FONCTIONS. Fonctions usuelles. I.1 Fonctions affines

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1 BTS Fonctions 0-0 FONCTIONS I Fonctions usuelles I. Fonctions affines Définition a et b sont deu réels donnés. La fonction définie sur R par f() = a + b est appelée fonction affine. Sa représentation graphique est la droite d équation y = a + b, où : Le réel a est le coefficient directeur de cette droite. Le réel b est l ordonnée à l origine. Une fonction affine est dérivable sur R de dérivée f () = a. D où les tableau de variation suivants : a > 0 b a + signe de f () + variations + de f signe de f 0 + a < 0 b a + signe de f () variations + de f signe de f

2 BTS Fonctions 0-0 Eemple Le graphique ci-contre représente les droites d équation : d : y = + d : y = d : y = d d 0 d : = d d 5 d 5 : y = d I. Fonction logarithme Définition La fonction logarithme népérien, notée ln, est l unique primitive de la fonction définie sur ] 0 ; + [ qui s annule en. Conséquences directes : ln() = 0, la fonction logarithme népérien est dérivable sur ] 0 ; + [ et pour tout > 0, ln () =. Propriété Soient a et b deu réels strictement positifs et n est un entier naturel, alors : ln(ab) = ln(a) + ln(b). ( ln = ln(a). a) ( ) a ln = ln(a) ln(b). b ln(a n ) = n ln(a). ln ( a) = ln(a). En résumé, le logarithme népérien a la particularité de transformer les produits en sommes, les quotients en différences et les puissances en multiplications. Eemple Transformations d epressions numériques et algébriques : ( ) ( ) 9 6 ln = ln = ln(6) ln(9) = ln( ) ln( ) = ln() ln() ln( 96) = ln(96) = ln(5 ) = [5 ln() + ln()]. ln( + ) + ln( + ) = ln[( + )( + )] = ln( ) pour ] [ ; +. --

3 BTS Fonctions 0-0 Propriété On a les ites importantes suivantes : ln =. ln = Conséquence : La droite = 0 est donc asymptote verticale à la courbe représentative de la fonction ln. D où le tableau de variations et la courbe : 0 + f () + + f signe y = ln() e I. Fonction eponentielle Définition La fonction eponentielle, est la fonction définie sur R par ep() = e, e étant l unique nombre réel positif dont le logarithme vaut. Remarque On dit que la fonction eponentielle est la fonction réciproque de la fonction logarithme, ce qui signifie que graphiquement, les courbes sont symétriques par rapport à la première bissectrice (y = ) dans un repère othonormal. Conséquences directes : ep() > 0. ep() = e = e, 78. ln(e ) =. e ln = pour > 0. R et y = e y R + et ln(y) =. --

4 BTS Fonctions 0-0 Propriété Soient a et b deu réels et n est un entier relatif, alors : e a+b = e a e b e a = e a. ea e b = ea b. (e a ) n = e an. En résumé, l eponentielle à la particularité de transformer les sommes en produits, les différences en quotients et les multiplications en puissances. (inversement au logarithme!). Eemple Transformations d epressions numériques et algébriques : e e e (e ) = e + +6 = e 7. e + e + = e (+)+(+) = e +. (e ) = e. Propriété On a les ites importantes suivantes : e = 0. e = +. Conséquence : La droite d équation y = 0 est donc une asymptote horizontale à la courbe représentative de la fonction ep. Propriété 5 La fonction eponentielle est dérivable sur R de dérivée (e ) = e. D où le tableau de variations et la courbe : f () + + f 0 y = ep() signe

5 de f α 0 de f α 0 BTS Fonctions 0-0 I. Fonctions puissance Définition Soit α un nombre réel, la fonction puissance (d eposant) α, notée f α est la fonction qui, à tout nombre R + associe f α () = α = e α ln Eemple Dans le cas où α =, on a f () = = e ln =. Propriété 6 Pour tout α, la fonction f α est dérivable sur R + de dérivée f α() = α α. Sens de variation : Dans le cas où α = 0, la fonction f 0 () = 0 = est constante sur R +. Dans le cas où α 0, f α () = αα est du signe de α sur R +. D où les tableau de variation suivants : α < signe de f α () variations + α > signe de f α () + variations + signe de f α + signe de f α + Allure des courbes représentatives des fonctions puissance : y = 0.5 y = y = y = y = y =

6 BTS Fonctions 0-0 II ites Interprétation graphique Limite en un point : 6 5 f() = Il n y a pas d asymptote. Limite en + : f() = + La courbe admet une asymptote verticale d équation = f() = La courbe admet une asymptote verticale d équation =. 6 5 f() = La courbe admet une asymptote horizontale d équation y =. Limite en : 6 5 f() = + Il n y a pas d asymptote. 5 6 f() = Il n y a pas d asymptote. 6 5 f() = La courbe admet une asymptote horizontale d équation y =. 6 5 f() = + Il n y a pas d asymptote. 5 6 f() = Il n y a pas d asymptote. -6-

7 BTS Fonctions 0-0 Définition 5 Soit f une fonction et d la droite d équation y = a + b tel que : [f() (a + b)] = 0 ± on dit alors que la droite d est une asymptote oblique à la courbe représentative C f en ±. Eemple 5 Soit f la fonction définie sur R par f() = [ ( )] ( ) f() + = = 0. La courbe admet une asymptote oblique d équation y = +. II. Limites des fonctions usuelles Voici un tableau qui résume les différentes ites des fonctions de référence (la notation signifie qu il faut appliquer la «règle des signes»). f() n n N n n N α α R + α ln ep cos sin α R + 0 indéfini indéfini indéfini 0 + aucune aucune 0 0 indéfini indéfini indéfini aucune aucune -7-

8 BTS Fonctions 0-0 II. Opérations sur les ites Dans tout ce qui suit, la notation «FI» désigne une Forme Indéterminée, c est à dire qu on ne sait pas calculer par une opération élémentaire. II.. Limite d une somme f l l + g l ± + + (f + g) l + l ± + FI Eemple 6 Calcul de «sommes» de ites : 0 e = 0 = 0 = 0 = + ln = + = = 0 = + = + = ( e + ) =. ( ) + = + ( ) ln + = +. ( ) + =. ( + ) est une forme indéterminée du type. II.. Limite d un produit f l l 0 ± 0 g l ± ± ± (f g) l l FI Eemple 7 Calcul de «produit» de ites : 0 (e + ) = 0 (e ) = ( ) = = + ( ) = = ( + ) = + = 0 0 [(e + ) (e )] =. [ ( ) ] = 0 + [( ) ] = +. [ ( + ) ] est une forme indéterminée du type

9 BTS Fonctions 0-0 II.. Limite d un quotient f l l l ± ± 0 g l 0 ± 0 l ± 0 ( ) f l g l 0 FI FI Eemple 8 Calcul de «quotients» de ites : 0 (e + ) = 0 e ) = = 0 + = ( ) = = + ln = 0 + ( ) = 0 + ( ) = = 0 0 = 0 = ( e ) + e = e 5. ( ) = 0. ( ) =. ( ) ln = ( ) ( ) est une forme indéterminée. est une forme indéterminée. II.. Compositions Propriété 7 Soient deu fonctions : f définie de I dans J et g de J dans R. a Si f() = b g() = c alors (g f)() = g[f()] = c. a a b Eemple 9 Calcul de "composition" de ites : ( + ) = X ex = 0 ( + ) = + ln X = + 0 X ( + ) = X = 0 e+ = 0. + =. ln( + ) =

10 BTS Fonctions 0-0 II. Calcul de ites dans les cas de formes indéterminées Dans ce cas, toutes les situations sont a priori possibles : eistence d une ite finie, nulle ou non ; eistence d une ite infinie ; absence de ite. Seule une étude particulière permet de lever l indétermination. Eemple 0 Indétermination du type : = + = On met en facteur : f() = = ( ( ) est une forme indéterminée du type. = + ( ) = d où ). f() = +. Remarque De manière générale, le comportement d une fonction polynomiale en ± est dictée par le comportement de son terme de plus haut degré en ±. Eemple Indétermination du type : f() = + + = ( + + ) = + ( ) = + Pour 0, on factorise par( la puissance de maimale et on simplifie : + + ) ( + + ) ( ) ( ) = = = ( ) + + est une forme indéterminée du type f() =. Remarque De manière générale, le comportement d une fraction rationnelle en ± est dictée par le comportement du quotient des deu termes de plus haut degré. Eemple Indétermination du type «0» : = 0 ( + ) = + [ ] ( + ) est une forme indéterminée du type «0». On développe : f() = ( + ) = +. d où = + = 0+ f() =

11 BTS Fonctions 0-0 Eemple Indétermination du type «0 0» : ( ) = 0 ( ) = 0 On factorise : f() = ( )( + ) = ( ) = 0 donc : f() = 0. ( ) est une forme indéterminée du type 0 0. = +. II. Croissance comparée de l eponentielle, du logarithme et des fonctions puissance Propriété 8 Pour tout nombre réel α strictement positif : ( ) ( ln e ) α = 0. α = +. L idée à retenir : Au voisinage de +, les fonctions ln, α et e prennent des valeurs qui se classent dans cet ordre de la plus petite à la plus grande. III Dérivation Dans cette partie, f est une fonction numérique définie sur un intervalle I, C sa courbe représentative dans un repère. a et sont deu réels distincts de I On souhaite trouver une fonction affine (droite) qui réalise une bonne approimation de la fonction f au voisinage d un point d une courbe. Interprétation graphique : Lorsque h se rapproche de 0, le point M se rapproche du point A. Ainsi, la droite (AM) se rapproche de la tangente T au point A f (a) correspond au coefficient directeur de la tangente T au point d abscisse a. f(a + h) f(a) A T M a a + h --

12 BTS Fonctions 0-0 III. Fonction dérivée Définition 6 Soit f une fonction dérivable en tout point d un intervalle I, alors la fonction qui à associe f () est appelé fonction dérivée de f sur I. On obtient le tableau de dérivation suivant : Fonction f Fonction f Ensemble de définition de f k 0 R a + b a R R R + α α α R si α N ou R si α Z ou R + si α R ln() R + e e R sin() cos() R cos() sin() R Eemple Calcul de la dérivée des fonctions suivantes : f() = π f () = 0 f() = f () = f() = f () = f() = 007 f () = III. Opérations u et v sont deu fonctions définies et dérivables sur un même intervalle I. Opération Fonction Dérivée Addition u + v u + v Multiplication par un nombre k u avec k R k u Multiplication u v u v + u v Puissance u n n u u n u u v u v Division v v Inverse v v v Fonction composée f g f g g eponentielle e u u e u logarithme ln(u) u u sinus sin(u) u cos(u) cosinus cos(u) u sin(u) --

13 BTS Fonctions 0-0 Eemple 5 Calcul de dérivées : f() = + + : On utilise la formule (u + v) = u + v avec u() = et v() = +. on obtient f () = +. f() = ( + ) : on utilise la formule (ku) = ku avec k = et u() = +. on obtient f () = 6. f() = ( + )(5 ) : On utilise la formule (uv) = u v + uv avec u() = + et v() = 5. on obtient f () = 0 +. f() = ( 7) : on utilise la formule (u ) = uu avec u() = 7. on obtient f () = ( 7). f() = ( u ) + : On utilise la formule u v uv = v v avec u() = et v() = +. on obtient f () = ( + ). f() = : On utilise la formule + on obtient f () = ( + ). ( ) = v avec v() = +. v v f() = e + : On utilise la formule (e u ) = u e u avec u() = +. on obtient f () = e +. f() = ln( + 5) : On utilise la formule (ln u) = u u on obtient f () = + 5. avec u() = + 5. f() = cos( + ) : On utilise la formule cos (u) = u sin(u) avec u() = +. on obtient f () = sin( + ). III. Équation de la tangente Propriété 9 Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle I et dérivable en a I. La tangente T a en a à la courbe C f a pour équation : T a : y = f (a)( a) + f(a). Eemple 6 Soit f() = +. Les équations des tangentes en 0 et en sont : f () = f (0) = 0 donc T 0 : y = 0 ( 0) + f(0) =. f ( ) = donc T : y = ( + ) + f( ) = +. --

14 BTS Fonctions 0-0 IV IV. Étude des variations d une fonction Lien entre dérivation et sens de variation d une fonction L idée est qu il y a un lien entre le signe du coefficient directeur de la tangente de la courbe C et le sens de variation de la fonction f. Propriété 0 On suppose que f est dérivable sur I. f est croissante sur I f () 0 pour tout I. f est décroissante sur I f () 0 pour tout I. f est constante sur I f () = 0 pour tout I. Il est donc possible de déterminer les variations d une fonction à partir du signe de sa dérivée. Eemple 7 Étude d une fonction polynôme : Soit f() =, définie et dérivable sur R. Déterminons son sens de variation : Pour tout réel on a f () = 6 6 = 6( ). On détermine le signe de en cherchant ses racines et on trouve et. f () = 6( + )( ) est positive sauf entre ses racines et. On peut déterminer le signe de la dérivée et en déduire les variations de la fonction f : + signe de f () variations de f ր ց ր f est croissante sur ] ; ] et sur [ ; + [ et décroissante sur [ ; ]. Eemple 8 Etude d une fonction logarithme : Soit g() = + ln, définie et dérivable sur R +. Déterminons son sens de variation : Pour tout réel > 0 on a g () = = ( + )( ) =. On peut déterminer le signe de la dérivée grâce à un tableau de signes puis en déduire les variations de la fonction g : signe de g () variations de g ց ր + ln --

15 BTS Fonctions 0-0 [ g est décroissante sur 0 ; [ [ [ et croissante sur ; +. Eemple 9 Etude d une fonction eponentielle : Soit h() = ( + ) e, définie et dérivable sur R. Déterminons son sens de variation : Pour tout réel on a h () = e + ( + ) ( e ) = ( ) e = ( ) e. On peut déterminer le signe de la dérivée grâce à un tableau de signes puis en déduire les variations de la fonction h : + + e + + signe de h () + 0 e variations de h ր ց 0 h est croissante sur [ ; ] et décroissante sur [ ; + [. IV. Etremum d une fonction Propriété f est une fonction dérivable sur l intervalle I. Si f admet un etremum (minimum ou maimum) en a distinct des etrémités de I, alors f (a) = 0. Remarque Attention, la réciproque n est pas vraie : le fait que f (a) = 0 n implique pas forcément qu il eiste un etremum en a. y = Eemple 0 La fonction f() = est définie et dérivable sur R. f () = donc, f (0) = 0 mais f n admet ni minimum, ni maimum en 0. Remarque 5 La tangente à la courbe en un point a où f (a) = 0 est parallèle à l ae des abscisses. IV. Résolution de l équation f() = λ -5-

16 BTS Fonctions 0-0 Propriété Si f est une fonction continue, dérivable et strictement croissante [resp. décroissante] sur un intervalle [ a; b ] alors, pour tout λ [ f(a); f(b) ] [resp. [ f(b); f(a) ]], l équation f() = λ admet une solution unique sur l intervalle [ a; b ]. f(b) B λ f(a) A a b Eemple Soit f() = + + = 0, f est définie et dérivable sur R. Résolvons l équation f() = 0 à 0 près. Pour tout réel on a f () = +. f est strictement positive sur R, on en déduit que f est strictement croissante sur R. on calcule f( ) = et f(0) =. D après le théorème, 0 [ f( ); f(0) ] = [ ; ], l équation f() = 0 admet donc une solution unique dans l intervalle [ ; ]. A la calculatrice, on trouve f( 0, 7) = 0, 0 < 0 et f( 0, 6) = 0, 8 > 0. La racine vaut donc 0, 7 à 0 près. -6-