Trigonométrie circulaire directe et réciproque Trigonométrie hyperbolique

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1 Lycée Pierre de Fermat 05/06 MPSI TD Trigonométrie circulaire directe et réciproque Trigonométrie hyperbolique Trigonométrie circulaire réciproque Eercice Résolution d équations et d inéquations trigonométriques Résoudre les équations suivantes : sin 3 tan > 3 sin cos 5 cos 3 cos < Eercice Résolution d équations et d inéquations On prendra soin de préciser où l on cherche des solutions Arccos Arcsin puis Arccos < Arcsin Arccos Arcsin 3 Arcsin Arccos 3 Arccos Eercice 3 Démontrer les égalités suivantes : Arccos 3 Arccos 8 Arcsin Arcsin 5 3 Arcsin56 65 Eercice Montrer que Arccos Arcsin 3 Arctan Arctan 3 Eercice 5 Utilisation de la dérivabilité pour démontrer des identités fonctionnelles a Étudier le domaine de définition et la dérivabilité de la fonction f : Arctan + Arctan/ b Calculer, lorsqu elle eiste, sa dérivée et en déduire une équation différentielle linéaire du premier ordre dont f est solution c Résoudre cette équation différentielle et epliciter f en fonction de Retrouver le résultat ci-dessus en posant, pour R, θ Arctan puis en eprimant tangente d un angle à préciser en fonction de θ 3 Démontrer, par deu méthodes analogues à celles proposées ci-dessus, la formule tan θ comme la,, Arcsin + Arccos Eercice 6 Simplification d epression et représentation de fonctions Représenter et étudier la fonction définie par l epression f Arccos cos/ Simplifier puis représenter graphiquement la fonction définie par l epression f Arctan Eercice 7 Considérons la fonction f définie par f + sin Arcsin a Déterminer le domaine de définition de f Montrer que la connaissance du graphe de f sur, suffit à tracer le graphe de f sur R b Montrer que, pour tout R, f + f Quelle propriété géométrique du graphe de f peut-on en déduire? Quel est l intervalle minimal d étude I de f nécesaire pour tracer le graphe de f sur R? c Simplifier l epression de f pour I et tracer le graphe de f sur R Autres approches Simplifier directement et soigneusement en distinguant différents cas, l epression de f pour, a En utilisant des formules de trigonométrie b En calculant la dérivée de f en les points où f est dérivable puis en primitivant l epression simple obtenue

2 Eercice 8 Sommes remarquables Montrer que, pour tout R, Arctan + Arctan + Montrer que, pour tout 0,, Arctan + Arcsin Eercice 9 Équivalent de Arccos en 0 + À l aide d un changement de variable judicieu, montrer Arccos que admet une limite lorsque tend vers 0 + et calculer cette limite l On dit que l est un équivalent de Arccos en 0 + Eercice 0 Somme télescopique Montrer que, pour tout p N, Arctanp + Arctanp Arctan + p + p En déduire une epression simplifier de la suite v définie pour n N par v n puis étudier sa convergence 3 On pose pour tout n, w n n p Trigonométrie hyperbolique p0 Arctan p3 Déterminer la limite de la suite w p Eercice Simplifier les epressions suivantes : chln +, shln +, chln + +, shln + + Eercice Formules de trigonométrie hyperbolique Démontrer les relations suivantes : Arctan + p + p, y R, ch+y chchy +shshy En déduire trois epressions de ch en fonction de ch ou/et sh, y R, sh+y shchy+chshy On pourra dériver la formule prouvée précédemment à condition de préciser rigoureusement le statut de et de y En déduire une epressions de sh en fonction de sh et ch 3, y R th + thy, th + y En déduire une epressions de th en fonction de th + ththy Soit R fié quelconque Posons u th Eprimer en fonction de u les nombres ch, sh et th { Eercice 3 Soient a, b R ch + chy achb Résoudre : sh + shy ashb Eercice Étudier la dérivabilité des fonctions suivantes et calculer leurs dérivées : f th 3 th3 g Arcsinth 3 h Arctanth Eercice 5 Montrer que, R, Arctane Arctanth/ On pourra soit chercher à calculer la dérivée du membre de gauche, soit chercher à calculer la tangente du membre de gauche Eercice 6 Démontrer, pour tout a, b R, les identités n + b sh nb ch a + S n a, b cha + kb sh b si b 0 k ncha si b 0 n + b ch nb sh a + k ch sha + kb b si n n + b sh nb k ch a + ch b si n 0 cha+kb S n a, b cha+kb S n+ a b, b cha+b+s n a+b, b k k k k 0

3 Comment relieriez-vous les sommes suivantes au précédentes? ksha + kb k k cha + kb k k cha + kb k k k cha + kb k Montrer que k n k cha + kb cha k n k + bsha k k + b 0 s 0 k cha + kd ds Eercice 7 Somme télescopique Montrer que pour tout R, th th th En déduire, en fonction de R, le comportement de la suite S n n N définie par S n i th i S n 3 Plus précisément, donner, en fonctin de, les limites lim n + n et lim S n n+ Réponses : la n + première limite vaut si < 0 et si > 0, la seconde vaut si > 0 et si < 0 th Eercice 8 Fonction argument sinus hyperbolique : Argsh Montrer que sh réalise une bijection de R dans R On note Argsh sa bijection réciproque appelée fonction argument sinus hyperbolique Quelles sont les propriétés monotonie, imparité de la fonction Argsh héritées de la fonction sh? 3 Simplifier l epression chargsh en fonction de R Quel est le domaine de dérivabilité de Argsh? calculer eplicitement sa fonction dérivée 5 Représenter sur un même dessin les graphes des fonctions sh et Argsh 6 Soit a R fié quelconque En résolvant rigoureusement l équation sh a d inconnue R et de paramètre a, retrouver en un seul calcul algébrique que sh est une bijection de R dans R et démontrer, de surcroît, que R, Argsh ln + + Eercice 9 Fonction argument cosinus hyperbolique : Argch Montrer que ch réalise une bijection de R + dans, + On note Argch sa bijection réciproque appelée fonction argument cosinus hyperbolique Quelle est la monotonie de la fonction Argch héritée de celle de la fonction ch? 3 Discuter de la résolution de l équation d inconnue R et de paramètre a : en fonction des valeurs de a R ch a Simplifier l epression shargch en fonction de, + 5 Quel est le domaine de dérivabilité de Argch? calculer eplicitement sa fonction dérivée 6 Représenter sur un même dessin les graphes des fonctions ch et Argch 7 Soit a, + fié quelconque En résolvant rigoureusement l équation ch a d inconnue R + et de paramètre a, retrouver en un seul calcul algébrique que ch,+ R + est une bijection de R + dans, + et démontrer, de surcroît, que Eercice 0 Équivalent de Argch en +, +, Argch ln + Argch + u En s inspirant éventuellement de l eercice 9, montrer que lim u 0 + u 3 i0

4 Retrouver le résultat ci-dessus à partir de l epression logarithmique de la fonction argument cosinus hyperbolique démontrée dans la question 7 de l eercie 9 Eercice Fonction argument tangente hyperbolique : Argth Montrer que th réalise une bijection de R dans, On note Argth sa bijection réciproque appelée fonction argument tangente hyperbolique Quelles sont les propriétés monotonie, imparité de la fonction Argth héritées de la fonction th? 3 Quel est le domaine de dérivabilité de Argth? calculer eplicitement sa fonction dérivée Représenter sur un même dessin les graphes des fonctions th et Argth 5 Soit a, fié quelconque En résolvant rigoureusement l équation th a d inconnue R et de paramètre a, retrouver en un seul calcul algébrique que th est une bijection de R dans, et démontrer, de surcroît, que,, Argth ln + 6 Simplifier les epressions chargth et shargth en fonction de, ch Eercice Montrer que, R, Argsh { 0 si 0, si < 0 Eercice 3 Montrer que, R, Argch 3 3 { 3Argch si, 0 si

5 Correction des eercices Corrigé de l eercice Corrigé de l eercice Corrigé de l eercice 3 Calculons les cosinus des deu membres : cos Arccos id, donc cosarccos 3 cos Arccos 3 3 cos Arccos cos Arccos Il est alors possible de conclure de deu manières différentes : méthode : justifier que les deu angles sont dans un même domaine d injectivité de la fonction cosinus : 3 donc Arccos 3 0,, de même Arccos 8 0, or cos 0, est injective 0, 0 donc Arccos3 donc cos Arccos 8 cos Arccos 3 Arccos 8 Arccos3 méthode : prendre l image de l identité par la fonction Arccosinus puis simplifier rigoureusement cos Arccos cos Arccos 3 8 Arccos cos Arccos }{{ 8 } Arccos cos Arccos 3 }{{} 0, 0, Arccos }{{ cos } Arccos 8 id }{{} } Arccos {{ cos } Arccos3 0, id }{{ } 0, 0, 0, Arccos 8 Arccos3 Prenons le sinus du premier membre : sin Arcsin Arcsin 5 3 sinarcsin3/5 cosarcsin5/3 + cosarcsin3/5 sinarcsin5/3 3 5/3 + 3/ où on a utilisé que pour /, /, cosarcsin Par conséquent, sin56/65 ArcsinsinArcsin Arcsin 5 3 or Arcsin3 5 + Arcsin 5 0, / chaque terme est dans 0, / car 3 3/5 / et 5/3 / et comme Arcsin sin id /,/, Arcsin Arcsin 5 3 Arcsin56/65 3 Calculons la tangente du premier membre : tanarctan tanarctan tanarctan 3

6 donc Arctan 3 Arctan tanarctan or Arctan 0, / /, / donc Arctan tanarctan Arctan d où le résultat Corrigé de l eercice Technique : Prendre le cosinus ou le sinus du membre de gauche, simplifier, calculer et tomber sur Il reste alors à obtenir un encadrement du membre de gauche de l égalité à prouver pour montrer qu ils appartiennent à un même domaine d injectivité de la fonction cosinus ou sinus que 9 sin Arccos + Arcsin 8 sin + cos Arccos Arccos cos sin Arcsin Arcsin Remarquons maintenant que faire des cercles trigonométriques, par monotonie des fonctions Arccos et Arcsin, Arccos 9 0, 8 6 0, Arcsin Arccos 9 + Arcsin 0, 8 En effet, et Ainsi, sin Arccos 9 + Arcsin 8 }{{} sin }{{} 0, 0, or la restriction de sin à 0, est injective donc Arccos 9 + Arcsin 8 9 Remarque Il est plus facile de conclure si l on prend le cosinus de Arccos le sinus En effet, il suffit alors de justifier que Arccos Arcsin plutôt que + Arcsin 8 appartient à 0, domaine d injectivité de cos auquel appartient pour conclure, ce qui est plus facile que de justifier l appartenance à 0, : 9 0 Arccos 9 0, Arcsin 0, Arccos 9 + Arcsin 0, 8 Corrigé de l eercice 5

7 a Étudier le domaine de définition et la dérivabilité de la fonction f : Arctan + Arctan/ b Calculer, lorsqu elle eiste, sa dérivée et en déduire une équation différentielle linéaire du premier ordre dont f est solution c Résoudre cette équation différentielle et epliciter f en fonction de Soit R fié quelconque Posons θ Arctan, +Arctan tan θ Arctan + Arctan/ Arctantan θ }{{} θ car θ, Si 0, +, alors θ 0, donc θ 0,, donc Arctan + Arctan tan θ + Arctan θ θ + θ Si, 0, alors θ, 0 donc θ, donc Arctan + Arctan θ + Arctan tan θ }{{} tan θ tan θ θ car θ, 0, θ θ Ainsi, R, Arctan + Arctan 3 Démontrer, par deu méthodes analogues à celles proposées ci-dessus, la formule Corrigé de l eercice 6,, Arcsin + Arccos Représenter et étudier la fonction Arccos cos/ Cette fonction est périodique et paire Il suffit donc de l étudier pour 0, Simplifions l epression pour 0, : 0, donc cos/ cos/ et comme Arccos cos id 0,, la fonction vaut sur 0, Il suffit alors de la prolonger par parité puis prériodicité Si on n a pas vu la parité, il est possible toutefois de mener une étude correcte pour,, alors, donc cos/ cos/ cos / et comme Arccos cos id 0, et / 0, / 0,, la fonction vaut sur,, d où la même conclusion que précédemment par périodicité **** graphe **** Représenter et étudier la fonction f : Arctan Domaine de définition Arctan est définie sur R donc f est définie si et seulement si 0 si et seulement si R\{, } 3

8 Simplification de l epression Idée : introduire le bon changement de variable pour que devienne tan ce qui permettra de se ramener à simplifier Arctan tan Soit R \ {, } Posons θ Arctan, de sorte que tan θ Alors f Arctan tan θ Arctan tan θ Arctantanθ Si,, alors θ Arctan, donc f Arctantan θ }{{}, Si,, alors θ Arctan Arctantan + θ + θ + Arctan }{{}}{{} id, 0,, donc f Arctantan }{{}}{{} θ id, Si, +, alors θ Arctan, donc *** graphe ***, θ Arctan f Arctantan }{{} θ Arctantan pi + θ + θ + Arctan }{{}}{{}, id,, 0 Corrigé de l eercice 7 a { Df R + sin 0 + sin, R + sin sin R sin sin R R Ainsi, D f R R, + R R, f sin + Arcsin f + Le point M +, f + se déduit géométriquement du point M, f par la tanslation de vecteur i + j Il suffit donc d étudier et de tracer le graphe G 0 de f sur, Ensuite, pour tout k Z, le graphe G k de f sur + k, + k se déduit du graphe G 0 par la translation de vecteur k i + j b Soit R fié quelconque f + f + sin Arcsin + sin Arcsin + sin + sin Arcsin + Arcsin

9 Calculons + sin sin sin Arcsin + Arcsin + sin sin sin Arcsin cos Arcsin + sin sin + cos Arcsin sin Arcsin + sin sin + + sin sin + sin + sin sin sin + + sin + sin + sin sin On en déduit que Arcsin + Arcsin + sin sin Par ailleurs Arcsin + Arcsin, donc }{{ }, }{{}, si bien que + sin sin Arcsin + Arcsin f + f Géométriquement, pour tout R, le point de coordonnées 0, est le milieu du segment d etrémités les points de coordonnées, f et, f Cela signifie que le graphe de f admet le point de coordonnées 0, comme centre de symétrie Il suffit donc d étudier puis de tracer le graphe de f sur 0, pour ensuite en déduire le graphe de f sur, 0 en prenant l image du graphe obtenu sur 0, par la symétrie centrale de centre 0, a Méthode : astucieuse et trigonimétrique Effectuer des manipulation trigonométriques + sin pertinentes pour que apparaisse comme un sinus et se ramener à simplifier Arcsin sin + sin Arcsin Arcsin + cos Arcsin cos Arcsin cos Arcsin sin + Arcsin sin + Cette epressions nous amène à distinguer plusieurs situations : 5

10 si,,, donc +, 0 donc sin + 0 f Arcsin sin + si si si +Arcsin sin + }{{}, 0,,,, donc + 0, 3 donc sin + 0 f sin Arcsin +,,, donc + 0, d où f Arcsin sin 0, Arcsin sin + }{{} 0, 3 + }{{ },,,, donc +, 3 d où f sin Arcsin *** graphe de la fonction f *** Arcsin sin }{{}, 0 b Méthode : analytique Justifier la dérivabilité de f et calculer f Corrigé de l eercice 8 Montrer que, pour tout R, Arctan + Arctan +, + Méthode : analytique, poser f Arctan + Arctan +, montrer que f D R,R puis que R, f 0 ecellent eercice de calcul de dérivée! donc f est constante or f0 0 + Arctan d où le résultat Méthode : prendre la tangente de Arctan + et de Arctan Soit R fié quelconque Arctan, donc il est possible de prendre la tangente et tanarctan, 0 < + donc Arctan + 0, donc Arctan + 0, si bien que 6

11 Arctan +, donc il est possible de prendre la tangente et tan Arctan + tanarctan Ainsi, Arctan et Arctan + sont deu réels de, qui ont même tangente, donc ils sont égau : Arctan Arctan + Méthode 3 : posons un judicieu changement de variable Soit R fié quelconque Posons θ Arctan, Arctan + Arctan + tan θ tan θ Arctan cos θ tan θ Arctan cos θ tan θ car θ + u Arctan u u u u Arctan u u Arctan Arctan θ + u tan θ car θ 0, Par conséquent, Arctan + Arctan + θ +, donc cos θ > 0 en posant u tan θ, θ Méthode : posons un changement de variable et soyons malins seule différence avec la méthode 3 7

12 Soit R fié quelconque Posons θ Arctan, Arctan + Arctan + tan θ tan θ Arctan cos θ tan θ Arctan cos θ tan θ car θ sin θ Arctan cos θ sin Arctan sin θ Arctan Arctan Arctan θ cos + cos θ cos +θ sin θ cos +θ cos θ sin θ cos θ tan θ car θ 0,, donc cos θ > 0 pour conserver la symétrie numérateur/dénominateur, Par conséquent, Arctan + Arctan + θ + θ Remarque : le calcul peut être mené encore différemment : Arctan sin θ + Arctan cos θ cos θ Arctan sin θ Arctan sin θ sin θ cos θ Arctan tan θ θ car θ 0,, Montrer que, pour tout 0,, Arctan + Arcsin On vérifie que l epression proposée est bien définie pour tout 0, Méthode : analytique, poser f Arctan +Arcsin, montrer que f D 0,,R puis que 0,, f 0 ecellent eercice de calcul de dérivée! donc f est constante sur 0, Or f Arctan + Arcsin0 donc 0,, Arctan + Arcsin Pour étendre cette identité en, soit on calcule directement f Arctan0 + Arcsin, soit on dit que f est continue en donc f lim f Méthode : prendre la tangente de Arcsin et de Arctan Pour tout 0,, 8

13 , donc Arcsin, ce qui donne un sens à tan Arcsin sin Arcsin cos Arcsin car t,, cosarcsint t R + donc R + donc Arctan, ce qui donne un sens à tan Arctan 0, si bien que Arctan tan Arctan tan Arctan tan Arctan Ainsi, 0,, tan Arctan tan Arcsin or nous avons vu au moment de prendre la tangente que ces deu angles appartiennent à l intervalle, en restriction auquel la fonction tan est injective donc 0,, tan Arctan tan Arcsin Le calcul direct des deu membres pour permet d obtenir la relation sur 0, Méthode 3 : posons un judicieu changement de variable Soit 0, fié quelconque Posons θ Arccos 0, de sorte que cos θ cos θ Arctan + Arcsin Arctan cos + Arcsin cos θ θ sin θ Arctan cos θ + Arcsincosθ Arctan tan θ + Arcsin sin θ or θ Arctantan θ + Arcsin sin θ }{{}, θ + θ 0, donc tan θ 0 Corrigé de l eercice 9 Corrigé de l eercice 0 Soit p N fié quelconque 9

14 Arctan est strictement croissante sur R donc Arctanp + Arctanp > 0, Arctan est croissante sur R donc 0 p 0 Arctanp d où Par conséquent,arctanp + Arctanp Arctanp + Arctanp Arctanp + < tan Arctanp + Arctanp 0, si bien que l on peut calculer tanarctanp + tanarctanp + tanarctanp + tanarctanp p + p + p + p + p + p De même, Arctan 0, + p + p si bien que que l on peut calculer tan Arctan + p + p + p + p Ainsi, Arctanp + Arctanp et Arctan + p + p sont deu valeurs de 0,, qui ont même tangente, or tan, est injective donc Arctanp + Arctanp Arctan + p + p En utilisant la question pécédente, pour tout n N, v n Arctan + p + p p0 Arctanp + Arctanp p0 Arctanp + p0 n+ Arctank k Arctanp p0 Arctanp p0 Arctann + Arctan0 Arctann + si bien que lim n + v n 3 Pour tout n, w n n p Arctan p p + p + p car p 3 p p + p + Arctanp + p + n p n Arctan p car R + p + +, Arctan + Arctan p n n n Arctan p + p + p n v n Arctan 3 n Arctan Arctann + + Arctan 3 + Arctan en utilisant la question précédente n n }{{}}{{}}{{ n } n + n + 0 n + 0 0

15 si bien que lim n + w n Corrigé de l eercice L epression n a de sens que pour, + Pour tout, +, le calcul donne chln+ L epression n a de sens que pour, + Pour tout, +, le calcul donne shln+ 3 L epression a un sens pour tout R Pour tout R, le calcul donne chln L epression a un sens pour tout R Pour tout R, le calcul donne shln + + Corrigé de l eercice Corrigé de l eercice 3 Résoudre avec un changement de variable en posant X e et Y e y On obtient X + X + Y + Y achb X + X + Y Y ashb Par demi somme et demi différence on obtient le système { X + Y achb + shb X + achb shb Y soit { X + Y ae b X + Y ae b La première équation donne Y ae b X et en reportant dans la seconde, soit soit X + ae b X ae b ae b X + X Xae b Xae b ae b X a X + ae b 0 Si a 0, le système n admet aucune solution car la première équation donne X + Y 0 or X > 0 et Y > 0, ce qui est impossible Si a 0, l équation devient : X ae b X + e b 0 Le discriminant est a e b e b e b a si a <, il n y a aucune solution si a, le dicriminant est nul et on trouve X aeb Or X doit être stritement positif donc si a, il n y a aucune solution et si a, alors X e b donc Y e b donc il n y a un unique couple, y candidat solution, c est b, b si a >, les racines de l équation sont aeb + / e b a soit a + / a e b Le produit des racines étant e b il se lit sur l équation, elles sont de même signe, à savoir > 0 si a > et < 0 si a < Par conséquent il n y a aucune solution si a < et si a >, il y a deu couples, y candidats solution ln a + a + b et y ln a a + b d une part et ln a a + b et y ln a + a + b d autre part Comme nous n avons pas raisonné par équivalence, il reste à prouver que ces candidats solutions sont effectivement des solutions Corrigé de l eercice

16 f est définie sur R et dérivable sur R, et f th th th th ch g est définie pour tout tel que th, soit pour tout R et dérivable pour tout tel que th, soit pour tout R, et g th th th ch 3 h est définie et dérivable sur R et i th + th ch + sh ch Corrigé de l eercice 5 Méthode : analytique, poser f Arctane Arctanth/ puis montrer que f D R,R Calculons alors f R, f e + e + th / th / Pour simplifier cette epression, deu idées : tout eprimer avec des eponentielles : th/ e e th / e + e e + + e et th / e + e e si bien que + + e + th / th / e + e d où th / e + e e et donc e d où f 0 ; e tout eprimer avec de la trigonométrie hyperbolique, en observant d une part que + e et d autre ch part que la formule eprimant ch en fonction de th/ est ch + th / th / d où f ch ch 0 On en déduit que f est constante sur R, or f0 Arctan Arctan0 donc R, f Méthode : calculons tan f f est définie sur R et pour > 0, Arctane un sens, pour < 0, Arctane, 0 et Arctanth/, 0 donc f a un sens, pour 0, f0 Arctan Arctan0 donc tan f0 a un sens Par conséquent, tan f est définie sur R Soit R fié quelconque 0, et Arctanth/ 0, donc f, si bien que tan f a, si bien que tan f tanf tanarctane tanarctanth/ + tanarctane tanarctanth/ e th + e th car t R, tanarctant t e e +e car t R, tht e t + e e + e t +e e + e e + e + e e e + e e + e On en déduit que R, f Or le raisonnement prouvant l eistence de tan f nous a permis de

17 montrer que, pour tout R, f, : R, f R, f, R, f Méthode 3 : astucieuse Soit R fié quelconque Posons θ Arctane d où e tan θ Calculons Arctane Arctanth/ θ Arctan e e + θ + Arctan tan θ tan tan θ tan + θ Arctan tan θ tan θ θ tan car θ Arctane 0, donc θ, Méthode : encore plus astucieuse en remarquant que R, th e + e tanarctane + tanarctane tan tanarctane Or th Arctan tan th tan Arctan th donc les deu réels Arctan et tanarctane,, car e > 0 Arctane 0, sont égau injectivité de tan, soit Corrigé de l eercice 6 Corrigé de l eercice 7 Corrigé de l eercice 8 Corrigé de l eercice 9 Corrigé de l eercice 0 Corrigé de l eercice Corrigé de l eercice Corrigé de l eercice 3 R, Arctane Arctanth/ Commençons par étudier la fonction h 3 3 h est une fonction polynôme donc définie et dérivable sur R et d où le tableau des variations de h : R, h th, ont même tangente donc ils h h ր ց ր ր + 3

18 Sachant que la fonction Argch est définie sur, +, Argch 3 3 a un sens h, + { }, + Dans le cas particulier, le calcul direct donne Argch 3 3 Argch h Argch 0 Il reste à prouver la relation, +, Argch 3 3 3Argch Méthode : astucieuse et trigonométrique Il faut connaître ou deviner puis redémontrer la formule de trigonométrie hyperbolique t R, ch3t ch 3 t 3cht Soit, + fié quelconque Posons t Argch La formule de trigonométrie hyperbolique rappelée ci-dessus s écrit donc si bien que ch3t ch 3 Argch 3chArgch 3 3 Argch 3 3 Argchch3t 3t 3Argch }{{} car 3t, + Méthode : analytique Posons f Argch 3 3 Argch est dérivable sur, +, h : 3 3 est dérivable sur, +,, +, h, + donc théorème sur la dérivabilité d une composée de fonctions dérivables f Argch h est dérivable sur, + et, +, f Argch h h calcul annee : car 0 3Argch Par conséquent, f 3Argch est une fonction dérivable sur, + et dont la dérivée est nulle sur, + donc c est une fonction constante : c R :, +, Argch 3 3 3Argch c De plus, f et 3Argch sont continues sur, + donc en prenant la limite dans l égalité ci-dessus lorsque +, donc d où c R :, +, Argch 3 3Argch lim + Argch3 3 3Argch c c Argch 3Argch 0, +, Argch 3 3 3Argch Le calcul direct pour permet d étendre la relation ci-dessus à, +