DS commun Correction. Exercice 1 1. On donne les matrices suivantes: On a. On a immédiatement par identification 2 et 1. On a donc

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1 DS commun Correction Exercice 1 1. On donne les matrices suivantes: A= 1 0, I= 0 1 0, J= a) Montrer qu il existe deux réels et tels que : A=aI+bJ immédiatement par identification et 1. donc b) Montrer que pour tout entier naturel on a : A n = n I+n n 1 J+ nn 1 n J Démontrons cette formule par récurrence. Pour 0, on a. également La propriété est initialisée. 0, montrons que si 1 alors 1 1 I n nn 1 J J I J nn 1 J nn 1 J 1 nn 1 nn 1 J n nn 1 J 1 n 1 nn 1 J Il s agit maintenant de calculer.

2 donc Il y a donc bien hérédité et donc , On en déduit que n On considère la matrice : n B n = 1 k! Ak k=0 α n 0 0 = β n α n 0 γ n β n α n a) Exprimer les réels,,, en fonction de. 1! I J 1 J 1 1!!! 1 1!!! 1! 1!! Ce qui donne en écrivant les matrices : ! 1! !

3 Avec! 1! 3 1 1!! α n 0 0 β n α n 0 γ n β n α n 0 0! 1! 0!,!, 1! 3 1 1!! + b) On rappelle que :xr, xk =e x k! k=0 En déduire : α= lim α n, β= lim β n + n + n, γ= lim n + γ n évidemment! En passant à la limite on trouve 1!! donc !!! 3 1 7! 0 0 c) En déduire l expression de 0 donc Exercice 1 Soit I n = x n lnx+1 dx 0 1. Calculer I 0. pour tout nn.

4 ln1 La fonction 1 est continue sur [0,1], la fonction ln 1 est de classe sur [0,1]. On peut donc procéder à une intégration par parties en posant ln 1 et donc et donc Remarquons qu ici, il est plus astucieux de prendre 1 comme primitive de 1 que. Posons donc 1 et donc 1. On en tire 1 ln ln ln 1. a. Montrer que 0 pour tout. pour tout positif, 0 et 1 1 donc ln1 0. On en déduit que 0,1, ln1 0. Comme 0 1, on a bien ln1 0 b. Etablir que la suite est décroissante. On doit comparer et, ce qui revient à étudier le signe de. ln1 ln1 ln1 ln1 ln1 1 Pour 0, nous avons vu que ln1 0. De plus comme 0 1, on a 0 1. Donc 0. La suite est donc décroissante. c. En déduire que la suite est convergente. La suite est décroissante et minorée par 0 (car positive). Elle est donc convergente. 3. a. Justifier l inégalité : ln1 pour tout 0,1. Montrons que 0,1, ln1 1. Pour tout 0,1, on a 1 1. Donc par croissance de la fonction ln, on a : ln1 ln1 ln Or ln ln car. Donc 0 ln1 1

5 Comme 0 si 0, on en déduit que sur 0,1 0 ln1 b. En déduire que pour tout, 1 1. Comme 0 1, l inégalité démontrée à la question précédente implique : Or Donc d. Calculer lim. ln Or lim Donc d après le théorème des gendarmes : lim 0 4. a. En utilisant une intégration par parties, montrer que : ln pour tout ln1 La fonction est continue sur [0,1]. La fonction ln 1 est de classe sur [0,1]. On peut donc procéder à une intégration par parties. On pose ln1 1 1 alors 1 1 ln ln b. Montrer que 0 1 En déduire un encadrement de. 1 Sur l intervalle [0,1], on a 1 1, donc 1 1 1

6 donc en multipliant par positif, Comme 0 1, on peut alors écrire : Or donc 1 1 D autre part comme la fonction 1 En définitive, on a donc Donc Ce qui donne enfin est positive sur 0,1et que 0 1, on a ln ln ln ln ln 1 c. En déduire lim. d après l encadrement par, on obtient : ln ln 1 ln lim ln lim 1 Et ln lim 1 lim ln ln D après le théorème des gendarmes, on a donc lim ln lim 1 ln ln Exercice 3 Une urne contient initialement deux boules rouges et une boule bleue indiscernables au toucher.

7 ppelle «épreuve» la séquence suivante : On tire une boule de l'urne, puis : Si la boule tirée est bleue, on la remet dans l'urne. Si la boule tirée est rouge, on ne la remet pas dans l'urne mais on remet une boule bleue dans l'urne à sa place. L'expérience aléatoire consiste à effectuer une succession illimitée d'épreuves. Pour tout entier naturel non nul, on note la variable aléatoire discrète égale au nombre de boules rouges présentes dans l'urne à l'issue de la n - ième épreuve. On notera pour chaque entier naturel non nul les événements suivants : : «Lors de la k-ième épreuve on a extrait une boule rouge de l'urne» : «Lors de la k-ième épreuve on a extrait une boule bleue de l'urne» 1. Donner la loi de probabilité de. A l issue de la première épreuve, l urne peut contenir deux boules rouges si l on a extrait une boule bleue ou une seule boule rouge si l on a tiré une boule rouge. donc Ω 1, Quelles sont les valeurs possibles de dans le cas où est supérieur ou égal à? peut prendre la valeur si les épreuves n ont amené que des boules bleues, 1 si une épreuve et une seule a amené une boule rouge, les autres ayant amené des boules bleues et 0 s il y a eu au moins deux épreuves avec des boules rouges. Donc Ω 0,1, 3. Calculer pour tout entier naturel non nul,. D après ce que l on vient de dire, on peut écrire par indépendance : On pose pour tout entier naturel non nul, 1. (a) Rappeler la valeur de et montrer que /3. vu que 1 3. On peut écrire : donc par incompatibilité : Ce qui donne (b) En utilisant un système complet d'événements lié à la variable, montrer que pour tout entier naturel, 3 3.

8 Cette relation reste-t-elle valable lorsque 1? La variable définit un système complet d évènements : 0, 1,. donc L évènement 1 0 est impossible car le nombre de boules rouges diminue ou reste stable. donc par incompatibilité : Si 1 et que l on a encore 1, cela signifie que l urne contenait deux boules bleues et une boule rouge et que l on a tiré une boule bleue (puisqu il n ya pas de changement). donc 1 3 Si et que l on a 1, cela signifie que l urne contenait deux boules rouges et une boule ble et bleue l on a tiré une boule rouge (puisqu il n ya pas de changement). donc donc 1 3 Or 1 et 1 3 donc aussi Cette relation est donc vraie pour (c) On pose pour tout entier naturel n non nul. Montrer que la suite est géométrique. En déduire en fonction de et de. Etablir enfin que pour tout entier naturel non nul n,

9 3 3 La suite est une suite géométrique. donc pour tout entier Donc enfin (d) Déduire des résultats précédents 0 pour tout entier naturel non nul donc Calculer l'espérance de On note Z la variable aléatoire égale au numéro de l'épreuve amenant la dernière boule rouge. (a) Donner Z(Ω). Sur un tirage illimité, la dernière boule rouge peut être tirée à partir du deuxième tirage et sinon à n importe quel rang à partir de, donc Ω, (b) Soit k un entier supérieur ou égal à. Exprimer l'événement en fonction des variables et. L évènement est réalisé si et seulement si il reste une boule rouge et une seule dans l urne après le 1 è tirage et il n en reste plus après le ième. Donc

10 1 0 (c) En déduire la loi de Z. donc