M = b d. a b ou M =. b a

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1 Ce texte est extrait du cours optionnel de géométrie de l année universitaire 1999/2000. B.Ingrao Étude du groupe orthogonal dans le cas du plan. Dans ce qui suit, l espace est de dimension 2 ; en conséquence on peut énoncer : Proposition 1. Les automorphismes orthogonaux du plan euclidien sont de deux types : i) Les automorphismes orthogonaux indirects sont les réflexions par rapport à une droite vectorielle. ii) Les automorphismes directs sont les composés de deux réflexions par rapport à deux droites vectorielles. C est une conséquence immédiate du théorème de décomposition des automorphismes orthogonaux en produit de réflexions énoncé précédemment. Définition 1. Les automorphisme orthogonaux directs s appellent les rotations du plan, le groupe spécial orthogonal s appelle le groupe des rotations planes. Si nous nous donnons une base orthonormée B = { e 1, e 2 } du plan vectoriel et un endomorphisme orthogonal u, puisque u transforme la base B en une base orthonormée, sa matrice est nécessairement de la forme : Œ a c M = b d où les réels a, b, c, d vérifient les relations : (1) (2) (3) on déduit de (2) la relation : a 2 + b 2 = 1 ac + bd = 0 c 2 + d 2 = 1 (4) λ R c = λ b et d = λ a des trois relations (3), (4) et (1), on déduit : 1 = λ 2 (a 2 + b 2 ) = λ 2 ce qui implique que la matrice de u dans la base B est nécessairement : Œ Œ a b a b M = ou M =. b a b a Réciproquement, les vecteurs colonnes de ces deux matrices constituent un système orthonormé de deux vecteurs de l espace euclidien canonique R 2 par conséquent, l endomorphisme u de E défini, selon le cas, par : u( e 1 ) = a e 1 + b e 2 et u( e 2 ) = b e 1 + a e 2 ou par : u( e 1 ) = a e 1 + b e 2 et u( e 2 ) = b e 1 a e 2 1

2 avec a 2 + b 2 = 1 transforme une base orthonormée B de E en une base orthonormée et c est un automorphisme orthogonal du plan. Dans le premier cas, l automorphisme u est une rotation et dans le second c est une réflexion. Définition 2. Une matrice carrée d ordre n dont les vecteurs colonnes constituent un système de vecteurs orthonormé de R n s appelle une matrice orthogonale. Lemme 1. Soit une rotation ρ et une réflexion σ du plan ; alors : (5) σ ρ σ = ρ 1. En effet, l automorphisme orthogonal σ ρ est le produit de trois réflexions, c est donc un automorphisme orthogonal indirect, donc une réflexion et on obtient : σ ρ = (σ ρ) 1 = ρ 1 σ en composant alors les deux membres extrêmes par σ, on obtient la formule (5). Théorème 1. Étant donnée une rotation ρ du plan vectoriel euclidien et sa matrice M(ρ) par rapport à une base orthonormée orientée : Œ a b M(ρ) =. b a Dans cette expression, le scalaire a est indépendant de la base orthonormée et le scalaire b ne dépend que de l orientation de cette base. La première partie est élémentaire : le nombre a est la moitié de la trace de l endomorphisme orthogonal ρ or la trace d un endomorphisme est indépendante de la base. De l égalité a 2 + b 2 = 1, nous déduisons alors que le scalaire b est défini au signe près. La matrice de passage d une base (orientée) orthonormée à une base orthonormée de sens contraire est une matrice orthogonale P de déterminant 1 et, d après le lemme précédent : P 1 M(ρ) P = M(ρ) Š 1 = t M(ρ). Considérons donc un changement de bases de même orientation ; on peut le décomposer en deux changements de bases d orientations opposées et la matrice obtenue est donc égale à la première puisque c est sa double transposée. Conséquence 1. Le groupe O(E) + est commutatif. C est immédiat puisque si l on prend deux matrices orthogonales directes M et P, en interprétant leur produit comme un changement de base orthonormées de même orientation, on obtient P M P 1 = M. Conséquence 2. Le plan vectoriel euclidien étant orienté, le groupe O(E) + est canoniquement isomorphe au groupe multiplicatif U des nombres complexes de module 1. Conséquence 3. Il existe deux isomorphismes de groupe entre O(E) + et U. 2

3 Plus précisément, il résulte du théorème 1 qu une orientation du plan étant choisie, les rotations sont en bijection avec les couples (a, b) de nombres réels vérifiant a 2 + b 2 = 1 ; on définit donc une bijection entre U et O(E) + par : Ξ : U O(E) + R(z) I(z) z I(z) R(z) D autre part, en posant z = a + i.b et z = a + i.b, on peut écrire : Œ Œ a b a Ξ(z).Ξ(z b ) = b a b a = Œ Œ aa bb (ab + a b) (ab + a b) aa bb = Ξ(z.z ) ce qui montre que Ξ est un isomorphisme de groupes. Théorème 2. Ayant choisi une orientation du plan euclidien, le groupe O(E) + est isomorphe au groupe quotient du groupe additif (R, +) par le sous-groupe (2πZ, +). Le groupe des nombres complexes de module 1 est l image par le morphisme de groupes qui à tout réel t associe le complexe de module 1 e it. Une conséquence de ce théorème : Proposition 2. Le plan euclidien étant orienté, on peut à chaque rotation ρ associer un nombre réel α(ρ) défini à un multiple entier de 2 π près et vérifiant : (6) (ρ, ρ ) O(E) +Š 2 Il suffit pour cela de choisir α(ρ) = Arg Ξ 1 (ρ) Š. α(ρ ρ ) α(ρ) + α(ρ ) (mod 2π) Définition 3. On appelle mesure de l angle de la rotation ρ l un quelconque des arguments du nombre complexe Ξ 1 (ρ). Cette définition qui fait incidemment référence à «l angle d une rotation» sera justifiée au chapitre sur les angles quand on établira une bijection entre les rotations et les angles orientés de vecteurs unitaires du plan. En particulier, on a la proposition suivante : Proposition 3. Si α est une mesure de l angle de la rotation ρ, le nombre α est une mesure de celui de la rotation ρ 1. Ceci résulte de la formule (6). En application de l isomorphisme entre le groupe O + (E) et le groupe U on peut énoncer : Théorème 3. Pour tout entier n, le groupe O + (E) a un unique sous-groupe d ordre n. Celui-ci est cyclique n et il est constitué des rotations dont l une des mesures de l angle 2k π appartient à o k [n] 1. n En effet, puisque O + (E) est isomorphe à U, il suffit de vérifier ceci pour C et dans ce cas c est un résultat connu dont nous rappelons la démonstration : Si z appartient à un sous-groupe d ordre n de C, il vérifie z n = 1 et c est une racine n e de l unité. Réciproquement, on sait que ces racines sont au nombre de n et qu elles constituent un sous-groupe multiplicatif de C. 1. Rappelons que le symbole [n] désigne l ensemble 0..n 1 des n premiers entiers. 3

4 Angle orienté d un couple de vecteurs unitaires Tout ce qui suit est valable uniquement dans le plan ; le théorème qui suit prépare la définition ultérieure. Théorème 4. Soient deux vecteurs unitaires u 1 et u 2, il existe une unique rotation ρ telle que ρ( u 1 ) = u 2. Montrons d abord l unicité. Soit v 1 un vecteur unitaire orthogonal à u 1 et soit v 2 l unique vecteur unitaire orthogonal à u 2 tel que les bases orientées ( u 1, v 1 ) et ( u 2, v 2 ) soient de même sens. S il existe une rotation ρ qui transforme u 1 en u 2 par conservation de l orientation, elle transforme la base orientée ( u 1, v 1 ) en ( u 2, v 2 ). La rotation ρ, si elle existe est donc unique puisque toute rotation transformant le vecteur u 1 en u 2 coïncide avec ρ sur une base. Réciproquement, l automorphisme ρ défini par ρ( u 1 ) = u 2 et ρ( v 1 ) = v 2 transforme une base orthonormée orientée en une base orthonormée orientée de même sens, c est donc une rotation du plan qui vérifie la condition ρ( u 1 ) = u 2. Il résulte du théorème 4 qu il existe une application Ψ de S S, carré cartésien de l ensemble des vecteurs unitaires du plan euclidien E, dans O + (E) qui, à tout couple de vecteurs unitaires associe l unique rotation qui transforme le premier élément du couple en le second. Proposition 4. La relation définie sur S 2 par : ( u, v) ( u, v ) == ρ O + (E) ρ( u) = v et ρ( u ) = v Š est une équivalence. C est l équivalence de relèvement de l application Ψ. Définition 4. On appelle angle orienté d un couple ( u, v) de vecteurs unitaires du plan sa classe d équivalence modulo la relation. Conséquence 4. Il y a bijection entre les angles orientés de vecteurs unitaires et les rotations du plan. En effet, l ensemble des angles orientés est l ensemble quotient S 2 / et le théorème de factorisation des applications permet de conclure. Théorème 5. Pour que l angle orienté des couples ( u, v) et ( u, v ) soient les mêmes, il faut, et il suffit, que la rotation qui transforme u en u transforme également v en v. Posons : On peut alors écrire : ρ = Ψ( u, v), ρ = Ψ( u, v ), θ = Ψ( u, u ) et θ = Ψ( v, v ). v = θ ( v) = (θ ρ)( u) = (θ ρ θ 1 )( u ) d où l on tire θ ρ θ 1 = ρ soit, ce qui est équivalent : θ ρ = ρ θ 4

5 et comme le groupe O + (E) est commutatif, on a ρ θ = ρ θ finalement, comme dans un groupe tout élément est régulier on obtient : ce qui démontre le théorème. On en déduit : θ = θ == ρ = ρ Théorème 6. Les angles orientés de vecteurs unitaires sont les classes d intransitivité de l opération naturelle du groupe O + (E) sur l ensemble S 2. Mesure d un angle orienté de vecteurs unitaires Dans ce qui suit, on suppose que le plan est orienté. On a vu qu il existe une bijection entre les rotations et les angles orientés de couples de vecteurs unitaires. Ayant choisi une orientation, on sait associer à toute rotation les mesures de l angle de cette rotation. D où la définition : Définition 5. Ayant choisi une orientation du plan, on appelle mesure de l angle orienté du couple de vecteurs unitaires ( u, v) toute mesure de l angle de la rotation Ψ( u, v). Il résulte de ceci que les diverses mesures d un angle orienté diffèrent l une de l autre d un multiple entier de 2 π ; c est le fameux «défini modulo 2 π». Définition 6. i) On appelle détermination principale de la mesure de l angle orienté du couple de vecteurs ( u, v) l unique valeur de la mesure appartenant à l intervalle ] π, π]. Un angle est direct si, et seulement si, la détermination principale de sa mesure est positive ; sinon il est indirect. ii) On appelle détermination positive de la mesure de l angle orienté du couple de vecteurs ( u, v) l unique valeur de la mesure appartenant à l intervalle [0, 2π[. Bien entendu, la notion d angle direct et indirect est relative à une orientation du plan puisqu elle fait intervenir les mesures. Par contre il n est pas nécessaire d orienter le plan pour savoir si deux angles orientés sont ou non de même sens. La détermination positive sert notamment à Proposition 5. Si α est une mesure de l angle orienté du couple de vecteurs ( u, v), le nombre α est une mesure de l angle orienté opposé ( v, u). En effet, l angle opposé de ( u, v) est l angle ( v, u) (qui est éventuellement confondu avec le précédent) et la rotation qui transforme v en u est la rotation réciproque de celle qui transforme u en v ; leurs angles sont donc de mesures opposées. Théorème 7 (Relation de Chasles). Soient trois vecteurs unitaires u 1, u 2, u 3, en désignant par α i,j une mesure de l angle orienté ( u 1, u j ) on a : α 1,3 α 1,2 + α 2,3 (mod 2 π). 5

6 La rotation qui transforme u 1 en u 3 est la composée des rotations Ψ( u 1, u 2 ) par Ψ( u 2, u3). Proposition 6 (règle de permutation des moyens). Soit une famille de quatre vecteurs unitaires ( u i ) i [4], alors : (7) ( u 0, u 1 ) = ( u 2, u 3 ) == ( u 0, u 2 ) = ( u 1, u 3 ) En effet, d après le théorème 5 on a : Ψ( u 0, u 1 ) = Ψ( u 2, u 3 ) == Ψ( u 0, u 2 ) = Ψ( u 1, u 3 ). On a évidemment une règle associée de permutation des extrêmes. Angle géométrique d un couple de vecteurs unitaires d un espace vectoriel euclidien de dimension n 2 On désigne par S n l ensemble des vecteurs unitaires de l espace. Proposition 7. Soient ( u, v) et ( u, v ) deux couples de vecteurs unitaires. La relation binaire définie par : est une relation d équivalence. ( u, v) ( u, v ) == u v = u v C est l équivalence de relèvement de la restriction à S 2 n du produit scalaire. Définition 7. On appelle angle géométrique du couple ( u, v) la classe d équivalence modulo de ce couple. Remarque 1. Il est clair que les couples ( u, v) et ( v, u) ont le même angle géométrique puisque le produit scalaire est symétrique. Théorème 8. Les couples ( u, v) et ( u, v ) ont le même angle géométrique si, et seulement si, il existe un automorphisme orthogonal ϕ de l espace qui vérifie ϕ( u) = u et ϕ( v) = v. La condition est trivialement suffisante puisqu un automorphisme orthogonal conserve le produit scalaire. Réciproquement, supposons d abord que les vecteurs u et v soient colinéaires, dans ce cas, soit leur produit scalaire vaut 1 et ils sont confondus, soit leur produit scalaire vaut 1 et ils sont opposés et puisque les angles géométriques des deux couples de vecteurs sont égaux, on a v = ± u. Il existe une base orthonormée B qui contient le vecteur u et il existe une base orthonormée B qui contient le vecteur u, on peut donc définir un automorphisme ϕ qui transforme B en B tout en transformant u en u puisque les deux bases sont orthonormées, cet automorphisme est un automorphisme orthogonal ; puisque c est une application linéaire et qu il transforme le vecteur u en le vecteur u, on a ϕ( v) = v. Nous pouvons à présent supposer que les vecteurs u et v définissent un plan Π et de même pour le vecteurs u et v ; on complète ces deux systèmes libres par le théorème de la base incomplète et l on peut appliquer le procédé 6

7 d orthogonalisation de Schmidt aux deux bases orientées dont les deux premiers vecteurs sont respectivement ( u, v) et ( u, v ) ; on peut, en plus, choisir les vecteurs e 2 et e 2 de façon à avoir : v e 2 = È 1 ( v u) 2 = È 1 ( v u ) 2 = v e 2 Dans ces conditions, en désignant par ϕ l automorphisme orthogonal qui transforme la première base en la seconde, on a : ϕ( v) = ϕ ( e 1 v) e 1 + ( e 2 v) e 2 Š = ( u v) e 1 + È 1 ( u v) 2 e 2 = ( u v ) e 1 + ( e 2 v ) e 2 = v. On vient donc de montrer : Théorème 9. Les angles géométriques des couples de vecteurs unitaires sont les classes d intransitivité pour l opération canonique de O(E) sur l ensemble S 2 n. Autrement dit, pour avoir ( u 1, v 1 ) = ( u 2, v 2 ) il faut et il suffit qu il existe un automorphisme orthogonal ρ de E vérifiant ρ( u 1 ) = u 2 et ρ( v 1 ) = v 2. Définition 8. On appelle angle plat l angle des vecteurs ( u, u) et angle nul l angle du vecteur u avec lui-même. Il est immédiat que ( u, u) et ( v, v) ont le même angle géométrique. De même pour l angle nul. Mesure des angles géométriques Rappelons que la fonction ϑ de R dans U définie par : t R ϑ(t) = X k N (it) k k! = e it est C sur R, périodique et sa période (générateur positif du groupe des périodes) est appelée 2 π. On appelle également cosinus la fonction partie réelle de la précédente et sinus la fonction partie imaginaire. Ces deux dernières fonctions sont également développables en série entière et leurs développement sont : x2k X cos x = ( 1) k k N (2k)! et X sin x = ( 1) k x 2k+1 k N (2 k + 1)!. On sait également que ces deux fonctions sont localement inversibles et que leurs réciproques définies au voisinage de 0 sont : On peut énoncer : Arc cos : [ 1, 1] [0, π] et Arc sin : [ 1, 1] π 2, π. 2 Théorème 10. Étant donné un nombre a de valeur absolue inférieure ou égale à 1, il existe un unique nombre α dans l intervalle [0, π] tel que cos α = a. 7

8 En effet, étant donné un nombre réel a pris dans [ 1, 1], considérons le nombre complexe j(a) = a + i. 1 a 2, la détermination principale Argj(a) de l argument de j(a) est l unique réel de [0, π] qui vérifie cos Argj(a) = a. Définition 9. On appelle détermination principale de la mesure de l angle géométrique des vecteurs unitaires u et v l unique réel appartenant à l intervalle [0, π] et tel que cos α = u v. Proposition 8. Si u et v sont deux vecteurs unitaires α = Arc cos( u v). C est immédiat modulo les rappels. Théorème 11. Si la dimension de l espace est strictement supérieure à 2, les notions d angle géométrique et d angle orienté coïncident. Il est clair que l angle orienté d un couple ( u, v) de vecteur unitaire est contenu dans son angle géométrique puisque le premier est la classe d intransitivité du couple pour l action du groupe O + (E) qui est un sous-groupe de O(E). Cependant, d une part si les deux vecteurs ne sont pas colinéaire et si la dimension de E est strictement supérieure à 2, une base orthonormée du plan définie par ( u, v) n est qu une partie libre de E que l on peut compléter en une base directe orthonormée, donc si deux couples de vecteurs ont le même angle géométrique, on peut construire un automorphisme orthogonal direct qui transforme chaque terme du premier couple en son correspondant de l autre couple. Ceci entraîne, par exemple, que dans l espace habituel de dimension 3, on ne peut pas comparer l orientation de deux plans vectoriels distincts. Théorème 12. En dimension 2, tout angle géométrique autre que l angle nul et l angle plat est la réunion de deux angles orientés opposés. Si ( u, v) et ( u, v ) appartiennent à l angle géométrique α, alors, désignons par u 0 un vecteur unitaire orthogonal à u et par u 0 le vecteur orthogonal à u et tel que la base orientée ( u, u 0) soit de même sens que ( u, u 0 ). Dans ces conditions, on peut écrire : v = ( u v) u + ( u 0 v) u 0 et v = ( u v ) u + ( u 0 v ) u 0 comme les deux couples ont le même angle géométrique, ( u v) = ( u v ) et ( u 0 v ) = ( u 0 v). Les rotations Ψ( u, v) et Ψ( u, v ) ont pour matrices respectives dans les deux bases : Œ Œ ( u v) ( u0 v) ( u v et ) ( u 0 v ) ( u 0 v) ( u v) ( u 0 v ) ( u v ) on a Ψ( u, v ) = Ψ( u, v) ou Ψ( u, v ) = Ψ( u, v) Š 1. Donc, si les vecteurs u et v ne sont pas colinéaires, les deux couples ont le même angle orienté ou des angles orientés opposés. Et s ils sont colinéaires, ils ont le même angle orienté. Réciproquement, il est immédiat que si deux couples de vecteurs unitaires ont le même angle orienté ou des angles opposés, ils ont le même angle géométrique. 8