3.4 Fonctions hyperboliques

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1 3.4. FONCTIONS HYPERBOLIQUES Fonctions yperboliques 3.4. Fonctions paires et impaires Téorème 8 Soit f une fonction définie sur R (ou sur un ensemble de définition D f symétrique par rapport à 0). Il existe un unique couple de fonctions (p, i) composé d une fonction paire et d une fonction impaire tel que : x R, f (x) =p (x)+i (x). Preuve. Elle est très jolie, elle se décompose en deux étapes : unicité et existence ½ : f (x) = p (x) + i (x) Unicité : soit une fonction f, supposons qu il existe un tel couple, on a alors f ( x) = p (x) i (x) (il est naturel d utiliser les propriétés sur les parités). On obtient alors sans difficulté en faisant la somme et la différence p (x) = f(x)+f( x) et i (x) = f(x) f( x), ces deux écritures déterminent donc de manière unique ces deux fonctions. Existence : soit une fonction f, ondéþnit deux fonctions p et i par : x R, p (x) = f(x)+f( x) et i (x) = f(x) f( x),onvériþe alors facilement que p est une fonction paire, que i est une fonction impaire et que f (x) =p (x)+i(x). Remarque 9 Dans le cas où f (x) est un polynôme, p (x) est composée des puissances paires, y compris le terme constant et i (x) des puissances impaires. On peut alors prouver très facilement que f (x) est paire si et seulement si elle est uniquement composée de puissances paires. Définition 30 Dans le cas où f (x) =e x,lafonctionp s appelle le cosinus yperbolique, noté c ou encore cos, lafonctioni s appelle le sinus yperbolique, noté s ou encore sin. c (x) = ex +e x et s (x) = ex e x 3.4. Fonctions c et s On a donc : c : R R et s : R R x 7 ex +e x x 7 ex e x On a immédiatement le fait que c et s sont respectivement des fonctions paires et impaires. Ce sont des fonctions dérivables, en tant que combinaisons linéaires de fonctions dérivables, avec : c 0 (x) =s (x) et s 0 (x) =c (x). Commec (x) > 0, on a immédiatement s (x) strictement croissante, de plus s (0) = 0 (puisque s est impaire). x 0 + c (x) s (x) % 0 % On en déduit le signe s (x), d où x 0 + s (x) c (x) & % s(x) c(x)

2 40 CHAPITRE 3. FONCTIONS USUELLES Pour le calcul des limites en +, ilsuffit deconstaterquelim x + e x =0, par la même occasion, on en déduit que lim x + c (x) e x = limx + s (x) ex =0. Géométriquement, cela se traduit par le fait quelacourbereprésentativedelafonctionx ex est asymptote aux courbes représentatives de c (x) et de s (x), celle de c étant au dessus et celle de s en dessous. On a c (x)+s (x) =e x (cf paragrape précédent), on en déduit immédiatement que c ( x)+s ( x) = c (x) s (x) =e x, en multipliant ces deux expressions on obtient : c (x) s (x) =(c (x)+s (x)) (c (x) s (x)) = e x e x =. c (x) s (x) = On en déduit alors que les points M (t) de coordonnées (c (t),s(t)) sont sur la courbe d équation X Y =, cette courbe s appelle une yperbole. Les points M (t) sontlespointsd abscissespositivesde cette yperbole, pour obtenir les points d abscisses négatives, on considère les points N (t) de coordonnées ( c (t),s(t)). On peut paramétrer ½ l yperbole par x = ²c (t) les équations paramétriques où ² = ±. y = s (t) Tangente, cotangente yperbolique La fonction tangente yperbolique t ou aussi tan est déþnie par t (x) = s(x), elle est déþnie sur tout c(x) R, elle est impaire, elle est dérivable sur R, avect 0 (x) = c (x) s (x) ce qui donne c (x) t 0 (x) = = c (x) t (x) La première expression nous donne immédiatement que t est une fonction croissante. Il reste à déterminer maintenant la limite en + :onécritt (x) = ex e x = ex ( e x ),onendéduitdelim e x +e x e x (+e x ) x + e x =0que lim x + t (x) =.Onpeutmaintenantdresserletableaudevariation: x 0 + t 0 (x) + + t (x) % 0 % La fonction cotangente yperbolique cot ou aussi co tan est déþnie par cot (x) = c(x), elle est déþnie s(x)

3 3.4. FONCTIONS HYPERBOLIQUES 4 sur tout R, elle est impaire, elle est dérivable sur R,aveccot 0 (x) = s (x) c (x) s (x) cot 0 (x) = = s (x) cot (x) ce qui donne La première expression nous donne immédiatement que cot est une fonction décroissante. Il reste à déterminer maintenant les limites en + et en 0 + : on écrit cot (x) =,onendéduitquelim t(x) x + cot (x) = et que lim x 0 + cot (x) =+. On peut maintenant dresser le tableau de variation : x 0 + cot 0 (x) + cot (x) & & On a grapiquement : Tout ce qui suit est ors programme mais les démonstrations sont très formatrices : c (a + b) = c (a) c (b)+s (a) s (b) s (a + b) = c (a) s (b)+c (b) s (a) t (a + b) = t(a)+t(b) +t(a)t(b) En effet, on a c (a + b) = e a+b + e a b = e a e b + e a e b = ([c (a)+s (a)] [c (b)+s (b)] + [c (a) s (a)] [c (b) s (b)]) = c (a) c (b)+s (a) s (b) On trouve de la même façon la formule pour le s. Pourlet, onécrit: t (a + b) = s(a+b) c(a+b) = c(a)s(b)+c(b)s(a) c(a)c(b)+s(a)s(b) = c(a)c(b) t(a)+t(b) c(a)c(b) +t(a)t(b) On peut alors montrer toute une palette de formules de trigonométrie yperbolique, on peut faire une passerelle entre les deux mondes en remarquant que c (ix) =cos(x), s (ix) =i sin (x). On remarque aussi que la fonction s déþnit une bijection de R vers R, nous allons déterminer sa fonction réciproque : i Soit donc à résoudre l équation y = s (x) = ex e x, on a donc ex e x = e x (e x ), l équation dévient donc X yx =0où X = e x (donc X>0). ³ Ceci s écrit (X y) ( + y )= X ³y + p ³ +y X ³y p +y =0 On a deux solutions X = y + p +y et X = y p +y, le produit des racines ( c ) est négatif, donc les a racines sont de signes opposés, la racine X est positive puisque X = p +y + y> p y + y = y + y 0, la racine X est donc négative, donc à exclure puisque X > 0. On a donc e x = y + p +y, i.e. x = ln ³y + p +y.lafonctionargs (x) =ln x + +x est la fonction réciproque de la fonction s. De la même façon, on déþnit la réciproque de la restriction de la fonction c déþnie sur R +,ontrouve Argc (x) =ln x + x et la réciproque de la fonction t par Argt (x) = ln +x x.

4 4 CHAPITRE 3. FONCTIONS USUELLES 3.5 Fonctions circulaires et leurs réciproques 3.5. Preuve de lim 0 sin() = Nous allons démontrer que lim sin() 0 + =, pour la limite en 0,ilsuffit de constater que la fonction sin() est une fonction paire. Cette preuve se fait à l aide d un encadrement, pour l obtenir, on compare des aires : il faut savoir que si l on travaille en radian, la longueur de l arc AM _ n est autre que la mesure de l angle \AOM. En utilisant les notations de la Þgure, il est clair que les aires A OAM et A OAT des triangles OAM et OAT _ et A _ celle du secteur angulaire OAM vériþent les inégalités : OAM A OAM A _ A OAT OAM On a donc sin () tan (), ce qui nous donne sin () tan (). Comme on travaille qu avec des valeurs positives, on en conclut que l on a sin() et que cos () sin() (ceci découle de tan ()), moralité, on a sin () cos () Pour Þnir, il suffit de remarquer que lim 0 + cos () =, donc le téorème de l encadrement nous permet de conclure Etude de la fonction cosinus La fonction cos est déþnie sur tout R, elle est paire et périodique, on l étudiera donc sur [0, ]. C est une fonction continue, montrons qu elle est dérivable en tout x 0 de [0.]. Regardons le taux d accroissement : cos (x 0 + ) cos (x 0 ) = sin x 0 + sin µ = sin x 0 + sin sin( On a lim ) 0 =d après le paragrape précédent et lim 0 + sin x 0 + =sin(x0 ) (on suppose que cos(x la fonction sinus est continue). On en conclut donc que lim 0 +) cos(x 0 ) 0 = sin (x 0 ),cecisigniþe que la fonction cos est dérivable en x 0 de nombre dérivé sin (x 0 ).

5 3.5. FONCTIONS CIRCULAIRES ET LEURS RÉCIPROQUES 43 On en conclut donc que la fonction cos est dérivable avec cos 0 (x) = sin (x). Sur]0; [, onasin (x) > 0, donc la fonction cos est strictement décroissante, dressons maintenant le tableau de variation sur une période : x 0 sin (x) cos (x) % 0 % & 0 & - - / 0 / La fonction Arc cosinus On constate donc que la fonction cosinus est dérivable et strictement décroissante sur [0, ], elle déþnit donc une bijection de [0, ] sur [, ], on appelle arc cosinus, notée Arc cos (x), sa réciproque, on a donc x [0, ], y [, ] y =cos(x) x = Arc cos (y) Soit x dans [, ], on a donc cos (Arc cos (x)) = x, déterminons maintenant sin (Arc cos (x)) :toutd abord on remarque que Arc cos (x) appartient à [0, ] donc sin (Arc cos (x)) est positif, puis de cos (Arc cos (x)) = x, on en déduit que sin (Arc cos (x)) = x,doncsin (Arc cos (x)) = x,onadonc: cos (Arc cos (x)) = x sin (Arc cos (x)) = x tan (Arc cos (x)) = x x La fonction Arc cos est dérivable sur ], [, avec Arc cos 0 (x) = x En effet, on a cos (Arc cos (x)) = x, en dérivant cette relation, on obtient (Arc cos (x)) 0 sin (Arc cos (x)) =, d où Arc cos 0 (x) = x. On en déduit que la Arc cos est strictement décroissante (on peut aussi le deviner puisque cos est croissante). On a tableau de variation et les courbes suivantes : Arccos(x) y = x x 0 Arc cos (x) & & 0 / / - cos(x)

6 44 CHAPITRE 3. FONCTIONS USUELLES Pour tout y de [, ],onay =cos(arc cos (y)), attention pour tout x de R,onn apasx = Arc cos(cos(x)), cette égalité n est vériþée que sur [0, ]. Prenons un premier exemple, Arc cos cos = Arc cos cos = Arc cos cos = 3,ici,onautiliséla-périodicité de la fonction cos (x), maiscelanesuffit pas toujours par exemple 4 Arc cos cos = Arc cos cos = Arc cos cos = Arc cos cos , pour s en sortir il faut ici remarquer que cos 3 4 =cos 3 4,doncArc cos cos = 3,ilfautbien 4 comprendre que la fonction f (x) =Arc cos (cos (x)) vaut x sur [O, ]. Etudions cette fonction : tout d abord, elle est bien déþnie sur R, elle est paire et périodique, il suffit doncdel étudiersur[0, ], or sur cet intervalle, on sait que f (x) = x. Sur [, 0], onaf (x) = Arc cos(cos(x)) = Arc cos(cos( x)) = x puisque x est dans [0, ]. Sur [, ], onaf (x) = x puisque cos (x) =cos(x ) =cos( x) et x est dans [0, ]. x 0 3 Arc cos (cos (x)) x 0 x x 0 x Onalareprésentationgrapiquesuivantedelafonctionf (x) : + x - x x - x - + x 4 - x La fonction sinus La fonction sinus est déþnie sur tout R, elle est impaire et périodique, on l étudiera donc sur [0; ]. C est une fonction dérivable, en effet, il suffit de remarquer que sin (x) =cos x. On a alors ³ sin 0 (x) = x 0 ³ sin x = ( cos (x)) = cos (x) Sur 0;,onacos (x) > 0, donc la fonction sin y est strictement croissante, dressons maintenant le tableau de variation sur une période : x 0 cos (x) % & sin (x) & % - - / 0 /

7 3.5. FONCTIONS CIRCULAIRES ET LEURS RÉCIPROQUES La fonction Arc sinus On constate donc que la fonction sinus est dérivable et strictement croissante sur,, elle déþnit donc une bijection de, sur [, ], on appelle arc sinus, notée Arc sin (x), saréciproque,onadonc x,, y [, ] y =sin(x) x = Arc sin (y) Soit x dans [, ], on a donc sin (Arc sin (x)) = x, déterminons maintenant cos (Arc sin (x)) :tout d abord on remarque que Arc sin (x) appartient à, donc cos (Arc sin (x)) est positif, puis de sin (Arc sin (x)) = x, on en déduit que cos (Arc sin (x)) = x,donccos (Arc sin (x)) = x, on a donc : cos (Arc sin (x)) = x sin (Arc sin (x)) = x tan (Arc sin (x)) = x x La fonction Arc sin est dérivable sur ], [, avec Arc sin 0 (x) = x En effet, on a sin (Arc sin (x)) = x, en dérivant cette relation, on obtient (Arc sin (x)) 0 cos (Arc sin (x)) =, d où Arc sin 0 (x) = x. On en déduit que la Arc sin est strictement décroissante et on remarque que Arc sin est impaire (on peut aussi le deviner puisque sin est croissante et impaire). On a tableau de variation et les courbes suivantes : x 0 Arc sin (x) % 0 % -/ - / Arcsin(x) sin(x) y = x / - -/ Pour tout y de [, ],onay =sin(arc sin (y)), attention pour tout x de R,onn apasx = Arc sin(sin(x)), cette égalité n est vériþée que sur,. Prenons un premier exemple, Arc sin sin 00 4 = Arc sin sin +50 = Arc sin sin 4 4 =, ici, on a utilisé la -périodicité de la fonction sin (x), maiscelanesuffit pas toujours par exemple 4 Arc sin sin = Arc sin sin = Arc sin sin 3 4 4, pour s en sortir il faut ici remarquer que sin 3 4 =sin 3 4 =sin 4,doncArc sin sin =, il faut bien comprendre que la fonction 4 f (x) =Arc sin(sin(x)) vaut x sur,.

8 46 CHAPITRE 3. FONCTIONS USUELLES Etudions cette fonction : tout d abord, elle est bien déþnie sur R, elle est impaire (inutile ici) et périodique,ilsuffit doncdel étudiersur, 3,orsur,,onsaitquef(x) =x. Sur, 3,ona sin (x) =sin( x) et x appartient à,,doncf (x) = x. Pour le sport, déterminons l expression de f (x) sur 3, :onasin (x) =sin( + x) =sin( ( + x)) = sin ( x) avec x dans,,doncf (x) = x. Onendéduit: x 3 3 f (x) x x x Onalareprésentationgrapiquesuivantedelafonctionf (x) : - - x / x - x -3/ -/ / 3/ -/ La fonction tangente La fonction tan (x) = sin(x) est déþnie sur R\ + k, k Zª = S cos(x) k Z + k, + k.lafonction tan est périodique et impaire, on l étudiera donc sur 0,. Elle est dérivable avec tan 0 (x) = cos (x)+sin (x) : cos (x) tan 0 (x) = cos (x) =+tan (x) On en déduit que tan est strictement croissante, on a lim x tan (x) =+ puisque lim x cos (x) =0 +. On a donc x 0 + tan 0 (x) + + tan (x) % 0 % +

9 3.5. FONCTIONS CIRCULAIRES ET LEURS RÉCIPROQUES La fonction Arc tangente La fonction tangente est dérivable et strictement croissante sur,, elle déþnit donc une bijection de, sur R, on appelle Arc tangente sa réciproque, notée Arc tan. On a donc x,, y R, y =tan(x) x = Arc tan (y) Soit x dans R, on a donc tan (Arc tan (x)) = x, déterminons maintenant cos (Arc tan (x)) : tout d abord on remarque que Arc tan (x) appartient à, donc cos (Arc tan (x)) est positif, puis de tan (Arc tan (x)) = x, on en déduit que cos (Arc tan(x)) =+x,donccos (Arc tan (x)) = +x.enþn, on remarque que sin (θ) = cos (θ) tan (θ), on a donc : cos (Arc tan (x)) = +x sin (Arc tan (x)) = x +x tan (Arc tan (x)) = x La fonction Arc tan est dérivable sur ], [, avec Arc tan 0 (x) = +x En effet, on a tan (Arc tan (x)) = x, en dérivant cette relation, on obtient (Arc tan (x)) 0 ( + tan (Arc tan (x))) =, d oùarc tan 0 (x) =.OnendéduitquelaArc tan est strictement décroissante et on remarque que +x Arc tan est impaire (on peut aussi le deviner puisque tan est croissante et impaire). On a tableau de variation et les courbes suivantes : x Arc tan (x) % 0 % tan(x) y = x / -/ / -/ Arctan(x)

10 48 CHAPITRE 3. FONCTIONS USUELLES Pour tout y de R, onay =tan(arc tan (y)), attention pour tout x de R, onn apasx = Arc tan (tan (x)), cette égalité n est vériþée que sur,. Prenons un exemple, Arc tan tan 00 4 = Arc tan tan +500 = Arc tan tan 4 4 =,ici,on 4 utilise la -périodicité de la fonction tan (x), cela suffit toujours on pose la fonction f (x) =Arc tan (tan (x)), elle vaut x sur,. Etudions cette fonction : tout d abord, elle est déþnie sur R\ + k, k Zª = S k Z + k, + k, elle est impaire (inutile ici) et périodique,ilsuffit donc de l étudier sur,,orsur,,onsaitque f (x) =x. Sur, 3,onatan (x) =tan(x ) et x appartient à,,doncf (x) =x. Pourle sport, déterminons l expression de f (x) sur 3, :onatan (x) =tan(x + ) avec x + dans,, donc f (x) =x +. On en déduit : x k + k f (x)... x + x x... x k Onalareprésentationgrapiquesuivantedelafonctionf (x) : -3/ x + / x x - -/ / 3/ -/