Comprendre la finance stochastique Capitalisation stochastique 1

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1 Comprendre la finance stochastique Capitalisation stochastique 1

2 Première session Comprendre la mathématique sousjacente à la finance stochastique Modélisation d actifs boursiers au moyen de mouvements browniens

3 Observation d actifs financiers Fonctions étonnantes, sans tendance, sans régularité Mouvements brusques, non prévisibles Superposition de plusieurs composantes

4 Observation du bel 20

5 Ou du CAC 40

6 5000, , , , , , , , , ,000 0,000 Comparons Valeurs bel 20 Valeurs CAC

7 Premières constatations Une évolution en tendance Une évolution «erratique» L influence de facteurs extérieurs Une corrélation en tendance Une corrélation locale

8 Modélisation de la tendance Recours classique aux équations différentielles ordinaires (EDO) : à justifier Hypothèses classiques : Existence d une croissance proportionnelle à l actif Exitence d une croissance proportionnelle au temps

9 Le raisonnement déductif L accroissement d un actif doit être proportionnel à cet actif. Mathématiquement : Il faut choisir le contexte déterministe ou stochastique dans lequel on se place

10 Interprétation de la dérivée Une fonction dérivable est une fonction localement linéaire

11 En contexte temporel : Une fonction dérivable est une fonction prolongeable dans un intervalle. Le phénomène modélisé est localement déterministe et aussi «localement linéaire»!

12 En univers «déterministe» La différentiabilité donne : En regroupant nos deux conditions :

13 L utilisation du support mathématique Equation différentielle à variables séparées

14 On en tire successivement :

15 Dans le cas de la stabilité : On retrouve le modèle exponentiel : Avec :

16 Modélisation de la perturbation Quelques hypothèses «économiquement réalistes» : L état initial du système est connu Les perturbations n ont pas de tendance Les perturbations sont indépendantes Les perturbations sont de variance finie

17 Un théorème étonnant

18

19 Que se passe-t-il en univers aléatoire? Représentation simplifiée (pour commencer) Passage à une représentation discrète. L horizon t est divisé en n petits intervalles de temps de durée identique (et constante) t.

20 La représentation du risque Durant chaque intervalle de temps, le capital subit une modification représentée par une variable aléatoire X k (k = 1,..., n) On peut écrire :

21 Hypothèses simplificatrices Les X k sont équidistribuées et suivent : X k = + x avec probabilité 0,5 X k = - x avec probabilité 0,5 Justification

22 Paramétrisation Il reste à calculer E[C(t)] et V[C(t)]. On a :

23 Le calcul des paramètres en découle :

24 Et donc...

25 Résumons : Conclusion : les variations imprévisibles d un capital à risque sont proportionnelles à la racine carrée du temps écoulé. Les dérivées usuelles sont toujours infines.

26 Mathématisation : construction du mouvement brownien Pas de perturbation initiale : X(0) = 0 La distribution de X(t) est normale Pas de tendance : E[X(t)] = 0 Perturbations à accroissements indépendants Perturbations à accroissements stationnaires

27 Variabilité Sous nos conditions, on montre que :

28 Mouvement Standardisé On en tire : Et on standardise le MB en posant :

29 Représentation concrète du mouvement brownien Nous en proposons une simulation dans le fichier prom_alea.xls. L absence de tendance théorique peut se traduire par une tendance positive ou négative.

30 Intégrale stochastique de fonctions en escaliers

31 Propriétés

32 Introduction de l intégrale stochastique indéfinie

33 Définition de la différentielle stochastique

34 Formule de Itô Considérons un phénomène obéissant à :

35 Considérons à présent une fonction f(x,t) du précédent phénomène et du temps. On a :

36 Comparaison avec l univers déterministe : Terme supplémentaire expliquer par le terme d ordre ½ dans l équation différentielle :

37 Capitalisation stochastique Considérons un flux d intérêt suivant

38 Equation d évolution d un capital à risque

39 Solution passant par le lemme d Itô Interprétation et utilisation de cette relation

40 Quelques compléments mathématiques indispensables La construction des processus de capitalisation et d actualisation La paramétrisation de ces processus Tout ceci nécessite le passage à la présentation suivante...

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