, t max ) correspondant à la hauteur maximale y max atteinte au temps t max.. La hauteur maximale y max est obtenue depuis 1.) en y injectant le temps t max précedemment obtenu : v y max = y t max ) = 1 + h 1.4) soit, puisque nous avons = 9, 8 m s et v = 14 m s 1 alors que h = 1, 6 m, nous aurons pour alléger un peu les notations nous n indiquerons les unités qu en donnant le résultat final, ici et dans tout le reste de l exercice) y max = = = 11, 6 m 1.5) 1 Méthode alternative : la hauteur maximale est la hauteur extrêmale de la courbe y t) donnée en 1.), soit et donc dy dt = t max + v = t max = v t=tmax y max = y t max ) = v + h mais l on réalise de suite que les deux méthodes sont strictement équivalente puisque dy dt = v y donc imposer que y t) soit extrêmale ou imposer une vitesse nulle correspond bien à la même condition.

2 3. La balle atteint le point ỹ à l instant t définit en fonction de 1.) tel que ỹ = 1 t + v t + h t ± = v ± v + h ỹ) 1.6) soit pour une hauteur depuis le point de départ h de 8, 4 m nous poserons dans l expression de t : ỹ h = 8, 4 m et nous aurons les deux temps t ± t ± = 14 9, 8 ± 14.9, 8.8, 4 9, 8 = ± = 1 7 ± = ± 7 = 1 ± 4 t + = s 7 t = 6 7 s, 86 s 1.7) qui correspondent aux deux temps de passage de la balle par la hauteur ỹ = 8, 4 m : au temps t la balle est en train de monter, alors qu au temps t + la balle est déjà passée par le maximum et elle est en train de redescendre Nous voulons obtenir la vitesse de la balle au moment où elle touche le sol. Cela correspond à la position ỹ t ) = dans l expression 1.6). La balle touchera donc le sol à l instant t évalué comme t = v v + + h 1.8) d après les calculs précédents. Il suffit maintenant de calculer la vitesse à cet instant, soit v y t ) = t + v = v + h 1.9) depuis l expression 1.1). Application numérique : v y t ) = , 8.1, 6 = = = , 16 m s 1 1.1) On rappelle qu une équation du second degrès ax + bx + c = x ± = b a ± b 4ac a admet deux solutions x ± données ci-dessus. 3 On peut d ailleurs calculer le temps t max = v / obtenu à la question 1 en 1.3)) correspondant à la hauteur maximum de la trajectoire et nous voyons que les deux temps t ± donnés par 1.6) sont situés de part et d autre du temps nécessaire pour atteindre le sommet de la trajectoire. On peut d ailleurs présenter 1.6) sous la forme v t ± = t max ± + h ỹ)

3 3 II. EXERCICE 1 C est l histoire d un extra-terrestre qui se comporte comme une boule percutant un obstacle et qui s élève dans l atmosphère d une planète inconnue à priori. On veut trouver l accélération de la pesanteur sur cette planète. Pour cela on étudie le mouvement de l extraterrestre. D après l énoncé, la planète inconnue présente une accélération constante verticale orientée vers le bas, soit donc a = ŷ pour un axe Oy vertical orienté vers le haut. Au moment de l impact que nous choississons comme origine des temps t =, la vitesse est donnée par v t = ) = v cos θˆx + v sin θŷ.1) pour un axe Ox dans le sens de la trajectoire, et un angle θ entre le vecteur vitesse et l axe Ox lorsque O est le lieu du décollage de l extra-terrestre. O est donc l origine du mouvement, et nous choisissons les vecteurs unitaires et stationnaires ˆx et ŷ portés par les axes Ox et Oy, respectivement. À tout instant on définira la vitesse comme v t) = v x t) ˆx + v y t) ŷ.) et nous savons déjà que v x t = ) = v cos θ ainsi que v y t = ) = v sin θ. Le problème est donc à deux dimensions. Nous voulons dans un premier temps obtenir les équations horaires de la trajectoire, c est-à-dire que nous définissons un vecteur position r t) = x t) ˆx + y t) ŷ.3) le long des axes Ox et Oy et nous appliquons les définitions des vitesses et accélérations pour obtenir { dv x = d v = adt.4) dv y = dt en projetant sur chacun des axes Ox et Oy. On obtient donc dv x = v x t) v x t = ) = v x t) = v cos θ.5) dv y = dt v y t) v y t = ) = t v y t) = t + v sin θ.6) pour les équations de la vitesse, en injectant les conditions initiales.1) pour v x t = ) et v y t = ). Utilisant la relation liant le vecteur position r et le vecteur vitesse v à tout instant t comme { dx = v x t) dt d r = vdt.7) dy = v y t) dt en projetant sur chacun des axes Ox et Oy. On obtient donc dx = dy = v cos θdt x t) x ) = v t cos θ x t) = v t cos θ.8) t + v sin θ) dt y t) = t + v t sin θ.9)

4 4 pour les équations horaires de la trajectoire. Rappelons nous que nous avions choisi l origine du repère O au lieu et moment du décollage, donc x t = ) = y t = ) =. On peut extraire t dans l expression.8) x t =.1) v cos θ pour l injecter dans l expression.9). On obtient alors y x) = v cos θ x + x tan θ.11) qui est l équation d une parabole. Le mouvement de l extra-terrestre est donc parabolique dans le plan Oxy). 1. Une seconde après avoir décollé, l extra-terrestre se trouve à la position y t = 1 s) = 3, 15 m du sol. Une première équation permettant de retrouver et v est donc la relation.9) dans laquelle on pose t = 1 s et y = 3, 15 m, soit 3, 15 = + v.1) puisque θ = 3 = π/6 et que sin θ = 1/ dans ce cas. À l instant t = 1, 35 s, l extraterrestre commence à chuter, ce qui correspond à la hauteur maximale qu il puisse avoir. Soit on réalise que cela correspond à une vitesse verticale v y t = 1, 35 s) nulle, auquel cas on aura = 1, v v = 1, ) depuis.6), soit on réalise que le maximum de la trajectoire est le sommet x max de la parabole d équation.11), dont on extrait x max que l on injecte dans.1) pour trouver la même équation 4.13). Pour trouver, on injecte la condition.13) dans l expression.1) : 3, 15 = 1, 35 1 ) 3, 7 m s.14) comme accélération de la pesanteur sur la planète inconnue. Vérification faite sur une encyclopédie, cette valeur de la constante de gravitation correspond à la planète Mars. Nous avons donc affaire à un martien. Retournant à.13), nous pouvons maintenant calculer v =, 7. 1 m s 1.15) et nous avons donc déterminé complètement la trajectoire du martien dans le repère Oxy. 4 Le sommet de la parabole.11) est donné par l equation dy = x max dx v cos θ + tan θ = x max = v sin θ cos θ x=xmax que l on injecte dans l expression.1) à l instant t = 1, 35 s pour obtenir qui est bien la condition obtenue en.13). 1, 35 = x max v cos θ = v sin θ = v v = 1, 35.

5 5. Nous voulons déterminer la distance totale de du martien. On réalise que c est la distance x t ) donnée par la relation.8) pour un temps de t tel que y t ) =. On suppose donc y t ) = dans l équation.9), soit ) t t 1) = = t v sin θ t ) = v.16) sin θ dont on tire deux solutions. En fait la solution t 1) = correspond à l origine des temps, pour laquelle on avait bien y t = ) = également, par construction ) du repère Oxy). La seconde solution nous donne le lieu de chute y t ) = après un fini. Pour connaître la distance parcourue, il suffit d injecter cette solution 5 t ) dans l expression de la coordonnée horizontale.8). Soit alors x t ) ) = v cos θ sin θ = , 4 m.17) 3, 7 3. La réponse à la question 3 est donnée dans la réponse 1 : la planète en question est Mars. 5 On aurait pu trouver le temps de t ) directement en réalisant qu il correspond au double du temps nécessaire à arriver au sommet de la parabole, c est donc directement t ) d après les calculs donnés en note 4. =, 7 s ou t) = v sin θ