LES CHIFFRES SIGNIFICATIFS ET LES INCERTITUDES

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1 Une prédiction de certains écoloistes : Les poissons devraient avoir disparu en 048! LES CHIFFRES SIGNIFICATIFS ET LES INCERTITUDES Les rèles suivantes s appliquent pour tous les calculs ipliquant des valeurs obtenues par des esures ou par des calculs provenant de valeurs esurées. Tous les calculs dans les travaux expérientaux devraient respecter ces rèles. Dans les exercices théoriques coe ceux de votre volue de physique, ainsi que lorsqu on ne vous deande pas de tenir copte des incertitudes, vous pouvez ne pas tenir copte des rèles concernant les chiffres sinificatifs, assuant que les valeurs données sont parfaiteent précises. Expriez alors les résultats finaux avec chiffres sinificatifs. Oriine des concepts de chiffres sinificatifs et d incertitude Considérons l affiration suivante : «Il y a poissons dans l océan». Coent peut-on être aussi précis, jusqu aux unités (le ), dans le décopte aussi ardu que le nobre de poissons de l océan! Ce est-il «sinificatif»? Par ailleurs, êe une valeur arrondie de cette quantité (par exeple ) deeure forcéent une estiation assez vaue. Il est donc pertinent d indiquer un «doaine d incertitude» dans lequel on croît que la valeur réelle se trouve. Par exeple, ± Il est donc plus probable de ne pas se troper, au risque d être oins précis. 1- Les chiffres sinificatifs (c.s.) Les chiffres sinificatifs concernent le nobre et la position des chiffres qu on utilise pour représenter un nobre. Mêe si un calcul nous donne une valeur ayant jusqu à 10 chiffres (coe sur la calculatrice), ils ne sont pas tous «sinificatifs» et ne doivent pas tous être indiqué dans le résultat. Voici les rèles à respecter, dans le cas de deux exeples de valeurs (0, et 00) : Exeples Soit deux nobres quelconques 0, Tout chiffre différent de zéro est sinificatif; 0, Les zéros placés entre deux chiffres sinificatifs 0, sont sinificatifs; Les zéros placés à auche du preier chiffre différent 0, de zéro ne sont pas sinificatifs; Les zéros placés à droite sont sinificatifs s'ils sont 0, placés après la virule; Exceptionnelleent, les zéros à droite ais qui précèdent la virule 00 peuvent être ou ne pas être sinificatifs; ils peuvent être là sipleent pour perettre de situer la virule (situer l ordre de randeur du nobre). Par exeple, le nobre 00 pourrait coporter de un à trois chiffres sinificatifs (ça dépend de l auteur, ais ça laisse place à l abiuïté). La notation scientifique peret d éviter cette abiuïté :,00 10 coporte nécessaireent chiffres sinificatifs; S il n y en a qu un, on dira plutôt 10. Exercices : Cobien les données suivantes ont-elle de chiffres sinificatifs? a) 5 : b) 406 : c) 40, : d) 0,00 : e),400 : 1

2 f) 007,70 : ),90 10 : h) : i) 0,00 10 : Réponses : a) b) 4 c) d) e) 4 f) ) h) 1 à 5 i) Opérations athéatiques liées aux chiffres sinificatifs Le nobre de déciales et/ou de chiffres sinificatifs des données d un calcul a une influence sur les chiffres sinificatifs que l on conserve dans le résultat : Addition et soustraction : Le résultat a autant de déciales (êe précision) que la esure qui est la oins précise. On arrondit le dernier chiffre conservé en fonction du suivant. Ex :,7 + 14,45 17,15 17, On arde une seule déciale car «,7» n en possède qu une. Multiplication et division : Le résultat a autant de chiffres sinificatifs que la esure qui en coporte le oins. On arrondit le dernier chiffre conservé en fonction du suivant. Ex :,7 14,45 9,015 9 On arde seuleent chiffres sinificatifs car «,7» n en possède que deux. Exercices : Expriez le résultat des opérations suivantes avec le bon nobre de c.s. : a) +, b) 4,1 1, c) 91, , , 40 d) 4,1 1, e) 9,14 1, 0 f) 1,5 1,5 15 Réponses : a) 4 b) 40,9 c) 19,4 d) 51,8 e) 9 f) 1950 ou 1,95x10 - Précision des instruents de esure et incertitude Tout le atériel utilisé et la façon de l utiliser pour prendre une esure coporte une certaine incertitude due à son iprécision. On ne peut pas être plus précis que la précision de l'appareil. Parfois, certains facteurs auentent êe l incertitude. Instruent à échelle raduée : La précision correspond à la oitié de la plus petite division; Certains ouvraes indiquent de prendre fois la oitié de la plus petite division, ais cette éthode est discutable puisqu il est souvent possible, pour au oins l une des extréités de la esure, de s assurer que la arque à situer arrive vis-à-vis une raduation. Instruent à affichae nuérique : La précision correspond une pleine unité sur le dernier chiffre affiché; Ex : 00:09.58 Le teps donné ici (par exeple par un chronoètre) est précis au centièe de seconde près. L incertitude est donc de 1 unité sur le dernier chiffre (les centièes). Donc ± 0,01 s À l occasion, l affichae électronique d un instruent peut osciller constaent et ne pas donner une valeur stable (coe une balance électronique précise au centièe de rae). Dans ce cas, on doit estier la valeur centrale des fluctuations, et l incertitude serait alors la randeur des fluctuations observées de chaque côté de la valeur centrale. Instruent d'autre type : La précision est fournie par le fabriquant. Il arrive d ailleurs que des appareils unis d une échelle raduée ou d un affichae nuérique aient une incertitude donnée arbitraireent par le fabriquant.

3 Utilisateur et utilisation de l instruent : Dans certains cas, l utilisateur ou la façon d utiliser un instruent ajoute une contribution à l incertitude, en raison des anipulations qui ne perettent pas d exploiter toute la précision offerte par l instruent de esure; Ex : 00:09.58 S il s ait du teps esuré avec un chronoètre, le teps de réaction d une personne ne peret en aucun cas d atteindre une précision au centièe de seconde près. La précision est plutôt de l ordre du dixièe de seconde pour chaque activation du bouton, donc la valeur deviendrait (9,6 ± 0,1) s ou êe (9,6 ± 0,) s. Ex : Avec une rèle ordinaire, on ne peut esurer le diaètre d une balle sans rencontrer un problèe de parallaxe. On doit donc ajorer l incertitude à un ou quelques illiètres. Parallaxe : phénoène par lequel le point de vue lors de la esure a une influence sur la lecture d une échelle raduée. Ex : Mesure de la distance entre deux arques au crayon de feutre ras. Une rèle raduée en illiètres a une incertitude de 0,5, ais la taille des points rend iprécise la position exacte réelle des arques. Il pourrait être conseillé de considérer une incertitude de 1 ou illiètres..1- Concept d incertitude L incertitude x d une randeur x peut se représenter sur une droite des nobres par une zone coprise entre «les valeurs extrêes» du doaine probable d une randeur, soit ( x x ) et ( x + x ). La valeur exacte est inconnue, ais on sait qu elle est supérieure à x in et inférieure à x ax. La plupart des rèles concernant l incertitude sont déterinées par convention, et peuvent sebler discutables, n en soyez pas surpris. Mais il peut être préférable de suivre ces conventions pour que tout le onde procède de la êe façon..- L incertitude absolue L incertitude absolue est expriée dans les êes unités que la randeur elle-êe. L'incertitude absolue doit énéraleent être expriée avec un seul chiffre sinificatif. (le chiffre conservé est arrondi à la hausse* à l unité près, après tous les calculs, pour ne pas sousestier l incertitude réelle) : Ex : ± 0,145 k ± 0, k (* Le choix d arrondir à la hausse n est pas universel (d autre professeurs pourraient ne pas le deander), alors voyez-le coe facultatif. Cependant, il se défend par le fait que si on réduit le doaine d incertitude pour forcer l affichae à un chiffre sinificatif, on rend possible le fait que la valeur réelle d un phénoène ne se trouve plus à l intérieur du doaine d incertitude exprié. Dans ce docuent, considérez l arrondisseent à la hausse de l incertitude.) Exercices : réécrire les incertitudes données en respectant la rèle d arrondisseent : a) ± 1,7 : b) ± 0,01 : c) ±1,7 : d) ± 0,961 :

4 La valeur doit être expriée avec la êe précision que l incertitude. (le dernier chiffre conservé est arrondi à l unité près (arrondi noraleent)) : (,4 ± 0,) k (, ± 0,) k Exercices : e),95 ± 1,7 : f) 1,0 ± 0,1 : ) 5 ± 14 : h) 0,004 ± 0,01 : L'unité doit toujours être indiquée après l'incertitude (hors parenthèses) Ex : 5 ± 4 (5 ± 4) Avec la notation scientifique, on attribue le êe exposant à la valeur ET à l'incertitude (ise en évidence de la puissance de 10, plusieurs réponses sont possibles selon la puissance utilisée) ± 10 Ex : 7 k ± 187 k 00 k ± 00 k ( ) k En énéral, en notation scientifique, on ne arde qu un chiffre à auche de la virule pour le plus, ± 0, 10 rand des nobres. On obtient alors ( ) k Exercices : réécrire les valeurs avec incertitude en utilisant la bonne puissance de 10 : i) k ± k j) 0, ± 0,000 0 k) 1 51 ± 80 l),5 10 ± 8 Réponses : a) ± b) ± 0,0 c) ± 0 d) ± 1 e) ± f) 1, ± 0, ) 0 ± 0 h) 0,00 ± 0,0 i) (4,5 ± 0,05) x 10 5 k j) (,5 ± 0,) x 10-4 k) (1, ± 0,8) x 10 l) (,5 ± 0,0) x 10.- L incertitude relative L incertitude relative est le pourcentae que représente l incertitude absolue par rapport à la valeur réelle. x % 100 x 5 ± 100 1% 5 5 ± 1 % : ( ) L'incertitude relative est expriée avec deux chiffres sinificatifs (arrondis noraleent) et l'unité s'inscrit après la esure. Attention! Les unités de l incertitude relative et de la valeur principale ne sont pas les êes. Il n y a donc pas de lien entre le nobre de c.s. que l on arde de part et d autre. Exercices : Calculer l incertitude relative et l exprier en respectant les nores indiquées : a) (105 ± ) b) (4,7 ± 0,1) 4

5 Lorsqu'on exprie une valeur avec une incertitude relative, on inore à priori cobien de c.s. on doit laisser à la valeur elle-êe. Il faut alors calculer l'incertitude absolue pour déteriner l ordre de randeur du dernier chiffre à conserver : 5

6 Exeple : 45,6 /s ±,1 % (45,6 /s ±,1 %) 45,6 0, ± 0,95 ± 1 On apprend donc que l incertitude absolue est précise au niveau des unités.,1 100 On doit donc arrondir la valeur à l unité près êe si elle est expriée avec incertitude relative : (45 /s ±,1 %) Exercice : Expriez la valeur suivante de façon correcte, avec son incertitude relative : c) 79,5 s ±,5 % Réponses : a) 105 ± 1,9 % b) 4,7 +0, % c) 80 s ±,5 %.- Précision et incertitude relative L incertitude relative peret entre autres d apprécier la précision d une valeur. Deux valeurs expriées avec la êe incertitude absolue peuvent présenter des derés de précision coplèteent différents. Par exeple, la lonueur d un terrain de soccer esurée au centiètre près est une esure très précise, alors que la lonueur d un téléphone cellulaire, esurée au centiètre près, est une esure très approxiative. Calculons l incertitude relative de ces deux esures pour apprécier leur précision : 0,01 100,00 Terrain de soccer : (100,00 ± 0,01) 100 0,01% 1 10 Téléphone cellulaire : (10 ± 1) % L incertitude relative nous apprend donc que la esure de la lonueur du terrain de soccer est de beaucoup plus précise que celle du téléphone cellulaire. - Calcul d'une valeur et de son incertitude (Méthode des valeurs extrêes) Toute valeur accopanée d une incertitude peut être vue coe ayant une valeur axiale et une valeur iniale, lorsqu on additionne ou soustrait l incertitude : Ex. : Soit y ± y, l épaisseur d un bloc esurée avec un alon à esurer : (5,10 ± 0,05) y y + y 5,10 + 0,05 5,15 et ax y in y y 5,10 0,05 5,05 Tout calcul utilisant une ou plusieurs valeurs incertaines donne donc aussi un résultat inial et un résultat axial (valeurs extrêes), à partir des cobinaisons des valeurs initiales et de leurs incertitudes. Ex : Si on epile 8 blocs de l exeple précédent, la hauteur x de la pile entière, avant incertitude, est donnée par : x 8y. 6

7 Cette hauteur possèdera sa propre incertitude, définie par ses valeurs axiale et iniale possibles, lesquelles sont donnée par la êe équation que la hauteur siple, ais en utilisant les valeurs extrêes de y. Cela fournira les valeurs extrêes de x : x y 8 5,10 + 0,05 41, x ( ) ( 5,10 0,05) 40,4 ax 8 ax in 8 yin 8 La valeur «centrale» de la hauteur est la oyenne des valeurs extrêes : xax + xin 41, + 40,4 x 40,8 L incertitude sur la hauteur est la oitié de la différence entre les valeurs extrêes : xax xin 41, 40,4 x 0,4 La hauteur de la pile est donc : (40,8 ± 0,4).1- Méthode énérale : Pour déteriner l incertitude d une valeur calculée, lorsque l équation qui la décrit coporte une ou plusieurs variables incertaines, la preière chose à faire est de calculer le résultat ax et le résultat in À L AIDE DE LA MÊME ÉQUATION QUE LE RÉSULTAT BRUT! Détail de la éthode 1. Identifier l équation ayant servi à calculer la valeur pour laquelle vous voulez connaître l incertitude (la variable représentant la valeur en question doit être isolée);. À l aide de cette êe équation, faites le calcul des valeurs axiale et iniale, en prenant les valeurs in et ax de chacune des variables utilisées dans le calcul. Pour cela, appliquez le raisonneent suivant : Pour chaque variable dans l équation, utiliser la valeur ax OU in de façon à axiiser ou iniiser le résultat, selon l extrêe recherché.. Connaissant les valeurs in et ax de la randeur étudiée, faites tour à tour le calcul de sa valeur centrale et de son incertitude (utilisez toute la précision disponible des valeur in et ax dans le calcul); 4. Expriez le résultat final en respectant les rèles établies (l incertitude arrondie à la hausse à 1 c.s. et la valeur arrondie noraleent avec la êe précision que l incertitude); Attention! Si une êe variable apparait plusieurs fois dans l équation, elle ne peut prendre qu une valeur. Par exeple, une valeur qui est à la fois au nuérateur et au dénoinateur d une division, on ne peut lui attribuer que la valeur axiale ou que la valeur iniale, dépendaent de son influence sur le résultat (axial ou inial); Exeple : Calcul d une asse voluique ρ (lettre recque rho inuscule) à partir des diensions et asse d un bloc : L Soit les diensions et asse suivantes : (,1 ± 0,) * l 7, h ( 4, ± 0,) ( 5, ± 0,1) 7

8 *Rearque : une valeur sans incertitude est une valeur dont l incertitude est sipleent éale à zéro! L équation principale de la asse voluique est : ρ V 5, L l h,1 7, 4,, L équation des valeurs extrêes est donc la êe équation, ais chaque variable doit être auentée ou réduite de son incertitude pour axiiser le résultat (ρ ax ) ou iniiser le résultat (ρ in ); Calcul de ρ ax : les variables au nuérateur doivent être auentées de leur incertitude, les variables au dénoinateur doivent être diinuées de leur incertitude : ρ ( 5, + 0,1) (,1 0,) ( 7, 0) ( 4, 0,) ax ax ax,9... Vin Lin l in hin *Rearque : On n arrondit pas tout de suite ce résultat, ais seuleent après le calcul des extrêes. Calcul de ρ in : les variables au nuérateur doivent être diinuées de leur incertitude, les variables au dénoinateur doivent être auentées de leur incertitude : ρ ( 5, 0,1) (,1 + 0,) ( 7, + 0) ( 4, + 0,) in in in, Vax Lax lax hax L incertitude, de part et d autre de la valeur réelle est donnée par la oitié de la différence entre les valeurs extrêes : Incertitude : * ρ ρ ax ρ in,9..., ,46... Arrondie à un c.s., l incertitude finale devient ± 0,5 Dans ce cas, on constate que la valeur de ρ calculée précédeent ne se trouve pas au centre de ρ in et ρ ax. On ne pourrait donc pas utiliser une incertitude identique à auche et à droite (voir schéa). Cela se produit souvent et il est préférable, pour exprier le résultat final, de connaître la vraie valeur «centrale», pour que l incertitude soit la êe de part et d autre, jusqu à x in et x ax. Cette valeur centrale est tout sipleent la oyenne des valeurs extrêes : Valeur centrale : ρ ρ ax + ρ in,9... +,984..., Coe vous constatez, la valeur centrale n est pas éale à la asse voluique calculée au départ :, , Résultat final : ρ (, ± 0,46... ) (,8 ± 0,5) plutôt que (,7 ± 0,5) 8

9 Dans ce cas-ci, êe après les arrondisseents d usae, la valeur «centrale» diffère de la valeur calculée au préalable. Il est donc toujours préférable de calculer la valeur centrale par la oyenne des extrêes. Exercices : Faites les calculs d incertitude suivants a) Calcul de l hypoténuse c d un trianle rectanle de côtés a, b et c : a (,1 ± 0,1) b ( 4, ± 0,1) c a + b c ax c in c c Réponse finale : c ( + ) b) Calcul du rayon r d un cercle, à partir du diaètre : ( 5,00 ± 0,0) d r ax r in r r Réponse finale : r On déontre ici que lorsqu une opération iplique une seule valeur incertaine, l incertitude est odifiée de la êe façon que la valeur elle-êe (ici une division par ). c) Calcul de l aire d un carré de côté c : c A avec c ( 5 ± 1) Réponse finale : A 9

10 d) Calcul de la force ravitationnelle entre la Terre et le Soleil : GM F r T TS M S M ( 5,98 ± 0,01) 10 k M ( 1,99 ± 0,0) 10 k r ( 1,50 ± 0,04) 10 T S TS G 6, N k Réponse finale : F e) Calcul de la portée horizontale d un projectile considérant la vitesse du lancer et l anle de projection : v x v ( 18, ± 0, ) s θ ( 0,0 ± 0,5) derés ( ) 9,81 ± 0, sin ( θ ) s Réponse finale : x 10

11 f) Attention! Si une êe variable apparaît au nuérateur ET au dénoinateur d une division, elle doit prendre la êe valeur partout. On peut déteriner l extrêe à choisir par essai et erreur : x 15 ± y 8 ± x + y z x Réponse finale : z ) Calcul du sinus d un anle : θ 98 ± 0 Réponse finale : sin θ Ici, vous auriez dû observer que pour obtenir la valeur axiale du sinus, il ne faut pas nécessaireent utiliser la valeur axiale de l anle. En fait, ça dépend du cadran dans lequel l anle se trouve. Dans tous les cas, il faut sipleent faire en sorte que la valeur ax soit plus élevée que la valeur in. Rioureuseent, dans l exeple précédent, il faudrait êe réaliser que la valeur axiale du sinus n est pas liée ni à la valeur axiale ni à la valeur iniale, car c est pour θ 90 que le sinus est axial. On trouverait alors 0,98 ± 0,0. Aussi, on peut s assurer arbitraireent que le doaine d incertitude ne dépasse pas la valeur «1», liite pour un sinus. Heureuseent, le calcul d incertitude avec des fonctions trionoétriques n est pas très fréquent. Réponses : a) c (4,8 ± 0,) b) r (,50 ± 0,01) c) A (60 ± 50) d) F (,5 ± 0,) x10 N e) x (6 ± ) f) z 1,6 ± 0, ) sinθ 0,9 ± 0,05 ou 0,94 ± 0,06 11

12 4- L écart expériental Toute coparaison d un résultat expériental avec une valeur théorique inclut un calcul de l écart expériental. L écart expériental d un résultat d expérience est la différence entre une valeur obtenue expérientaleent et une valeur de référence, ou valeur théorique. Le pourcentae d écart est le pourcentae que cette différence représente par rapport à la valeur de référence (ou la valeur théorique) : Écart exp. Valexp Val Pourcentae d' écart 100 Valthé Valthé Le résultat est donné avec chiffres sinificatifs. thé 100 * Certains ouvraes prennent la valeur absolue (positive) de ce résultat, ais une valeur néative nous infore éaleent du fait que la valeur expérientale est inférieure à la valeur attendue. Il n est donc pas contre-indiqué de arder une valeur néative. Exeple : Une expérience vous donne une accélération ravitationnelle de 9,61, et la valeur officielle est 9,81 : s Valexp Val Pourcentae d'écart Valthé thé 9,61 9,81 s 100 9,81 s Exercices : Calculez les pourcentaes d écart suivants : s 100,08... % -,0 % 1) L Epire State Buildin esure 44, ètres de hauteur. En l observant de loin, vous aviez estié sa hauteur à 400 ètres. s 19 ) Une expérience vous révèle la chare éléentaire de 1,58 10 C, alors que la chare éléentaire 19 connue est de 1,60 10 C. Réponses : 1) -9,7 % ) -1,4 % Tableaux de données incluant les incertitudes Lorsqu on veut inclure les incertitudes dans un tableau de données, plusieurs situations peuvent survenir : 1

13 Si toutes les valeurs d une êe colonne ont la êe incertitude, on peut l inscrire dans une line d entête réservée à l incertitude. t x v s /s - ± 0,1 ± 0 0-0,1 45 0, 9 60 Si l incertitude est différente pour chaque valeur, il faut alors ajouter une colonne au tableau pour indiquer l incertitude de chaque valeur. Dans ce cas, il faut fusionner des cellules d entête et érer les bordures de chaque colonne pour assurer une présentation soinée. Inforez-vous sur les différentes façons perettent de faire apparaître le sybole «±». t x v K E s /s J J - ± 0,1 ± ,5 5,1 0 0,0 ± 0,00 0,6 9,5 54 0,07 ± 0,006 0,7 5,9 6 0,099 ± 0,007 Occasionnelleent, si l incertitude est propre à chaque valeur ais qu elle ne diffère pas beaucoup sur l enseble des données, on peut se perettre d appliquer une incertitude unique en tête de colonne, à condition d utiliser la plus rande des incertitudes individuelles, pour ne pas la sous-estier dans aucun cas. v K v K /s J /s J ± - ± ±0, ,0 ± 0,00 0 0,0 54 0,07 ± 0, ,07 6 0,099 ± 0, ,099 Parallaxe La parallaxe est un phénoène par lequel une esure visuelle peut être faussée par le point de vue de l observateur. Dans tous les cas de esures faites sur une échelle raduée, il est iportant de placer son œil vis-à-vis la esure à faire, de sorte que la visée soit perpendiculaire à l échelle raduée. Une rèle épaisse nécessite cette précaution, ainsi que toute esure faite lorsqu il existe une distance entre l éléent observé et l échelle raduée utilisée. Sur l exeple illustré, la bordure de la feuille blanche se trouve à 8,0 (à auche), ais si on rearde de côté, la bordure seble être à 7,6. 1