EXERCICES SUR LES DISTRIBUTIONS. 1 x 2 si x < 1. ϕ(x) = 0 si x 1 2

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1 Université Chouaib Doukkali Faculté des Sciences Département de Mathématiques El Jadida A. Lesfari EXERCICES SUR LES DISTRIBUTIONS Eercice. Soit ϕ : R R définie par ϕ() = e 2 si < si Montrer que ϕ D. Eercice 2. Soit f : R C une fonction de classe C. Montrer que si ϕ D, alors fϕ D. Eercice 3. Soit ϕ : R R ϕ() = e une fonction de D et soit, pour k N : 2 si < si ϱ k () = ϕ (k) ϕ (k) d. On appelle fonction porte la fonction Π () définie par { si < Π() = 2 si 2 a) Eprimer ϕ () à l aide de la fonction Π (). b) Trouver une relation simple entre ϱ k () et la fonction Π (). c) Prouver que ϱ k () D et préciser le support de ϱ k (). d) Calculer ϱ k () d. e) Représenter sur un même graphique les fonctions ϱ k correspondant à k =, k = 2 et k = 3.

2 A. Lesfari 2 Eercice 4. Pour tout ϕ D, on pose ϕ = n k= k k! ϕ(k) () + n+ θ (), R, et ϕ (n+) () = (n + )!θ (). a) Montrer que la fonction θ est continue sur R. b) on suppose que supp ϕ [ c, c], c >. Montrer que sup θ () A ϕ (n+) (), où A >, est une constante. k= sup [ c,c] Eercice 5. Pour toute fonction ϕ D, on considére une application sur D, en posant { n ( ) } T, ϕ = lim ϕ nϕ () ϕ () Log n. n k Montrer que cette application détermine une distribution sur R. Quel est son ordre? Eercice 6. Pour toute fonction ϕ D et tout ε >, on définit une application sur D, appelée valeur principale de Cauchy, en posant vp, ϕ = lim ε ε ϕ () d. Montrer que cette application est une distribution et déterminer son ordre. Eercice 7. Soit f() = { sur {a} ailleurs, la fonction caractéristique de {a} et soit f la distribution associée à cette fonction. Déterminer supp f () et supp f. Conclusion? Eercice 8. Démontrer que le support de la distribution vp est supp vp = R.

3 A. Lesfari 3 Eercice 9. Soit ϕ D, on pose ϕ () = ϕ ( ). Une distribution T est dite paire si T, ϕ = T, ϕ, et impaire si T, ϕ = T, ϕ. a) T étant une distribution, étudier la parité des distributions U, V définies par D ϕ U, ϕ = T, ϕ + T, ϕ, D ϕ V, ϕ = T, ϕ T, ϕ. b) En déduire que toute distribution T est la somme d une distribution paire et d une distribution impaire. c) Etudier la parité des distributions δ et vp. Eercice. Soit G () une fonction de la variable jouissant des propriétés suivantes : a) Elle est nulle pour < et >. b) Elle est indéfiniment dérivable dans chacun des intervalles, < < ξ, ξ < <, avec ξ ], [. c) G() et ses dérivées présentent des discontinuités de première espèce au points =, = ξ, =. ) Calculer au sens des distributions, d 2 G d 2 + ω2 G, ω R, en fonction des dérivées usuelles de G (). 2 ) Est-il possible de déterminer G et les constantes α et β pour que l on ait () d 2 G d 2 + ω2 G = δ ξ + αδ + βδ, δ a désignant la distribution de Dirac au point a? Montrer que, sauf si ω est de la forme k π, où k est un entier, le problème admet une solution unique. 2 Calculer alors G ainsi que les constantes α et β. 3 ) Soit ϕ D, une fonction inconnue, dont on sait qu elle vérifie les relations d 2 ϕ d 2 + ω2 ϕ = Ψ (),

4 A. Lesfari 4 ϕ ( ) = L, ϕ (+) = M, la fonction Ψ () et les constantes L et M étant connues. Montrer que la formule () permet de calculer ϕ(ξ) pour tout ξ ], [, sauf pour les valeurs eceptionnelles de ω. Eercice. Soit u (, t) la fonction définie dans R 2 par { α si t u (, t) = 2 2, t, ailleurs, a) Montrer que u (, t) définit une distribution dans R 2 et déterminer son support. b) Calculer, au sens des distributions, l epression ( 2 t ) u, où 2 t 2 est l opérateur des ondes. 2 2 c) Déterminer α de façon que u (, t) soit solution de l équation 2 u v 2 t 2 u 2 = δ, 2 où v est une constante positive et δ = δ (, t) la distribution de Dirac. Eercice 2. Soit z = + iy C et z = 2 ( + i y l opérateur de Cauchy-Riemann. Calculer, au sens des distributions, l epression ( ). z z Eercice 3. Soit ϕ D, une fonction quelconque. On considére une sphère S de centre, de rayon ϕ = r et un volume V de R 3 défini par ), < ϕ < r < a <, où a est choisi assez grand pour que ϕ et ses dérivées partielles soient nulles pour r = a. Désignons par n la normale (positive) à S dirigée vers l intérieur de V, par ds un élément d aire de S et par la dérivée normale. Calculer n dans R 3, le Laplacien de la distribution f associée à la fonction f(, y, z) = r, r 2 + y 2 + z 2.

5 A. Lesfari 5 Indication : Montrer d abord ρ r a f, ϕ = lim f ϕddydz, ρ r ρ ϕ lim ds =, ρ ρ r=ρ n lim ϕds = 4π δ, ϕ. ρ ρ 2 r=ρ Montrer qu en appliquant la formule de Green : ( (f ϕ ϕ f) dv = ϕ f n f ϕ ) ds, n r=ρ il vient r = 4πδ. Eercice 4. On désigne par H () la fonction échelon unité de Heaviside { si, H () = si <, et on pose f () = H () Log, R. a) Montrer que cette fonction détermine une distribution sur R. b) Calculer au sens des distributions (H () Log ). c) Pour tout ϕ D, on pose P f H() {, ϕ = lim ε ε } ϕ () d + ϕ () Logε. Trouver une relation simple entre P f H() et (H () Log ). L application P f H() est-elle une distribution sur R? Justifier votre réponse. d) Etudier, au sens des distributions, l équation T = H().

6 A. Lesfari 6 Eercice 5. Pour tout ϕ D et tout ε, on définit les distributions parties finies de H et H par 2 P f H { }, ϕ ϕ () = lim d + ϕ () Logε, ε ε P f H {, ϕ ϕ () = lim d ϕ () } + ϕ () Logε, 2 ε 2 ε ε où H () est la fonction d Heaviside nulle pour < et égale à pour. Soit f la fonction définie par e t dt si, f () = + t2 si <, On sait que pour tout, Pour tout λ >, on pose f () + f () = H(). f λ () = H () λ e t + t 2 dt. On désigne par T λ la distribution régulière associée à la fonction f λ et par T celle qui est associée à f. ) Montrer que P f H { } H ( ε), ϕ = lim + δ () Logε. ε 2) Résoudre l équation : T = P f H. 3) Calculer 4) Montrer que 5) Vérifier que T λ + T λ. ϕ () ϕ () ϕ () d + P d = f H, ϕ. e λ d Log λ = e t dt t λ e t t dt.

7 A. Lesfari 7 6) En déduire que dans D, ( ) e λ lim H () δlog λ = P f H λ + aδ, où a est une constante. 7) Déduire des questions 3) et 6) 8) On pose T + T = P f H + aδ + π 2 δ. c = e Log d. Ce nombre s appelle constante d Euler. Montrer que a = c. Eercice 6. Calculer la distribution m δ (n), (m, n N), où δ (n) est la dérivée nème de la mesure de Dirac sur R. Eercice 7. Résoudre dans D, l équation T = p c k δ (k), c k C. k=o Eercice 8. Soit l équation m T =, m N. a) Montrer que les distributions vérifiant cette équation s écrivent T = m k=o c k δ (k), c k C. b) En déduire l epression générale des distributions T qui vérifient l équation m T =, m N. c) Trouver toutes les distributions T vérifiant ( 2 α 2) T =, α R.

8 A. Lesfari 8 Eercice 9. Soit ϕ D et c > tel que : Supp ϕ [ c, c]. On définit une application T sur D en posant { } ϕ () T, ϕ = lim d + ϕ () Logε. ε a) Montrer que T, ϕ = c ε ϕ () ϕ () d + ϕ () Logc. b) Prouver que T est une distribution sur R, qu on notera T = P f H (), où H () est la fonction d Heaviside. c) Déterminer l ordre de cette didtribution ainsi que son support. d) Calculer au sens des distributions : T + T. e) Résoudre dans D, l équation différentielle : S + S = δ. f) Calculer au sens des distributions : où P f P f H () Log c, ϕ = H () Log, ϕ () ϕ () Logd + ϕ () Logc. c g) Déterminer la solution générale dans D de l équation différentielle : S + S = P f H (). Eercice 2. Déterminer la limite, quand α, de la distribution définie par T α = ( ) vp 2α α vp. + α

9 A. Lesfari 9 Eercice 2. a) Soient f une fonction de classe C et T un distribution. On suppose que T f eiste. Montrer que T f C ( au sens usuel ) et T f(y) = T, f(y ), y R. b) Soient S et T deu distributions. On suppose que S T eiste. Calculer (en justifiant) l epression (S T ) en fonction de S et T. c) On suppose que S T et S T eistent. Peut-on conclure que S T eiste? Justifier votre réponse. Eercice 22. On considère l équation de convolution (2) (δ + ω 2 δ) X = B, où B est une distribution connue, X une distribution inconnue et ω une constante. a) Calculer (δ + ω 2 sin ω δ) H() ω, où H() est la fonction d Heaviside. b) En déduire une solution unique de l équation (2). Eercice 23. ) On rappelle qu une solution élémentaire d un opérateur différentiel à coefficients constants sur R n, P ( ), est une distribution E sur R n telle que : P E = δ, où δ est la mesure de Dirac. a) Trouver une solution élémentaire tempérée E de l opérateur différentiel sur R, ( ) ( ) d d L m 2, m R. d d 2 b) Démontrer que E est la seule solution élémentaire tempérée de L ( d d). 2) Toutes les distributions, dans cette question, sont définies sur R. On note δ (k) la mesure de Dirac au point = k N. a) Pour quelles suites de nombres réels (s k ) est-ce que la série (3) s k δ (k), k= converge dans D (R)? b) Même question avec D remplacé par S. c) Supposons que la série ( ) converge dans D (R) et soit T sa somme.

10 A. Lesfari Prouver que T est une mesure. Calculer la puissance Nème de convolution de T N {}}{ T N = T T, (N =,, 2,...). d) On suppose encore que ( ) converge vers T dans D (R). On suppose en outre que s. Montrer qu il eiste une distribution unique E sur R, dont le support est contenu dans la demi-droite, qui vérifie T E = δ. 3) a) On suppose que la série (3) converge dans S (R) et que s. L unique distribution E sur R, telle que et que SuppE [, [, T E = δ, appartient-elle nécessairement à S (R)? b) On considère l espace vectoriel V des sommes de séries convergeant dans S (R n ), p Z n s p e 2πi p,, où Z n est l ensemble des n-uples p = (p,..., p n ) d entiers positifs, négatifs ou nuls et où p, = p + + p n n. Est-ce que cet espace vectoriel est identique à celui des distributions périodique de périodes (,..., ) sur R n? c) Notons FV l image de V par la transformation de Fourier. Décrire FV et V FV. d) La transformation S T entre une distribution S E (R n ) (càd. à support compact) et une distribution T V est toujours définie. Montrer que cette convolotion appartient à V. Soient deu éléments de V, A = p Z n a p e 2πi p,, B = p Z n b p e 2πi p,. Posons A B = p Z n a p b p e 2πi p,. Montrer que A B a les propriétés d une convolution : (A, B) A B,

11 A. Lesfari est une application bilinéaire de V V dans V ; V muni de la loi de composition A B, devient une algèbre commutative, avec élément unité (préciser quel est cet élément unité). Montrer que pour dériver A B, il suffit de dériver l un des facteurs : P (A B) = A B ( ) B. Plus généralement, prouver que si S E (R n ), on a S (A B) = A (S B) = (S A) B. Caratériser les éléments de V qui ont un inverse (pour la loi de composition ). Eercice 24. Calculer la transformée de Fourier de la distribution vp. En déduire FH où H () est la fonction de Heaviside. Eercice 25. a) Montrer que toute solution de classe C 2 de l équation des cordes vibrantes (4) est de la forme 2 u t 2 = 2 u 2, u = g ( t) + h ( + t), où g et h sont des fonctions quelconques de classe C 2. b) Trouver pour l équation (4) qui correspond au conditions initiales : où u C 2 [a, b] et v C [a, b]. u (, ) = u (), u (, ) t = v (), Eercice 26. Etudier l équation au dérivées partielles suivante : 4 2 u 2 = 2 u y 2. Eercice 27. Résoudre, par la mêthode de la transformée de Fourier, le problème suivant : u t = a 2 u (Equation de la chaleur), 2 u (, ) = f (), où R, t R +, a une constante et f une fonction connue.

12 A. Lesfari 2 Eercice 28. On considère dans R 3, l équation au dérivées partielles (5) u = 4πf, où = y z 2, et f (, y, z) une fonction connue. Posons r = 2 + y 2 + z 2, et supposons que Suppf est borné. Montrer que la fonction r f, est solution de l équation (5). Déterminer la solution générale de l équation δ u = 4πf. Eercice 29. On considère l espace de Sobolev W m,p (Ω) et le cas particulier H m (Ω) = W m,2 (Ω). a) Montrer que W m,p (Ω) est un espace de Banach et que H m (Ω) est un espace de Hilbert. b) Montrer que D (Ω) est dense dans W m,p (Ω), m. c) Montrer que H m (R n ) S (R n ), et que H m (R n ) coincide avec l espace des distributions tempérées u telles que : ( + 2 ) m 2 Fu L 2 (R n ). Déterminer une norme sur H m (R n ) qui soit équivalente à la norme primitive. Eercice 3. Montrer que si f H (R n ) l epression f () f (t, 2,..., n ) dt, a un sens pour presque tout et définit une fonction de L 2 (R n ), indépendante de. On appelle cette fonction trace de f sur = et on la note f. Montrer que f R n f H (R n ).

13 A. Lesfari 3 Eercice 3. Soit a (u, v) la forme bilinéaire symétrique, continue sur H (Ω), elliptique si λ >, a (u, v) = a) Montrer que l équation a (u, v) = Ω n Ω i= ( ) u v + λuv d. i i fvd = (f, v) L 2, v H (Ω), possède une solution unique. (indication: appliquer le théorème de La- Milgram avec V = H (Ω) et H = L 2 (Ω)). b) Montrer que l opérateur A (voir cours) est l opérateur et chercher son domaine. + λ,