FIN 201 : MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES

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1 UNIVERSITÉ DE CERGY-PONTOISE U.F.R. Economie et Gestion Licence d Économie et Finance / Licence de Gestion L2 - S3 FIN 201 : MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES TEST - Novembe h30 CALCULATRICES SANS MODULE DE CALCUL FORMEL AUTORISÉES FORMULAIRE SANS ANNOTATION AUTORISÉ LES PORTABLES DOIVENT ÊTRE DÉBRANCHÉS ET RANGÉS. Le baème est donné à tite indicatif CONSIGNE DE RÉDACTION : Vous devez pésente vos calculs, en paticulie explique ce que vous calculez, écie les fomules utilisées avec les données numéiques avant d isole l inconnue chechée (losque c est possible) et de donne vote solution : la notation tienda compte de ces consignes. Execice 1-2,5 points { } 2 1. Soit f la fonction définie su R pa f(x) = 2x + 1. Etudie les 3 3x + 2 vaiations de f su [0; 1]. En déduie que pou tout x [0; 1], f(x) [0, 1]. 2. On considèe la suite (u n ) définie pa écuence : u 0 = 0 u n+1 = 2u n + 1 3u n + 2 Démonte pa écuence que pou tout entie n N, u n [0; 1]. Execice 2-3,5 points Dans cet execice, tous les taux d intéêts considéés sont des taux d intéêts simples commeciaux (sauf question 2). Les questions sont indépendantes les unes des autes : 1. Calcule le montant des intéêts poduits pa un placement de e à 6% du 10 avil au 7 septembe La difféence ente intéêt commecial et intéêt civil d un capital placé à 7, 3% pendant 108 jous est égal 1, 26 e. Calcule ce capital. 3. Un capital de e pêté le 13 novembe 2015 à 2, 2% a une valeu acquise à la fin du pêt de , 90 e. A quelle date le pêt sea-t-il embousé? 4. Une banque pête à intéêts pécomptés au taux de 6% un capital de e pendant 21 jous. Détemine le taux effectif de ce placement.

2 Execice 3-6 points Dans cet execice, tous les taux d intéêts considéés sont des taux d intéêts composés. Les questions sont indépendantes les unes des autes : 1. Quelle sea la valeu acquise au bout de 4 ans d une somme de e placée au taux de 2, 4% (capitalisation annuelle)? Même question losque la capitalisation est timestielle au taux popotionnel. 2. Au bout de combien d années un investisseu aua-t-il doublé son capital initial si le taux est toujous de 2, 4% (capitalisation annuelle). Même question si la capitalisation est timestielle au taux popotionnel. 3. Quel devait-ête le taux d intéêt annuel pou que le capital initial voit sa valeu double au bout de 25 ans? 4. Un établissement financie vous popose de place e au taux de 5% pendant 4 ans, puis 6% les 3 années suivantes et enfin de 6, 5% les 3 denièes années. (a) Quelle est la valeu acquise à la fin des 10 années? (b) Quel est, su la péiode, le taux moyen annuel du placement? 5. On dépose à la banque e. Un an apès on etie e. Encoe un an apès, on dispose su note compte de 4 105, 56 e. Calcule le taux d intéêt associé à ce compte. Execice 4-4 points 1. Rappele la définition de «Remette un effet à l escompte» 2. Le 22 octobe 2015 un effet commecial à échéance du 30 janvie 2016 et de nominal égal à e est emis à l escompte, au taux d escompte 5%. Calcule l escompte commecial et la valeu actuelle commeciale de cet effet. 3. Deux capitaux, de valeus nominales espectives e et e et d échéances espectives les 01/01/2017 et 01/01/2019 sont emis à l escompte le 01/01/2015. L escompte commecial total de ces deux capitaux etenu pa la banque est de , 85 e. Calcule le taux d actualisation de négociation appliqué pa la banque. Execice 5-4 points Madame Y souhaite se constitue un capital de e dans 4 ans. 1. Combien doit-elle place chaque année pou y paveni, le taux d intéêt étant de 2, 3%? 2. Elle s apeçoit que ce montant dépasse ses possibilités et qu elle ne peut économise que e pa an. Au bout de combien d années aua-t-elle constitué son capital? (taux toujous égal à 2, 3%) 3. Quel devait-ête le taux d intéêt annuel pou que Madame Y. puisse acquéi un capital de e au bout de 5 ans en plaçant 5000 euos pa an? 4. Une aute banque annonce un taux annuel de 2, 3 % mais les intéêts sont vesés mensuellement au taux popotionnel : explique pouquoi Mme Y. devait change de banque : etouve vote ésultat en calculant le taux annuel effectif poposé pa cette seconde banque.

3 UNIVERSITÉ DE CERGY-PONTOISE U.F.R. Economie et Gestion Licence d Économie et Finance / Licence de Gestion L2 - S3 FIN 201 : MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES Coigé du TEST 1 - Novembe 2015 Execice 1-2,5 points 1. 1 point Pou tout x 2 3, f 1 (x) = donc f est stictement (3x + 2) 2 ] coissante su, 2 [ ] [ 2 et su 3 3, +, en paticulie su [0; 1]. Ainsi, si [ 1 0 x 1, alos f(0) f(x) f(1) i.e. f(x) 2 ; 3 [0; 1] 5] 2. 1,5 point P (n) : u n [0; 1] Initialisation : u 0 = 0 [0; 1] et P (0) est vaie. Héédité : soit p N tel que u p [0; 1], montons alos que u p+1 [0; 1] : o d apès la question 1, si u p [0; 1], alos u p+1 = f(u p ) [0; 1] : donc P (p + 1) est vaie. Conclusion : La popiété est vaie pou n = 0 et est hééditaie, donc d apès le pincipe de démonstation pa écuence, cette popiété est vaie pou tout entie n, i.e. u n [0; 1] pou tout n N. Execice 2-3,5 points 1. 1 point La duée du pêt est exactement de 150 jous (20 en avil ca on ne pend pas en compte le 1e jou, 31 en mai, 30 en juin, 31 en juillet et Août et 7 en septembe). Les intéêts I sont égaux à (fomule (II.1c) ) : I = , = 600 e point Soit C 0 le capital placé. On note I l intéêt commecial et I intéêt civil. On a alos (fomules (II.1c) et (II.1d)) : ( 1 I I = C 0 0, ) 365 soit 1, 26 = C 0 0, 0003 et C 0 = 4200 e point Soit j la duée du pêt en jous, on a C 0 = e et ( ) ( ) Cj C C j = , 90 e. D apès la fomule (II.2c), on a : j = = C 0 ( ) ( ) 53, = 49 jous. Le pêt sea embousé le 01 janvie 2016 (17 j , 022 en novembe, 31 j. en décembe et 1 j. en janvie) 4. 0,5 point D apès la fomule (II.3), le taux d intéêt effectif e véifie e = 1 j/360 = 0, 06 6, 021% 1 0, 06 21/360

4 Execice 3-6 points 1. 1,5 point D apès la fomule (II.6), C 4 = , = , 16 e. Le taux popositionnel timestiel est 4 = 2, 4 = 0, 6% et la capitalisation 4 acquise au bout de 16 timestes est alos de C 4 = , = , 34 e point On cheche n (en années) tel que C n = 2C 0. On ésout (dans R) 2C 0 = C 0 1, 024 x x = ln 2 29, 22 soit 29 ans et 3 mois envion. ln 1, 024 Si la capitalisation est timestielle au taux 0, 6%, on ésout : 2C 0 = C 0 1, 006 x x = ln 2 = 115, 87 soit 116 timestes envion : donc 29 ans ln 1, 006 envion. 3. 0,5 point On cheche le taux d intéêt tel que : 2 = (1 + ) 25 = 2 1/25 = 0, soit 2, 81% envion point La valeu acquise au bout des 10 années est : C 10 = , , , = , 34 e. 0,5 point Le taux moyen véifie : (1 + ) 10 = , 34 = ( ) , 34 1/10 5, 748% ,5 point Soit le taux d intéêt cheché : véifie (10000 (1 + ) 6000)(1 + ) = 4105, 56. En posant X = 1 +, on est amené à ésoude l équation : x x 4105, 56 = 0 10x 2 6x 4, = 0, de disciminant = 200, Cette équation possède une unique solution positive : X = 1, Ainsi = 0, 75%. Bef, on a simplement déposé nos économies su un livet A. Execice 4-4 points 1. 1 point Un céancie possédant une céance la négocie à la banque qui en conte-patie gade une commission (= escompte) point Il y a exactement 100 jous ente le 22/10/2015 et le 30/01/2016 : l escompte commecial est donc égal à (fomule (II.1c)) e = , = 250 e et la valeu actuelle (au 22/10/2015) de cet effet est donc e points Soit le taux d intéêt etenu. véifie : (fomules (II.13) et (II.14)) (1 + ) (1 + ) 4 = , 85 = , 15 On pose X = (1 + ) 2 et on ésout l équation : 2X 2 + X 2, = 0. Le disciminant est = 20, Cette équation a une seule acine positive : X = 0, On ésout alos (1 + ) 2 = 0, , soit 6, 25%

5 Execice 5-4 points 1. 1 point On doit détemine l annuité constante qui pemet de constitue une VA de e au bout ( de 4 ans au taux annuel : 2, 3% : A véifie (fomule 1, ) ( ) (III.4) ) = A A = = 1, , 15 e ( 1, 023 n ) 2. 1 point On cheche n tel que = = 1, 023 n ln(1 + 30/5) n = 5, 68 années soit 5 ans ln 1, 023 et 247 jous 3. 1 point Si Mme Y. souhaite néanmoins obteni e au bout de 5 ans, il faut qu elle ( touve une banque qui lui popose le taux véifiant : (1 + ) 5 ) = 5000 (1 + )5 = 6 : il faut s aide du solveu de la calculatice 9, 13% 4. 1 point Le taux popotionnel est supéieu au taux équivalent : donc le taux effectif annuel poposé pa cette seconde banque est supéieu à 2, 3% Le taux mensuel popotionnel a un taux annuel de 2, 3% est (fomule (II.9)) 12 = = 0, 19167% 12 Le taux annuel équivalent est (fomule (II.10)) = 1, , 324%