TRANSFORMATION DE LAPLACE (Corrigé des exercices )

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1 TRANSFORMATION DE LAPLACE (Corrigé des eercices ). Déterminer la transformée de Lalace de a) t e at,b)t t n e at,c)t sin ωt, d) t e 4t sin(5t), e)t t cos t, f)t sin t I ]3,+ (t), g)t t I ], (t)+( t)i, (t). a) L(e at )() = e at e t dt = e ( a)t dt = a e ( a)t b) D arès la roriété dedérivée de la transformation : ] + t n e at e t dt =( ) n dn ( L(e at d n ) ) ( ) () =( ) n dn d n = a = a. n! ( a) n+ c) L(e iωt )() = iω = + iω = L(cos ωt)()+il(sin ωt)(). En identifiant artie réelle + ω et artie imaginaire, on a : L(cos ωt)() = + ω et L(sin ωt)() = ω + ω d) L(e 4t 5 sin 5t)() =L(sin 5t)( +4)= ( +4) +5. e) D arès la roriété dedérivée de la transformation : ( ) L(t cos t)() =( ) d d (L(cos t)) () = d d + ( ) d d = + + ( +) d ( ) d = + ( +) 4 ( +) + 83 ( +) 3 = 6( +)+8 3 ( +) 3 donc L(t cos t)() = 3 6 ( +) 3. f) L(sin t I ]3,+ (t))() = 3 e it e t dt = 3 i e ( i)t sin te t dt : c est la artie imaginaire de ] + donc L(sin t I ]3,+ (t))() = e 3 (cos 3 + sin 3). + g) L(t I ], (t)+( t)i, (t))() = te t dt + te t dt = ( t )] e t + 3 = i e 3( i) = + i + e 3 (cos 3 + i sin 3) e t dt = e ( t)e t dt. e t ] = e e

2 ( t)e t dt = ( ( t) )] e t e t dt = e + e t Ainsi, L(t I ], (t)+( t)i, (t))() = e e + = (e ). ] = e + e e. Déterminer les originau de a) a,b) a ( +3) 3. a a = ( a ) = ( L(e at )() L(e at )() ) ( e at e at ) = L (). + a Ainsi, l original de a est t sh(at). a ( +3) 6 +9 = ( +3) 3 ( +3) 3 ( +3) 3 = +3 6 ( +3) + 9 ( +3) 3 En utilisant la roriété dedérivée, on a ( +3) = L(te 3t )() et ( donc ( +3) 3 = L e 3t ( + 6t + 9 ) t ) (). Ainsi, l original de ( +3) 3 est t e 3t ( + 6t + 9 t ). ( +3) 3 = L(t e 3t )() 3. Résoudre les équations différentielles suivantes : a) +3 =,b) +3 = cos(3t) avec () =, c) + = t avec () = et () =. D arès la roriété de transformée de la dérivée, L( )() =L()() () = () (). On a donc : a) () () + 3() =, soit ( +3)() =(), et () = (), ce qui donne, en +3 remontant à l original, (t) =()e 3t. b) On a ici () = mais L(cos 3t)() = +9 () = ( + 3)( +9) = α +3 + avec α = lim 3 +9 = 3 8 = 6, β = lim 3i et γ = lim 3i ( + 3)( +3i) = 3i 6i(3 + 3i) = 3 3i = i 36. ( Ainsi, () =L 6 e 3t + +i e 3it + i ) e3it () =L et donc (t) = 6 (cos 3t + sin 3t e 3t ). donc ( +3)() = β +3i + c) Toujours d arès la roriété de transformée de la dérivée, γ 3i +9 et ( + 3)( 3i) = 3i 6i(3 3i) = 3+3i = +i 36 L( )() = L()() () () = (). ( 6 e 3t + 6 cos 3t + 6 sin 3t ) ()

3 3 De lus, on a L(t)() = d d L()() = d d Lalace des deu membres de l équation, ( ) =. Ainsi, en renant la transformée de () + () = On a donc ( +)() = + = 3 +, soit 3 + avec β = lim =,γ = lim + i 3 + et α + γ + δ = lim + Ainsi, () = + i () = 3 + ( +) = α + β + γ + i + δ i 3 + ( i) = +i = i i, δ = lim i i = donc α = 3 + ( + i) = i i = +i ( +i =. +) + i + +i i = ( i)( i)+(+i)( + i) + (, soit +) () = + + Or = L(t)(), + = L(cos t)()et = L(sin t)(), d où () =L (t + cos t sin t)() + et donc, ar unicité de la transformation de Lalace, (t) =t + cos t sin t. { = 3y ; () = 8 4. Résoudre les systèmes différentiels suivants : a) y = y ; y() = 3 { f b) (t) =f (t) 6f (t) ; f () = f (t) =6f (issu d un roblème de fiabilité). (t) 5f (t) ; f () = ; On transforme les systèmes en utilisant les transformations de Lalace, sachant que L(f )() =L(f)() f(). { { () () = () 3y() ( )() 8= 3y() a), soit. Afin d éliminer (), y() y() = y() () ( )y() 3= () on multilie la remière équation ar et la deuième ar et on obtient soit ( )() =6 6y() =3( ) ( )( )y(), ( )( ) 6]y() =( 3 4)y() =3 Ainsi, 3 y() = ( 4)( +) = α 4 + β avec α = lim = = etβ = lim = = 5 donc y() = = L(e4t )()+5L(e t )().

4 4 On en déduit y(t) = e 4t +5e t uis (t) = (y(t) y (t)) = ( e 4t +5e t +8e 4t +5e t), soit (t) =3e 4t +5e t. { f () f b) () = f () 6f () f () f () = 6f () 5f (), soit, avec f () = et f () =, { ( +6)f () =f ()+ ( +5)f () =6f () Afin d éliminer f (), on multilie la remière équation ar + 5 et la deuième ar et on obtient ( + 6)( +5)f () ( + 5) = f (), soit ( + 6)( +5) ]f () = +5. On en déduit f () = +5 avec α = lim 9 + = 4 7 = = +5 et β = lim +9 = 3 7. α +9 + β + On a donc f () = 4 7 L(e 9t )()+ 3 7 L(e t )(), soit f (t) = 4 7 e 9t e t et f (t) = f (t)+3f (t) = 4 7 ( 9e 9t )+ 3 7 ( e t )+ 7 e 9t e t soit f (t) = 6 7 e 9t e t. 5. Erimer Φ en fonction de f si on a, our tout >, Φ() e y Φ(y) dy = f(). On rend la transformée de Lalace des deu membres. D arès la roriété sur la convolution : ( ) L e y Φ(y) dy () =L(e t )()L(Φ(t))() On a alors L(Φ(t))() L(e t )()L(Φ(t))() =L(f(t))() =( Φ() = f() =f()+ f() )L(Φ(t))(). Ainsi, avec = L(e(+)t )() et, toujours d arès la roriété sur la convolution, ( ) f() =L e (+)( u) f(u) du () et donc, ar unicité de la transformation de Lalace, Φ() =f()+ e (+)( u) f(u) du.

5 5 Thème d étude On considère une unité de service (guichet ar eemle) à un seul serveur, sans rejet de clients. Notations : Pour le k-ième client qui se résente dans le système, on note t Ak l instant de son arrivée ; t Dk l instant de son déart ; τ k = t Ak t Ak l intervalle de tems entre la (k )-ième arrivée et la k-ième arrivée ; w k le tems d attente dans la file, éventuellement nul, du k-ième client ; v k le tems de service du k-ième client ; u k le tems assé dans le système ar le k-ième client. On suose que la loi de τ k est indéendante de k, de densité a, et que la loi de v k est indéendante de k, de densité v, de fonction de réartition H. On note F k la fonction de réartition de w k et G k la fonction de réartition de u k. ) Rerésenter sur l ae des tems les différentes quantités récédentes, en distingant les cas w k > et w k =. ) Erimer u k en fonction de w k et de v k.endéduire que, our tout >, G k () = F k ( t)v(t)dt. ) Erimer w k en fonction de u k et de τ k.endéduire que, our tout >, F k () = G k ( + t)a(t)dt. 3) Déterminer F () et montrer que les résultats récédants ermettraient de déterminer F k () et G k () our tout k. Écrire les équations vérifiées ar F et G en régime ermanent (où F = lim et F = lim F k). k + k + F k 4) On se roose de résoudre ces équations dans le cas où la densité de la loi des interarrivées et de la loi de service sont eonentielles (a(t) =e t I ],+ (t) et v(t) =µe µt I ],+ (t)). i) Montrer que F () =e F () e F () = F () G() e t G(t)dt our tout >, uis que et que G() = µf () µ +. + µ ( ii) En déduire que F () = ( + µ ) F (), uis que F () = µ e (µ )) F () µ. Montrer enfin que F () = µ e (µ ) et que G est la fonction de réartition d une loi eonentielle de aramètre µ. ) Si t Dn t An,lan-ième ersonne n attend as et w n =. Sinon, elle attend t Dn t An. On a donc w n = ma(t Dn t An, ) ; or u n = t Dn t An et τ n = t An t An, donc

6 6 w n = ma(u n τ n, ). F n () =P (w n ]). Pour, ma(u n τ n, ) ] =u n τ n ] et F n () = P (u n τ n ]) = = P (u n + t]/τ n = t])f τn (t)dt = P (u n τ n ]/τ n = t])f τn (t)dt P (u n + t])f τn (t)dt car u n et τ n sont clairement indéendantes, et, comme la densité de la loi des interarrivées est a, on a, our >, F n () = G n ( + t)a(t)dt. Le tems dans le système étant égal à la somme du tems d attente et du tems de service, on a u n = w n + v n. G n () = P (u n ]) = P (w n + v n ]) = = P (w n t]/v n = t])f vn (t)dt = P (w n + v n ]/v n = t])f vn (t)dt P (w n t])f vn (t)dt car w n et v n sont clairement indéendantes, et, la densité de la loi de service étant s, on a, our >, G n () = F n ( t)s(t)dt, soit G n = F n s. 3) F fonction de réartition de w. Or w = car la remière ersonne n attend as. Donc, our >, F () =P (w ]) =. On a alors, G () = s(t)dt uis F () = G (t + )a(t)dt, uis G () = tous les F n et tous les G n. F ( t)s(t)dt... De roche en roche, on détermine Le régime ermanent s obtient en assant à la limite à l infini. Si F = lim n F n et G = lim n G n, on a alors F () = G( + t)a(t)dt et G() = F ( t)s(t)dt. 4) i) Dans le cas où la densité de la loi des interarrivées et de la loi de service sont eonentielles, on a a(t) =e t I ],+ (t) ets(t) =µe µt I ],+ (t). En faisant le changement de variable u = + t dans F (), on a alors F () = Or F () = G( + t)e t dt = G(u)e (u ) du = e G(u)e u du = e G(u)e u du e G(u)e u du G(t)e t dt donc our >, F () =e F () e e t G(t)dt. On asse alors à la transformée de Lalace définie ar f() = e f()d. Raelons que si f() =e α, alors f() = α, que f g() =f()g(), que f () =f() f(), (donc si

7 7 f() = g(t)dt, f() = g()) et que si f() =eα g(), alors f() =g( α). On a alors, en utilisant en lus la linéarité, F () = F () G(). En effet, si f () =e f () avec f () = f 3 ()d où f 3 () =e G(), on a sucessivement f () =f ( ) = f 3( ) G( + ) et f 3 () =G( + ) d où f () = = G(). F () G() On a donc F () =. De lus, G = F s, ets() = µ (), donc G() =µf + µ + µ. ii) De F () = F () ] µf () µ,ondéduit F () + = F () + µ ( )( + µ). ( )( + µ)+µ F () = F () ( + µ)f (), d où F () = ( )( + µ) + µ = + µ ( ( µ)) F (). On décomose la fraction rationnelle de en éléments simles : + µ ( ( µ)) = A + B ( µ) F () µ donc F () = µ avec A = µ µ et B = µ = µ que si g α () =e α, alors g α () = F (), d où F () = α linéarité de la transformée de Lalace, on en déduit que F () = F () µ Pour trouver F (), on utilise alors finalement F () = µ e (µ ) si. ]. On a vu ( µ) µ µg () g µ ()]. Par unicité et µ e (µ )]. lim F () = : = µ F () F () donc + µ µ = µ et C + µ Puis G() = F () + µ = µf () ( ( µ)) = F () µ µ donc G() = µ µ F () g () g µ ()] ] D avec C = µ ( µ) µ et D = et G() = µ µ F () g () g µ ()] = µ µ F () e (µ )] avec, en faisant +, = µ µ F (), donc G() = e (µ ) si : c est la fonction de réartition d une variable aléatoire de loi eonentielle E(µ ).