II. Fonctions particulières - fonctions déduites.

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1 II. Fonctions particulières - fonctions déduites.. Vocabulaire : rappel de quelques définitions. a) Le graphe cartésien d'une fonction f : R R : f() est l'ensemble G = { (,) R : = f()} b) Le domaine de f est l'ensemble des éléments de R qui sont réellement origine d'un couple du graphe de f c.-à-d. dom f = { R : R : = f()} c) Un zéro (ou racine) d'une fonction est une valeur a du domaine de f telle que f(a) = 0 d) Croissance et décroissance. f R R f() A R f est croissante sur A ssi, A: < f( ) < f( ) f est décroissante sur A ssi, A : < f( ) > f( ) f est constante sur A ssi, A : f( ) = f( ) Fonction croissante Fonction décroissante Fonction constante e) Maimum - minimum - etremum f admet un maimum relatif ou maimum local f( 0 ) en 0 sur A ssi A\{ 0 } f() < f( 0 ) f admet un minimum relatif ou minimum local f( 0 ) en 0 sur A ssi A\{ 0 } f() > f( 0 ) f admet un etremum relatif ou etremum local f( 0 ) en 0 sur A ssi f admet un maimum relatif f( 0 ) en 0 sur A ou f admet un minimum relatif f( 0 ) en 0 sur A X 0 X 0 f min f ma f) Une fonction f : R R f() est périodique de période p ssi R f( + p) = f() g) Fonctions paires et impaires. f : R R f() A R f est paire sur A ssi a A : f(-a) = f(a) f est impaire sur A ssi a A : f(-a) = - f(a) 4/0/04 CNDP Erpent - Fonctions particulières - fonctions déduites. II -

2 Remarque : Le graphe cartésien d'une fonction paire est smétrique par rapport à l'ae des En effet : (, f()) G : (-, f(-)) G et (-, f(-)) = (-, f()) Les points (, f()) et (-, f()) appartiennent donc tous deu au graphe de f et sont smétriques par rapport à l'ae OY Le graphe cartésien d'une fonction impaire est smétrique par rapport à l'origine. En effet : (, f()) G : (-, f(-)) G et (-, f(-)) = (-, -f()) Les points (, f()) et (-, -f()) appartiennent donc tous deu au graphe de f et sont smétriques par rapport à l'origine. Application : En observant les graphes des fonctions ci-dessous, en déduire le domaine de définition, la parité, la périodicité (et au cas échéant la période), la variation de f (croissance, décroissance, maimum, minimum). Présenter les réponses dans un tableau. a c -a a -a a f f f f 4 Application Esquisser un graphe des fonctions qui satisfont au conditions suivantes (plusieurs solutions possibles) f est définie sur [-, ] f est impaire l'image de par f est f est strictement croissante sur [0,] f est définie sur [-,4[ f est périodique de période Sur [-,0], l'image de est, la racine de f est 0.5 f est strictement croissante sur [n, n + [, n Z f est définie sur ]-,[ f est paire le point (-,-) touche (est adhérant) au graphe de f f est strictement croissante sur ]-, -] f est constante sur [-,0] f a une racine en Application Si f() et g() sont des fonctions paires, que peut-on dire de la parité des fonctions suivantes? a) (f + g) () b) (f. g) () c) g f () d) (f g) () Justifier Reprendre la question si f() et g() sont des fonctions impaires et si f() est paire tandis que g() est impaire. II - CNDP Erpent - Fonctions particulières - fonctions déduites. 4/0/04

3 . Fonctions particulières.. Eemple Considérons la fonction f : R R f() = Le domaine de définition de cette fonction est R + Calculons quelques valeurs de points de son graphe : f() C'est une fonction constamment croissante Remarquons qu'il s'agit de la fonction réciproque de la restriction de la fonction f() = à R + et que les graphes de ces fonctions sont smétriques l'un de l'autre par rapport à la droite = 0. Eemple Soit f R R : f() = Le domaine de définition de cette fonction est R 0 Calculons quelques valeurs de son graphe. f() 4 /4 / / / / /4 4 0 / Observations : Nous avons ici une fonction décroissante dans R 0 et décroissante dans R 0 Elle n'admet pas de racine, n'a pas de minimum, pas de maimum, n'est ni majorée ni minorée. Lorsque prend des valeurs de plus en plus grandes, les valeurs des f() correspondantes sont de plus en plus proches de 0 : on notera lim 0 la droite = 0 est une asmptote horizontale du graphe de f en + Lorsque prend des valeurs négatives de plus en plus grandes en valeurs absolues (se rapproche de - ), les valeurs des f() correspondantes sont de plus en plus proches de 0 : on notera lim 0 on dira que la droite = 0 est une asmptote horizontale du graphe de f en - Lorsque prend des valeurs de plus en plus proches de 0 tout en restant négatif, les valeurs des f() correspondantes sont de plus en plus proches de - : on notera lim 0 Lorsque prend des valeurs de plus en plus proches de 0 tout en restant positif, les valeurs correspondantes des f() sont de plus en plus proches de + : on notera lim 0 on dira que la droite = 0 est une asmptote verticale du graphe de f Remarque : Point adhérent : = 0 est un point dom f, mais quel que soit l'intervalle contenant 0, son intersection avec le dom f est non vide : dans ce cas, on dira que = 0 est adhérent à dom f. C'est en de tels éléments que nous pourrons rencontrer des asmptotes verticales. 4/0/04 CNDP Erpent - Fonctions particulières - fonctions déduites. II -

4 . Eemple Soit f R R : f() = sin Calculons quelques valeurs de points de son graphe : f() 0 0 / / / / / - 7/ La fonction sin est une fonction périodique de période : R : f( + ) = f() Elle admet pour racines : = k, k Z C'est une fonction impaire : R : f(-) = - f() sin(-) = - sin. Graphiquement, cela se traduit par une smétrie centrale du graphe par rapport à l'origine..4 Eemple 4 Soit f R R : f() = cos Calculons quelques valeurs de points de son graphe : f() 0 / / / / / 0 7/ La fonction cos est une fonction périodique de période : R : f( + ) = f() cos ( + ) = cos Elle admet pour racines : = + k, k Z C'est une fonction paire : R : f(-) = f(). Graphiquement, cela se traduit par une smétrie orthogonale du graphe par rapport à l'ae des ordonnées. II - 4 CNDP Erpent - Fonctions particulières - fonctions déduites. 4/0/04

5 .5 Eemple 5 Soit f R\ { R : = + k } R : f() = tan Calculons quelques valeurs de points de son graphe : f() 0 0 /4 /.7 / / / -.7 /4-0 La fonction tan est une fonction périodique de période : R : f( + ) = f() ici : tan ( + ) = tan Cette observation nous permet de poursuivre le graphique sans calculer de point supplémentaire. Elle admet pour racines : = k, k Z C'est une fonction impaire : R : f(-) = - f() tan (-) = - tan (). Graphiquement, nous remarquons à nouveau la smétrie centrale du graphe par rapport à l'origine. Les droites = + k sont des asmptotes verticales du graphe..6 Eemple 6 Soit f R\ { R : = k} R : f() = cotan Calculons quelques valeurs de points de son graphe : f() 0 / /6.7 /4 / 0 /4-5/6 -.7 / La fonction cot est une fonction périodique de période : R : f( + ) = f() cot ( + ) = cot Elle admet pour racines : = + k, k Z C'est une fonction impaire : R : f(-) = - f(). Le graphe est smétrique par rapport à l'origine. Les droites = k sont des asmptotes verticales du graphe. 4/0/04 CNDP Erpent - Fonctions particulières - fonctions déduites. II - 5

6 .7 Eemple 7 : f : R R : f() = Rappelons que = si 0 et = - si Eemple 8 : La fonction partie entière de f : R Z : E() Par définition, E() est le plus grand entier inférieur ou égal à. f() Les fonctions du tpe = n (n N 0 ) Deu catégories se présentent selon que n est pair ou impair. si n est impair : (à gauche, graphes de =, = et = 5 ) Ces fonctions sont constamment croissantes Ce sont des fonctions impaires (leurs graphes sont smétriques par rapport à l'origine) Pour R -, elles tournent leur concavité vers le bas et vers le haut pour R +. Si < - ou 0 < <, la courbe = 5 est sous la courbe = Tandis que pour - < < 0 ou > c'est le contraire. Si n est pair : (à droite, graphes de =, = 4 et = 6 ) Ces fonctions sont décroissantes R - et croissantes pour R +. Ce sont des fonctions paires (leurs graphes sont smétriques par rapport à l'ae des ) Elles tournent constamment leur concavité vers le haut. Si < - ou >, la courbe = 4 est sous la courbe = tandis que pour - < < c'est le contraire. II - 6 CNDP Erpent - Fonctions particulières - fonctions déduites. 4/0/04

7 .0 Les fonctions du tpe = n (n N 0 ) Observations : nous avons à nouveau deu catégories de fonctions selon que n est pair ou impair. Considérons tout d'abord le graphique de gauche qui se rapporte au cas des eposants impairs. La fonction f() = est représentée en trait plein alors que g() = est en pointillés. Ces fonctions sont impaires (smétrie centrale par rapport à l'origine) et non définies pour = 0 Elles sont décroissantes dans R - et décroissantes dans R + Elles tournent leur concavité vers le bas dans R - et vers le haut dans R + Elles n'ont pas de racine. Pour des valeurs de inférieures à - ou supérieures à, le graphique de g() est plus proche de l'ae des que celui de f(), et nous avons la situation contraire pour des valeurs de comprises entre - et La droite = 0 est asmptote horizontale à droite et à gauche de chacune de ces fonctions. En termes de limites, ceci s'eprime par : lim f() = 0 et lim f() = 0 La droite = 0 est asmptote verticale de ces fonctions qui s'eprime par lim 0 f() = - et lim f() = + et de même pour g() Considérons maintenant le graphique de droite qui reprend le cas des eposants pairs. La fonction f() = est représentée en trait plein alors que g() = est en pointillés. 4 Ces fonctions sont paires (smétrie orthogonale par rapport à l'ae des ordonnées) et non définies pour = 0 Elles sont croissantes dans R - et décroissantes dans R + Elles tournent leur concavité constamment vers le vers le haut Elles n'ont pas de racine. Pour des valeurs de inférieures à - ou supérieures à, le graphique de g() est plus proche de l'ae des que celui de f(), et nous avons la situation contraire pour des valeurs de comprises entre - et La droite = 0 est asmptote horizontale à droite et à gauche de chacune de ces fonctions. En termes de limites, ceci s'eprime par : lim f() = 0 et lim f() = 0 La droite = 0 est asmptote verticale de ces fonctions qui s'eprime par lim f() = + et lim f() = + et de même pour g() /0/04 CNDP Erpent - Fonctions particulières - fonctions déduites. II - 7

8 . Opérations sur les fonctions : fonctions déduites A partir du graphique d'une fonction de base, nous pouvons facilement déduire celui de nombreuses autres fonctions. Nous traiterons un eemple pour arriver à des conclusions plus générales souvent nous prendrons f() =. g() = f() + k Eemple : f() = et g() = + Dans le graphique ci-contre, f() est représenté en trait plein et g() en pointillés. Observation : le graphe de g() est l'image de celui de f() par une translation de unités vers le haut. On ajoute unités à l'ordonnée de tous les points du graphe de départ. En général : le graphe de g() = f() + k est l'image de celui de f par une translation de k unités vers le haut si k est positif et de k unités vers le bas s'il est négatif. Ou encore : un point (, ) du graphe de f devient le point (, + k) du graphe de g g() = f( + k) Eemple : f() = et g() = ( + ) Dans le graphique ci-contre, f() est à nouveau représenté en trait plein et g() en pointillés. Observation : le graphe de g() est l'image de celui de f() par une translation de unité vers la gauche. On retire une unité à l'abscisse de tous les points du graphe de départ. En général : le graphe de g() = f( + k) est l'image de celui de f par une translation de k unités vers la gauche si k est positif et de k unités vers la droite s'il est négatif. Ou encore : un point (, ) du graphe de f devient le point ( - k, ) du graphe de g g() = - f() Eemple : f() = - et g() = - + Observation : le graphe de g() est l'image de celui de f() par une smétrie orthogonale d'ae o. Ceci reste vrai pour une fonction quelconque. Un point (, ) du graphe de f devient le point (, - ) du graphe de g II - 8 CNDP Erpent - Fonctions particulières - fonctions déduites. 4/0/04

9 .4 g() = f() Eemple : f() = - et g() = - Observations. Le graphe de f() est constitué de la réunion de la partie du graphe de f() d'ordonnées positives. la partie du graphe de - f() d'ordonnées positives. En général : les observations ci-dessus restent vraies pour une fonction quelconque. Un point (, ) du graphe de f devient le point (, ) du graphe de g g() = k.f() (k > 0) Eemple : f() = - et g() = ( - ) Dans le graphique ci-contre, f() est à nouveau représenté en trait plein et g() en pointillés. Observation : le graphe de f() a subi une sorte "d'étirement dans le sens vertical.". Les racines n'ont pas changé, ni les zones de croissance et de décroissance, ni le sens de la concavité. En général : Un point (, ) du graphe de f devient le point (, k) du graphe de g Le graphe de g() =k.f() a les mêmes racines que celui de f(). Les zones de croissance, décroissance, le sens de concavité sont inchangés. N.B. : si k < 0, il suffira de considérer successivement les transformations du graphe g () = k' f() et g() = - g () où k' = -k g() = f(-) Eemple : f() = et g() = Observations : les graphes de f et g sont smétriques par rapport à l'ae des ordonnées. Le point (0, -) est commun au deu graphes. En général : Un point (, ) du graphe de f devient un point (-, ) du graphe de g. Les graphes de ces fonctions sont smétriques l'un de l'autre par rapport à l'ae des ordonnées. (et donc ils coupent cet ae en un même point) /0/04 CNDP Erpent - Fonctions particulières - fonctions déduites. II - 9

10 .7 g() = f(k.) Eemple : f() = cos et g() = cos Observations : f(0) reste inchangé le point du graphe de f() appartenant à l'ae des appartient également au graphe de g() L'ensemble du graphe de f() a subi une sorte de "rétrécissement" dans le sens horizontal. En général : Un point (, ) du graphe de f devient le point ( k, ) du graphe de g Le point du graphe de f() appartenant à l'ae des appartient également au graphe de g()..8 Eercices. I. A partir des graphes des fonctions de base rencontrés au début du chapitre et en utilisant les règles sur les fonctions déduites, tracer les graphes des fonctions suivantes. f() = ( -) +. f() = ( - ). f () = +. f () = ( - ). f() = 4. f() = 5. f() = -. f() = f() = 7. f() = 4. f() = 8. f() = + 9. f() = + 0. f() = f() = + -. f() = cos. f() = tan 4. f() =+ cos 5. f() =- cos 6. f() = + cos 7. f() = + cos ( + ) 8. f() = cos ( - ) 9. f() = + tan ( + ) 0. f() = sin 5. f() = ( ) 6. f() = 5 7. f () = ( ) 8. f() = + E() 9. f() = - E() 0. f() = + E( ). f() = E. f() = E II. Un objet est lâché d'une hauteur de 5 mètres au temps t = 0. a. Quelle est la fonction qui donne sa hauteur en fonction du temps? Représentez cette fonction h(t). b. Si on appelle g(t) la hauteur d'un autre objet lâché en même temps mais d'une hauteur de 75 m, eprimer h en fonction de g et établissez le lien entre les deu graphes. II - 0 CNDP Erpent - Fonctions particulières - fonctions déduites. 4/0/04

11 c. Si on appelle k(t) la hauteur d'un troisième objet lâché de 5 m mais secondes plus tard, eprimez k en fonction de h et établir le lien entre les graphes. d. Que devient la fonction h(t) si le premier objet est lâché au voisinage de la lune : l(t) (toujours à une hauteur de 5 mètres) si on sait que l'attraction lunaire est 6 fois plus petite que l'attraction terrestre? III. Un toit en pente s'appuie sur les murs AB et CD. Ceu-ci sont hauts de m et écartés l'un de l'autre de 4 m. Le toit peut être plus ou moins incliné. a) Eprimer la hauteur h en fonction de la distance. b) Représenter graphiquement cette fonction en utilisant les graphes déduits. B A 4 h D C IV. Le graphique ci-contre eprime la hauteur des marées en fonction de l heure sur la côte atlantique et met ainsi en évidence le caractère semi-diurne ( maimums et minimums par jour) de ces marées. Quelles valeurs faut-il donner au paramètres pour que le niveau h de l'eau en fonction du temps (en heures) soit donné par h(t) = a sin (bt + c) + d où t = 0 correspond à minuit? Justifier votre procédé. h t sol : 4.5 sin t V. Un poids est suspendu à un ressort à 5 cm du plafond. On l'amène à 0 cm du plafond. On le lâche et il se met à osciller. Trouver une fonction qui modélise le mouvement sachant qu'une oscillation complète se fait en secondes et représenter cette fonction. (On néglige les forces de frottement) sol : 5 sin t + 5 4/0/04 CNDP Erpent - Fonctions particulières - fonctions déduites. II -