LES NOMBRES COMPLEXES

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1 LES NMBRES CMPLEXES Table des matières Écriture algébrique d un nombre complee Définitions Propriétés 3 Somme, produit et inverse 4 Équation dans C Représentation géométrique d un nombre complee 4 Définitions 4 Somme et opposé 4 3 Conjugué d un nombre complee 4 3 Définitions 4 3 Propriétés 5 4 pérations RC 5 5 Module d un nombre complee 6 5 Définition 6 5 Propriétés 6 3 Écriture trigonométrique d un nombre complee 7 3 Définition d un argument d un nombre complee 7 3 Remarque 7 33 Propriétés 8 34 Définition de l écriture trigonométrique d un nombre complee 8 35 Théorème : écritures trigonométrique et algébrique 8 36 Théorème : l argument du produit est égal la somme des arguments RC 8 37 Théorème : l argument d un quotient est égal la différence des arguments RC 8 38 Formule de Moivre RC 9 4 Écriture eponentielle d un nombre complee 0 4 Définition 0 4 Remarque 43 Formules d Euler

2 Dans ce chapitre le plan est rapporté à un repère orthonormal ; e, e Écriture algébrique d un nombre complee Définitions L ensemble des nombres de la forme a+ib, où a et b sont des réels et i est tel que i =, est appelé ensemble des nombres complees n le note C Les propriétés des opérations addition et multiplication dans R se prolongent dans C L écriture = a+ib est la forme algébrique du nombre complee a est la partie réelle de, b sa partie imaginaire n note Ré = a, Im = b R est une partie de C, R contient les nombres complees dont la partie imaginaire b est nulle Tout nombre complee dont la partie réelle a est nulle est appelé nombre imaginaire pur Eemple = 3+i, Ré = 3, Im = Propriétés Deu nombres complees sont égau si et seulement si ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire 0 est considéré la fois comme un réel et un imaginaire pur 3 Somme, produit et inverse Soient = a+ib et = a +ib deu nombres complees + = a+a +ib+b, = aa bb +iab +a b, 0, = a a +b i b a +b Démonstration = a+iba +ib = aa +iab +ia b+i bb = aa bb +iab +a b = a+ib = a ib a+iba ib = a ib a ib = a ib a b = a ib a +b Eemple La forme algébrique de : 3+i 3 est 3+i 3 = 3 i = 4 i 3 4 Équation dans C Théorème Soit l équation a +b +c = 0 où a,b et c sont des réels, a non nul, = b 4ac Si = 0 l équation admet un unique solution : = b a Si > 0 l équation admet deu solutions réelles : = b a Si < 0 l équation admet deu solutions complees : = b i a et = b+ a et = b+i a est le discriminant Géométrie Page Francis Rignanese

3 Démonstration[ a +b +c = a + b a + c ] [ = a + b ] [ b a a 4a + c = a + b a a [ Donc a +b +c = a + b ] [ b 4ac a 4a = a + b ] a 4a [ Si = 0 alors a +b +c = a + b ] a Et a étant non nul on doit avoir + b = 0 ou = b a a Si > 0 alors a +b +c = a + b a 4a = a + b a Et a étant non nul on doit avoir + b a u encore b b+ = 0 a a i Si < 0, alors = Et a étant non nul on doit avoir u encore b i a Eemple 3 France juin b a b+i a = 0 ou a i = 0 ou a = 0 ] b 4a + 4ac 4a + b a + a + b a a = 0 a + b a + i + b a a i = 0 a n considère l équation : E 3 4+i +3+4i 3i = 0 où est un nombre complee Démontrer que le nombre complee i est solution de cette équation Déterminer les nombres réels a, b et c tels que, pour tout nombre complee on ait : 3 4+i +3+4i 3i = i a +b +c 3 En déduire les solutions de l équation E Soit E l équation 3 4+i +3+4i 3i = 0 n a : i 3 4+ii +3+4ii 3i = i+4+i 4+3i 3i = 0 donc i est solution de E ia +b +c = a 3 +b ai +c bi ic Deu polnômes sont égau si et seulement si les coefficients sont égau n obtient le sstème : a = a = a = b ai = 4 i c = 3 b = 4 c bi = 3+4i b i = 4 i c = 3 ic = 3i 3 bi = 3+4i donc 3 4+i +3+4i 3i = i L équation E s écrit i 4 +3 = 0 Dans C, un produit de facteurs est nul si et seulement si l un des facteurs est nul Géométrie Page 3 Francis Rignanese

4 Les nombres complees a i = 0 = i b 4 +3 = 0 = 36 = 6i < 0 Il a deu racines complees conjuguées 4 6i L ensemble des solutions est : S = {i ; 3i ; +3i} = 3i et +3i Représentation géométrique d un nombre complee Définitions Soit M un point de coordonnées ; Le nombre complee = +i est appel affie du point M Le point M est appelé image du nombre complee M n note M le point d affie e Remarques Le nombre complee est aussi l affie du vecteur M Le vecteur M est aussi l image du nombre complee e Le plan muni du repère orthonormal direct ; e, e est appel plan complee Somme et opposé Soit M et P deu points d affie = +i et = +i Le point S défini par S = M + M a pour affie + Le point T défini par T = M a pour affie 3 l affie du vecteur MM est e M e M S + Eemple 4 La réunion 007 T A, B, C désignent les points d affies respectives a = 3, b = 3 3i et c = i n désigne par E le barcentre du sstème {A; ; C; 3} Établir l affie du point E Par définition E = A+3C E = 4 4 a+ 3 4 c = i = + 3 i 3 Conjugué d un nombre complee 3 Définitions Le conjugué du nombre complee = +i est le nombre complee = i Géométrie Page 4 Francis Rignanese

5 3 Propriétés + = Ré, = i Im est un nombre rel si et seulement si = est un imaginaire pur si et seulement si = Si = +i alors = + 4 pérations RC Théorème Soient les nombres complees = +i et = +i + = +, =, = = = λ tant un rel, λ = λ n = n, n entier naturel Démonstration 3 n pose = +i, = +i + = +i+ +i = + +i+, et + = i+ i = + i+ = + = +i +i = +i, et = i i = i = = +i + et = i i = i + = = +i = = + i + et = = = λ = λ = λ, λ étant réel : λ = λ = i = +i + = Montrons par récurrence la propriété : P n : n = n Pour n = 0, 0 = 0 = = et 0 = + +i n suppose la propriété vraie au rang n, autrement dit : n = n Montrons qu elle est vraie au rang suivant n+ n+ = n = n = n = n+ + = La propriété est vraie au rang, et si elle est vraie au rang n elle est aussi au rang n+ Eemple 5 France juin 006 points Elle est donc vraie pour tout n entier naturel n considère le plan complee P rapporté à un repère orthonormal direct ; e, e M est un point du plan P distinct de et des points d affies et i n admet de même que M est distinct de ces trois Établir l égalité i = i = i +i i Géométrie Page 5 Francis Rignanese

6 Pour tout 0 : = i i = i = i = i i = i +i = i i = i = i i i 5 Module d un nombre complee 5 Définition Soit M un point du plan d affie n appelle module du nombre complee la distance M n le note = M 5 Propriétés Soit M et M deu points d affies respectives les nombres complees et Si = +i alors = + =, = + = = =, =, = MM = + + n = n, n entier naturel Démonstration 4 Si = +i alors le point M pour coordonnes ; et donc = M = + = +i i = i = = + Nous avons vu que =, d où = = = De même = = = = = = = + + = = = = Soit les points M et M d affies respectives et P est le smétrique de M par rapport l origine du repère P a donc pour affie n a ainsi PM P + M Mais P = M d o PM M + M Autrement dit + + M M P n démontre par récurrence la propriété : n = n, n entier naturel Si n = 0, 0 = et 0 = Géométrie Page 6 Francis Rignanese

7 Les nombres complees n suppose la propriété vraie au rang n autrement dit, n = n n a alors n+ = n = n = n = n+ n a montré que la propriété est vraie au rang 0 et qui si elle est vraie au rang n elle est aussi au rang n+ Cette propriété est donc vraie pour tout n entier naturel L affie du vecteur MM est d où MM = Eemple 6 Polnésie juin 006 n appelle A et B les points du plan d affies respectives a = et b = n considère l application f qui, à tout point M différent du point B, d affie, fait correspondre le point M d affie définie par = + Déterminer les points invariants def c est-à-dire les points M tels que M = fm Montrer que, pour tout nombre complee différent de, + = 3 En déduire une relation entre et +, pour tout nombre complee différent de 4 Traduire ces deu relations en termes de distances Si, = + + = + = = = i ou = i Les points invariants par f sont les deu points d affies i et i, + = + + = + 3 L égalité de ces deu complees entraîne l égalité de leurs modules Soit + = + = AM BM = + = = 3 Écriture trigonométrique d un nombre complee 3 Définition d un argument d un nombre complee Soit M un point d affie le nombre complee non nul n appelle argument de tous les réels θ, mesure en radians de l angle e ; M n note arg = θ +kπ, k Z ou arg = θ [π] modulo [π] Autrement dit, un nombre complee non nul a une infinité d arguments Si θ est l un d entre eu, tout autre argument de s crit θ +kπ n dit aussi qu un argument de est défini modulo π 3 Remarque Le nombre complee 0 n a pas d argument car la définition arg = e ; M e suppose M 0 θ e M Géométrie Page 7 Francis Rignanese

8 Les nombres complees 33 Propriétés Si est un rel strictement positif alors arg = 0 [π] A Si est un rel strictement négatif alors arg = π [π] e 3 Si est un imaginaire pur non nul alors arg = π [π] θ + π θ 4 Si arg = θ [π] alors arg = θ +π [π] θ e 5 Si arg = θ [π] alors arg = θ [π] B C 34 Définition de l écriture trigonométrique d un nombre complee Tout nombre complee non nul, de module r et dont un argument est θ, peut s écrire = rcosθ+i sinθ Cette écriture est appelée écriture trigonométrique du nombre complee r M 35 Théorème : écritures trigonométrique et algébrique sinθ N Soit = +i un nombre complee non nul θ n a = cosθ+i sinθ avec cosθ = + et sinθ = + cosθ Réciproquement : si = rcosθ+i sinθ, r > 0 alors = r et arg = θ [π] Démonstration 5 = +i = = cosθ +i sinθ 36 Théorème : l argument du produit est égal la somme des arguments RC Soit de module r et d argument θ, de module r et d argument θ deu nombres complees non nuls arg = arg+arg Démonstration 6 n écrit = rcosθ +i sinθ et = r cosθ +i sinθ n a alors = rcosθ +i sinθ r cosθ +i sinθ = rr cosθ+i sinθ cosθ +i sinθ D o = rr cosθ cosθ +i cosθ sinθ +i sinθcosθ sinθsinθ Soit = rr [cosθ cosθ sinθsinθ +isinθcosθ +cosθ sinθ ] = rr [cosθ +θ +i sinθ +θ ] Autrement dit multiplier deu nombres complees non nuls revient multiplier les modules et ajouter les arguments 37 Théorème : l argument d un quotient est égal la différence des arguments RC Soit et deu nombres complees non nuls n a arg = arg et arg = arg arg Géométrie Page 8 Francis Rignanese

9 Démonstration 7 = et donc arg = arg r arg = arg+arg et arg = 0 Et donc arg+arg = 0 n a arg = arg 38 Formule de Moivre RC = arg+arg = arg arg Soit = rcosθ +i sinθ et n un entier naturel n a n = r n cosnθ+i sinnθ n = n Autrement dit arg n = n arg Démonstration 8 n démontre par récurrence la propriété : n = r n cosnθ+i sinnθ Si n = 0, 0 = et r n cosnθ+i sinnθ = r 0 cos0+i sin0 = n suppose la propriété vraie au rang n autrement dit, n = r n cosnθ+i sinnθ, ou n = n, et arg n = n arg * n+ = n = n = n = r n r = r n+ * arg n+ = arg n = arg n +arg = n arg+arg = n+ arg * Autrement dit n+ = r n+ [cosn+θ+i sinn+θ] n a montré que la propriété est vraie au rang 0 et qui si elle est vraie au rang n elle est aussi au rang n + Cette propriété est donc vraie pour tout n entier naturel Eemple 7 La réunion sept 007 Soit les nombres complees : = +i 6, = +i et Z = Écrire Z sous forme algébrique Donner les modules et arguments de, et Z 3 En déduire cos π et sin π 4 Écrire sous forme algébrique le nombre complee Z 007 Z = +i 6 = +i 6+ Et donc Z = 4 + = +i 6 ı i 6 8 = i +i 6 6 +i 4 = i 6 8 Géométrie Page 9 Francis Rignanese

10 = +i 6, = +6 = 8 = D o = 6 +i = 3 +i Et donc cosθ = 3 et sinθ = Soit θ = π [π] 3 = +i, = + = 8 = D o = +i = +i = +i Et donc cosθ = et sinθ = Soit θ = π [π] 4 Z =, donc Z = = = Et argz = arg = arg arg = π 3 π 4 = π [π] π π Z = cos +i sin = +i 4 4 π 6+ π 6 Et donc cos = et sin = π 4 D après la formule de Moivre : Z 007 = cos 007π r = 99π + 5π 5π = 66π+ 5π 5π Et donc Z 007 = cos +i sin 4 4 5π r cos = cos π + π π = cos = D o Z 007 = i +i sin = 83 π+ 5π 4, sin 007 π 5π = sin π+ π π = sin = Écriture eponentielle d un nombre complee n considère la fonction f définie sur R et valeurs dans C par fθ = cosθ+i sinθ, θ rel Ainsi fθ +θ = cosθ +θ +i sinθ +θ fθ a pour module et argument θ fθ a pour module et argument θ fθ fθ a pour module et argument θ+θ Mais aussi fθ +θ a pour module et argument θ +θ Donc fθ+θ = fθ fθ même module et même argument De plus f0 = cos0+i sin0 = La fonction f vérifie les propriétés d une fonction eponentielle, soit fθ = e iθ 4 Définition Le nombre complee de module et dont un argument est θ est not e iθ Si est un nombre complee de module r et d argument θ on écrit = re iθ Autrement dit e iθ = cosθ +i sinθ Géométrie Page 0 Francis Rignanese

11 4 Remarque e i0 =, e iπ = i, e iπ =, e iπ 4 = +i e iθ e iθ = e iθ+θ, 3 Formule de Moivre : e iθ = e iθ θ e iθ e iθ n = e inθ 43 Formules d Euler e iθ = cosθ +i sinθ donne e iθ = cosθ i sinθ cosθ = eiθ +e iθ et sinθ = eiθ e iθ i Eemple 8 Antilles juin 005 Soit A le point d affie ; soit B le point d affie Soit f l application du plan P privé de dans P qui : à tout point M d affie distinct de associe le point M = fm d affie = Soit E le point d affie e i π 3 ; on appelle E son image par f Déterminer l affie de E sous forme eponentielle, puis sous forme algébrique Soit K le point d affie e i5π 6 et K l image de K par F Déterminer l affie de K sous forme eponentielle, puis sous forme algébrique 3 n désigne par R un point d affie +e iθ où θ ] π ; π[ R appartient au cercle C 3 de centre A et de raon a Montrer que + = En déduire que : + = b Si on considère maintenant les points d affie +e iθ où θ ] π ; π[, montrer que leurs images sont situées sur une droite n pourra utiliser le résultat du a L affie E est L affie de K est e iπ 3 = e iπ 3 e i 5π 6 = e i 5π 6 = e i π 3 = e iπ e i π 3 = e i 4π 3 3 = i = ei5π 6 = eiπ e i 5π 6 = eiπ 3 6 = i 3 a n a : + = + = Donc + = Comme R est un point du cercle de centre A, d affie, et de raon, alors : = = = Donc, + = = = b Comme + =, alors BR =R car B a pour affie -, donc R appartient la médiatrice du segment [B] Ainsi l image de R, point distinct de, appartenant au cercle C 3 de centre A et de raon est sur une droite : la médiatrice du segment [B] Géométrie Page Francis Rignanese