Chapitre 1.6 L oscillation vertical d un système bloc-ressort
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- Jeannine Paul
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1 Chapit.6 L oscillation vtical d un systè bloc-ssot La dynaiqu d un systè ass-ssot à la vtical L application d la iè loi d Nwton à un systè ass-ssot oscillant à la vtical sans fottnt sous l fft d la avité énè un équation difféntill éal à l oscillatu haoniqu sipl OHS dont la solution st l ouvnt haoniqu sipl MHS. La féqunc natull d oscillation associé au systè ass-ssot dépnd d la acin caé du appot nt la constant d appl k du ssot t d la ass d l objt : où Puv : t t A t sin tl qu Systès bloc-ssot n oscillation vtical : Position d la ass slon l a ( st à l équilib ( A : Aplitud du ouvnt ( : Féqunc anulai natull d oscillation du systè ass-ssot (ad/s k : Constant d appl du ssot (N/ : Mass d l objt n oscillation (k t : Tps écoulé duant l oscillation (s : Constant d phas (ad À pati d la iè loi d Nwton, évaluons la position d équilib d un systè ass-ssot oscillant à la vtical sous l influnc d la avité : Mass sous l ssot Mass au-dssus du ssot k Rssot au pos non défoé (sans ass Réfénc : Mac Séuin, Physiqu XXI To C Pa Not d cous édié pa : Sion Vézina
2 Mass sous l ssot Mass au-dssus du ssot Rssot à l équilib ( a Raqu : F a F Ls positions d la ass coïncid avc la position à l équilib ( F. On utilis l vctu pou su l étint du ssot à l équilib. L point d équilib st toujous sous la position du ssot non défoé. F a F À l équilib, nous avons F : F F (Foc du ssot t foc avitationnll k (Rplac la foc du ssot, F k k (Rplac l étint à l équilib, k (Isol k, lation à l équilib vctoill k (Rlation à l équilib n odul D plus, on put pi la foc F cé pa l ssot pa appot à l a avc Définition vctoill : F k où Définition scalai slon l a : k F où N.B. Puisqu st toujous ointé vs l bas, il st dans l sns néatif d l a. / k : Mass sous l point d équilib : ( a F a Mass au-dssus du point d équilib : ( a F a Réfénc : Mac Séuin, Physiqu XXI To C Pa Not d cous édié pa : Sion Vézina
3 Appliquons la iè loi d Nwton à not ass : F a F a (Foc du ssot t foc avitationnll k a (Rplac F k k k a (Distibution d k k a (Position d équilib, k k a (Siplifi k a (Décopos slon l a k a (Isol a a (Rplac k /, fo d l OHS A t sin (Solution d l OHS : MHS Situation : La détination du chap avitationnl. Albt fait un naufa su un planèt inconnu. Il accoch un pi à un ssot idéal vtical d ass néliabl dont l téité supéiu st aintnu fi. Il obsv qu la position d équilib d la pi cospond à un étint d 5 c pa appot à la lonuu natull du ssot. n donnant un ipulsion vtical à la pi, il obsv qu ll oscill vticalnt n ffctuant 36 oscillations n inut. À pati d cs obsvations, Albt dési détin l odul du chap avitationnl à la sufac d la planèt. (Il n connaît ni la constant d appl, ni la ass d la pi! À pati ds 36 oscillations pa inuts, évaluons la féqunc natull f d l oscillation : f nb tous t 36 f 6 f,6 s Évaluons aintnant la féqunc anulai natull d l oscillation :,6 f 3,77 ad/s Avc l allonnt 5 c du ssot à l équilib, nous pouvons dévlopp la lation suivant avc la iè loi d Nwton slon l a y : y F F (Foc du ssot t foc avitationnll k (Rplac la foc du ssot, F k k (Isol k t plac, équilib Réfénc : Mac Séuin, Physiqu XXI To C Pa 3 Not d cous édié pa : Sion Vézina
4 Avc l pssion d la féqunc anulai n fonction d k t, nous pouvons évalu l chap avitationnl : k / (Rplac k (Siplifi t anipulation (Mtt au caé (Isol,53,77 (Rplac valus nuéiqus 7, N/k (Évalu L éni d un systè ass-ssot à la vtical Analysons l éni d un systè ass-ssot oscillant à la vtical avc ls équations du ouvnt suivants slon la convntion y : où Situation : K U U A v t A t d t t A sin t v cos t dt k / Condition d équilib : y losqu t k Hautu aial U U ( K, ca v k y ka A ka A A ka k Réfénc : Mac Séuin, Physiqu XXI To C Pa 4 Not d cous édié pa : Sion Vézina ka A ka k A k (Définition d ( U t U t y A (Distibution du caé (Distibution d k (Factois A ka k (Utilis k
5 Situation : K U U A Vitss aial t position d équilib v v a K U ( U, ca y v k (Définition d K t U A k ( v v a A, A k (Distibution du caé k A k (Rplac k / ka k (Siplifi Situation 3 : Situation qulconqu K U U t W t K U U v k y v k v k v k k k v k k k Réfénc : Mac Séuin, Physiqu XXI To C Pa 5 Not d cous édié pa : Sion Vézina (Déf. d K, U tu t y ( (Dévlopp l caé (Distibu k (Factois v k k (Utilis k A cos W kasinw k (Rplac t v A cos W ka sin W k (Dévlopp l caé ka cos W ka sin W k ( A ka ka cos W sin W k (Factois ka ka k ( cos sin
6 L éni d un systè ass-ssot sans fottnt à la vtical Avc l théoè d la consvation d l éni, nous pouvons affi qu l éni total d un systè ass-ssot oscillant sans fottnt à la vtical st défini pa l équation suivant slon la convntion y : ka ou A où k / Condition d équilib : y losqu t k où : Éni total du systè ass-ssot à la vtical (J k : Constant du ssot (N/ A : Aplitud aial d l oscillation ( : Étint ou copssion du ssot à l équilib ( L éni t l association à l aplitud Pou avoi un systè ass-ssot oscillant à la vtical sous l fft d la avité ayant un éni total éal à ½ ka, il faut établi un lation paticuliè nt t y ( y. Ainsi, la position y n st pas situé au cnt d l oscillation. Cci st un conséqunc d l équation U y qui possèd un position y abitai. Rlation classiqu ( y / Rlation pécédnt ( y ka A tl qu v où = à l équilib. À l équilib : U U U À l équilib : U v y k A tl qu y k v où y = à l équilib. v U U k y A A A A La puv st disponibl dans l liv d éfénc à la pa 63. Réfénc : Mac Séuin, Physiqu XXI To C Pa 6 Not d cous édié pa : Sion Vézina
7 Situation : Un chut su un ssot. Un ssot idéal d 4 c d lonuu, dont la constant d appl st d 5 N/, st placé dans un tub vtical sans fottnt dont l ôl st d l aintni n position vtical (schéa ci-cont. On laiss tob un bloc d,5 k dans l tub : au ont où il nt n contact avc l ssot, il s déplac à /s. On a appliqué un pu d coll sous l bloc : pa conséqunt, il du collé au ssot t oscill vticalnt. On dési détin la lonuu du ssot (a au point l plus haut t (b au point l plus bas d l oscillation. Évaluons la copssion du ssot losqu l bloc st à l équilib à l aid d la iè loi d Nwton slon l a y. La copssion cospond à la copssion du ssot losqu l bloc st au cnt d son MHS : Fy a y F a y (Rplac focs F ( a, ca équilib k (Rplac F k k (Rplac 5,59,8 (Rplac valus nu. y, ca équilib,98 (Évalu N.B. Puisqu l bloc tob su l ssot, ctt su st un copssion. Évaluons l éni total du systè au ont où l bloc nt n contact avc l ssot. Pnons co convntion y à la position d équilib : v /s (vitss du bloc au contact y,98 (au-dssus du point d équilib (ssot à lonuu natull K U K U U (Rplac U U U K U ( U, ca (Rplac K t U,5,5 9,8,98 (Rplac valus nu.,365 J (Évalu v y Réfénc : Mac Séuin, Physiqu XXI To C Pa 7 Not d cous édié pa : Sion Vézina
8 Évaluons l aplitud A ds oscillations à pati d l éni n choisissant l équation appopié à not convntion y à la position d équilib : k A A (Isol A k,365 A,98 (Rplac valus nu. 5 A,4 (Évalu A Au point l plus haut, l ssot sa tès étié. Évaluons la lonuu aial L a du ssot à l aid d la lonuu natull L nat, d la copssion à l équilib t d l aplitud A : L L t A a na L a,4,98,4 L a,44 (a P.S. Si l ssot était étié à l équilib, l équation sait L L t A Au point l plus bas, l ssot sa tès copié. Évaluons la lonuu inial L in du ssot à l aid d la lonuu natull L nat in na L in,4,98,4 L L t A a, d la copssion à l équilib t d l aplitud A : L in,6 (b P.S. Si l ssot était étié à l équilib, l équation sait L L t A Résué d la situation : in na na Réfénc : Mac Séuin, Physiqu XXI To C Pa 8 Not d cous édié pa : Sion Vézina
9 Situation 4 : Un chut su un ssot, pis 3. Dans la situation, on dési calcul la lonuu du ssot s apès l instant où l bloc st nté n contact avc lui. Évaluons la féqunc anulai natull d oscillation du systè : k 5,5 ad/s À pati ds infoations cuillis à la situation, pions ls infoations disponibls à l instant où l bloc nt n contact avc l bloc :,98 (copssion à l équilib A,4 (aplitud ds oscillations ad/s (féqunc anulai A t sin (équation position d v cos (équation vitss dt,98 (au-dssus du point d équilib, donc A t v /s (chut su l ssot, donc v vs l bas t (début l MHS à t Évaluons la constant d phas à pati d l équation d la position à t : sin t,98,4sin A (Rplac pou t =,7 sin (Siplification Nous pouvons obtni ls constants d phas adissibls :,7 sin sin,7..., 3,97,,7754,... P.S. Calculatic :,7754 ad -3,97,7 y,7754 Évaluons la vitss à t = pou cs du constants d phas : A cos t,4cos 3,97 v v v,3 /s,4cos,7754 v v, /s Réfénc : Mac Séuin, Physiqu XXI To C Pa 9 Not d cous édié pa : Sion Vézina
10 Puisqu l bloc s déplac dans l sns néatif d l a ( v, nous choisissons la constant d phas suivant : 3,97 ad Évaluons la position du bloc à t s : (équivalnt à 3,97,366 ad sin t,4sin 3,97 A,53 Évaluons la lonuu du ssot t s : L Lnat L,4,98,53 L,57 L C L nat Réfénc : Mac Séuin, Physiqu XXI To C Pa Not d cous édié pa : Sion Vézina
11 Réfénc : Mac Séuin, Physiqu XXI To C Pa Not d cous édié pa : Sion Vézina
12 Réfénc : Mac Séuin, Physiqu XXI To C Pa Not d cous édié pa : Sion Vézina
11.5 Le moment de force τ (tau) : Production d une accélération angulaire
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