Corrigé du baccalauréat S Polynésie juin 2006

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1 Durée : heures Corrigé du baccalauréat S Polynésie juin 006 EXERCICE. Si z, z = z z+ z + z = z z = z = i ou z = i. Les points invariants par f sont les deux points d affixes i et i ) z. a. z, z )z+ )= z+ z+ )=z z =. b. L égalité de ces deux complexes entraîne l égalité de leurs modules soit z )z+ ) = z z+ = AM BM =. Même chose pour les arguments : arg[z )z+ )]=arg ) argz )+argz+ )=π [π] u, AM ) + u, BM )=π [π].. M appartient au cercle C) de centre B et de rayon si et seulement si BM = z ) = z + =. En reportant dans la première relation trouvée à la question précédente, il suit que AM = AM = qui signifie que M appartient au cercle C ) de centre A et de rayon.. a. p+ = ++i. D où p+ = + = = = p+ =. Donc p+ = ) + i = cos π + i sin π ) iπ = e b. On vient de trouver que p+ = BP= qui signifie que P appartient au cercle C). c. Soit P le point d affixe p+. Les points P et O sont les images respectives des points P et B dans la translation de vecteur u. OBPP ) est donc un parallélogrammme. Donc les vecteurs OP et ) BP ont la même affixe, π d où le même argument d après la a. et le même module. D autre part la construction classique opposé du conjugué) montre que P et Q sont symétriques autour de l axe O, ) v et B et A le sont aussi. Donc [BP] et[aq] sont symétriques dans la symétrie autour de O, ) v. u ) Donc par supplémentarité, AQ = π u u Or d après. b., BP )+ ), AP = π. Conclusion : le point P appartient à la droite AQ), ou encore les points A, P et Q sont alignés. d. On en déduit la construction simple de P : Construire Q symétrique de P autour de l axe des ordonnées ; Le segment [AQ] coupe le cerclec) en P.

2 P P Q B O A Exercice Proposition : Faux AvecMx ; y ; z), AM BC = 0 x y + 0x )= 0 x y = 0 x y = 0 qui est l équation d un plan. Or les coordonnées ; ; 0) du point I ne vérifient pas cette équation. Proposition : Vrai MB + MC = MB MC MI = CB IM = BC M appartient à la sphère de centre I et de diamètre [BC]. Proposition : Faux En prenant comme base de ce tétraèdre le triangle rectangle OBC, [OA] est une hauteur. Le volume est donc V= A OBC) OA= =. Proposition : Vrai Les coordonnées des trois points vérifient bien l équation donnée. Le vecteur OH ; il est donc bien normal au plan ABC). Enfin = les coordonnées de H vérifient bien l équation du plan ABC). Proposition 5 : Vrai De OG = ) OA + OB + OC on en déduit que G ; ; ) puis que AG a pour coordonnées qui est colinéaire au vecteur. Une équa- Polynésie juin 006

3 tion paramétrique de la droite AG) est donc : x = 0+ t y = 0+ t z = + ) t x = t y = t z = t avec t R Exercice Candidats ayant suivi l enseignement de spécialité Proposition : Vrai Par récurrence : initialisation 0 0. Vrai Hérédité : supposons que n il existe k R tel que n =k n = k+. Or n+) = n+ = n = n = k+ )= k+. Finalement n+) =k+ = k+ )qui est un multiple de. Autr e méthode : mod, d où ) n mod n mod n 0 mod n est un multiple de. Proposition : Faux x + x 0 mod 6 xx+) 0 mod 6. Or les entiers x et x+ sont consécutifs ; il en résulte donc que ou x 0 mod si x+ est pair), ou x+ 0 mod si x est pair) et dans ce dernier cas x 0 mod est faux. Exemple : + 0 mod 6 et 0 mod est faux. Proposition : Faux Un { couple solution est suggéré : ; ) puisque 5 =. x 5y = = par différence) x ) 5y )= 0 5 = x )= 5y ) ). Donc 5 étant premier avec divise x ; il existe donc α tel que x = 5α x = +5α et en remplaçant dans l égalité ), y =α y = +α. Si α est impair on n obtient pas les couples solutions proposés. Proposition : Si d est le PGCDa ; b) alors il existe deux entiersa etb tels que a = d a et b= db. Le PPCMa ; b)= a b d. En remplaçant dans l énoncé a b d d = da b ) =. Cette égalité prouve que d divise, donc que d =. On a donc PGCDa ; b) = et PPCMa ; b)= ab. L égalité s écrit donc : ab = ab =. Les seuls couples solutions sont ; ) et ; ) et le seul avec a< b est le couple ; ). Proposition 5 : Vrai On a par hypothèse M = 00a+ 0b+ c = 7k, ) k NetN = 00b+ 0c+ a. Donc M N = a 0b c = a 0b c). Or )= 0b c = 00a 7k. Donc M N = a+ 00a 7k)= a 7k) = 7a k) = 77a k) qui est bien un multiple de 7. Exercice points. a. +0 = personnes sur 000 ont eu au moins un retard le premier mois ; la probabilité est donc égale à 0,. b. Sur les 57 personnes n ayant pas eu de retard le premier mois, = 0 ont eu au moins un retard le mois suivant ; la probabilité est donc égale à 0 57 = Polynésie juin 006

4 . a. La lecture du tableau permet de dire que p = 0,5, q = 0, et r = 0, 0. b. On dresse l arbre suivant : A n 0,6 A n+ p n 0,5 A n+ 0,66 A n+ q n B n 0, A n+ r n 0,66 A n+ C n A n+ 0, On a donc p n+ = p A n+ )= p An A n+ )+p Bn A n+ )+p Cn A n+ )=0,6p n + 0,66q n + 0,66r n. c. Or p n + q n + r n =. D où p n+ = 0,6p n + 0,66 p n )= 0,p n + 0,66. d. u n = p n 0,55= u n+ = p n+ 0,55= 0,p n +0,66 0,55= 0,u n + 0,55)+0, = 0,u n, égalité qui montre que la suite u n ) est une suite géométrique de raison 0,. e. Commelaraison delasuite u n ) est < 0,<, on sait que lim u n = 0 et par conséquent lim p n 0,55=0 lim p n = 0,55. Exercice 6 points Partie A. On sait que F x)= f x) 0 f est croissante sur R.. Sur [ ; + [, f x) e, d où f t) dt x e dt F ) e. D autre part cette intégrale d une fonction positive sur l intervalle [ ; ] est positive. Partie B. a. f x) = x e x = f x) = xe x x e x = xe x x), dérivée qui a le signe du trinôme x x). Celui-ci est positif entre les racines 0 et. Les variations sont donc bien celles qui sont indiquées dans le tableau. D autre part f 0)=0 et f) = e = e. b. On a f x) g x)= x e x e x = x ) e x qui est du signe du trinôme x. Conclusion : C ) est au dessus Γ) sauf entre et.. La fonction h est la fonction «écart vertical» entre les deux courbes de la question précédente. H x)= x )e x x x ) e x = e x x + x + x+ ) = e x x ). a. H x) = x )e x x x ) e x = e x x + x + x+ ) = e x x ). Donc H est bien une primitive de h. Polynésie juin 006

5 b. A a)= f t)dt g t)dt = α α ) e α + e. c. On a lim α Donc lim A a)= e. e α = lim α e α = lim [f t) g t)]dt = e α = 0. ht)dt = [Ht)] α = 0 -x Q -x P a. Voir ci-dessus b. On a par définition PQ = xq x P =xp x Q d après le graphique pour x < ). D autre part par définition : f x P )=m et g x Q )=m. Donc f x P )= g x Q ). c. Si PQ =, alors x P = x Q +. L égalité précédente f x P )= g x Q ) s écrit donc : x P e x P = e x Q x Q + ) e x Q = e x Q x Q + ) e = xq + ) = e xq + = e x P = e. Polynésie 5 juin 006

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