IIº ) Similitudes du plan ( généralités) Le plan complexe est muni d un repère orthonormé direct (O;u ; v ) Iº ) TRANSFORMATIONS DU PLAN

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1 Les similitudes planes Le plan complexe est muni d un repère orthonormé direct (O;u ; v ) Iº ) TRANSFORMATIONS DU PLAN s 1 Soit f une fonction du plan dans lui même. On dit que f est une transformation du plan lorsque f est bijective, ce qui signifie que pour tout point N du plan, il existe un unique point M du plan vérifiant N f(m). La fonction du plan dans lui même qui, à tout point N, associe l unique antécédent de N par f est appelée la transformation réciproque de f. Elle est notée f -1. 1º) Avec les définitions 1, on dispose de l équivalence suivante : Pour tous points M et N du plan, N f(m) M 2º) Exemples Une translation de vecteur u est une transformation et sa réciproque est la.. Une rotation de centre O et d'angle α est une transformation et sa réciproque est la. Une homothétie de centre O et de rapport k est une transformation et sa réciproque est l'homothétie de... Cas particulier, la translation de vecteur 0 c est à dire l identité du plan ( noté Id), est une transformation du plan dont la transformation réciproque est. s 1 admis Soit f et g deux transformations du plan. Alors : 1º) f o g et g o f sont des transformations du plan. 2º ) f o f -1 f -1 o ) On rappelle également une propriété qui sera assez souvent utilisée et qui n est pas spécifique aux transformations du plan : étant données trois fonctions f, g et h du plan dans lui même, on a : f o (g o h) (f o g ) o h. 2) En général f o g g o f. IIº ) Similitudes du plan ( généralités) A ) DEFINITIONS - PROPRIETE On appelle similitude du plan, toute transformation f du plan conservant les rapports de distances, c'est-à-dire une transformation du plan pour laquelle : pour tous points M, N, P, Q (M N et P Q) dont les images par f sont M ' N ' notées M', N', P', Q', on a : P ' Q '... Soit f une transformation du plan. f est une similitude si et seulement si il existe un réel k strictement positif tel que f multiplie les distances par k. c'est-à-dire : pour tous points M et N dont les images par f sont notées M' et N', on a : M'N' k MN Q1 Preuve : On dit que k est le rapport de la similitude f. Une similitude de rapport 1, c'est-à-dire une transformation qui conserve les distances, est appelée isométrie. Exemple : Les translations, les rotations, les symétries et leurs composées sont des isométries. L'identité est une isométrie. Une homothétie de rapport k est une similitude de rapport.., ce n'est pas en général une isométrie B ) RECIPROQUE - COMPOSEE 1º) Si f est une similitude de rapport k 1 et g une similitude de rapport k 2, alors les composées g o f et f o g sont des similitudes de rapport k 1 k 2 2º) Si f est une similitude de rapport k, alors sa réciproque f -1 est une similitude de rapport 1 k. Q2º Preuve : En général on a : f og go f

2 Conséquences La composée de deux isométries est une isométrie. C ) Conservation des angles Lemme : Soit σ une similitude de rapport k Pour tout point A, B, C du plan d images respectives A ; B ; C par σ on a A' B '. A' C ' k 2 AB. AC. Q3º Preuve : en calculant B C 2 de deux façons Toute similitude «σ» conserve les angles géométriques. c est à dire quelques soit les points A ;B ;C 2 à 2 distincts et A ; B ; C leurs images si on note θ l angle BAC et θ l angle B ' A' C ' on a θ θ Q4º Preuve : D ) 3 OU 2 POINTS INVARIANTS Soit A, B et C trois points non alignés. Si σ est une similitude telle que : l image de A est A A, c est a dire σ (A) A l image de B est B B σ (B) B l image de C est C C σ (C) C, alors σ est l'application identique. Une similitude qui admet trois points fixes non alignés est l'application identique Q5º Preuve : Soit A et B deux points distincts. Si σ est une similitude telle que σ (A) A et σ (B) B, alors σ est l'application identique ou σ est la symétrie axiale d'axe (AB). Preuve : A σ (A) A et B σ(b) B. On a A B AB, on peut en déduire que le rapport de la similitude σ est 1. Donc σ est une isométrie. Considérons un point M n'appartenant à la droite (AB) et M' σ (M). Si M' M, alors σ admet trois points fixes non alignés, donc σ est l'identité. Si M' M, alors comme σ est une isométrie, on a A M AM donc AM' AM. De même BM' BM. On en déduit que A et B sont sur la médiatrice de [MM'], donc (AB) est la médiatrice de [MM']. Considérons s la symétrie axiale d'axe (AB). On a s o σ (A) s( ).. et s o σ (B) s(..)... De plus s o σ (M) s ( ) et s (M ' ).. puisque (AB) est la médiatrice de [MM']. Ainsi s o σ est une similitude admettant trois points fixes non alignés, donc s o σ. On a alors : s o s o σ. o σ s. s. σ est donc la symétrie axiale d'axe (AB). IIIº) Similitudes directes A) On appelle similitude directe toute similitude conservant les angles orientés. : La composé de deux similitudes directes est une similitude La similitude réciproque d une similitude directe est une similitude directe. Bº) Ecriture complexe Une application «σ» du plan dans lui-même qui a pour écriture complexe z' az + b avec a CI *, b CI est une similitude directe de rapport k a. Q6º Preuve : Soit s une application du plan dans lui-même ayant pour écriture complexe z' az + b avec a CI *, b CI 1º ) Prouver que σ est bien une transformation 2º) Soit 4 points quelconques M ; N ; P ; R d'affixes m, n, p, r Soit leurs images M ; N ; P ; R ont pour affixes m ;n ; p r Prouver que σ multiplie les longueur par a et que s conserve les angles orientés. : Réciproquement, toute similitude directe «σ» a une écriture complexe de la forme z' az + b avec a CI *, b CI. Preuve : Soit O le point d affixe ω0 et P le point d affixe p1 Soit M un point quelconque d affixe z on note les images de O ; P et M sont O ;P et M d affixes ω ;p ; z s est une similitude direct d donc pour z 0 c est a dire M O O ' M ' O ' P ' ( O ' P '; O ' M ') (... ;...) arg (..... ) arg(....). z ' z ( ) remarque pour z 0 cette égalité est encore vraie donc en posant a (p -ω ) et b ω pour tout z C on a : z..

3 C ) ANGLE D UNE SIMILITUDE DIRECTE Soit σ une similitude directe. Il existe un réel θ tel que, pour tous points distincts M et N du plan dimage M et N MN ; M ' N ' θ [2π] ( ) Si σ a pour écriture complexe z' az + b avec a CI *, b CI, alors θ arg(a) [2π]. Q7º Preuve : On dit que θ est l'angle de la similitude directe. Les translations et les homothéties de rapport positif ont pour angle θ 0 [2π]. Les homothéties de rapport négatif ont pour angle θ π [2π]. Une rotation d'angle θ a pour angle θ [2π]. Si σ est une similitude directe de rapport k et d'angle θ, alors σ -1 est une similitude directe de rapport k -1 1 et d'angle -θ. k Si σ et σ sont deux similitudes directes de rapports respectifs k et k' et d'angles respectifs θ et θ', alors la composée σ o σ est une similitude directe de rapport kk' et d'angle θ + θ'. (Il en est de même pour la composée σ o σ ) Q8º Preuve : D ) Centre de certaines similitudes directe Une similitude directe qui n'est pas une translation a un point invariant (point fixe) unique. Q9º Preuve : Ce point est appelé centre de la similitude Remarque : Une similitude directe ayant au moins deux points invariants est nécessairement l'application identique. E) DONNEE D UNE SIMILITUDE PAR DEUX POINTS ET LEURS IMAGES Soit A, B, A', B' quatre points du plan tels que A B et A' B. Il existe une unique similitude directe σ transformant A en A' et B en B'. Q10º Preuve : Remarque : Lorsqu'un triangle A'B'C' est l'image par une similitude directe d'un triangle ABC, on dit que ABC et A'B'C' sont directement semblables. F ) DEPLACEMENTS Une similitude directe de rapport 1 est appelé un déplacement. La réciproque d'un déplacement est un déplacement. La composée de deux déplacements est un déplacement. Un déplacement est une isométrie. 1 Tout déplacement du plan est soit une translation, soit une rotation. 2 La composée d'une translation et d'une rotation d'angle θ 0 [2π] est une rotation d'angle θ. 3 La composée de deux rotations d'angles respectifs θ et θ' est : une translation si θ + θ' 0 [2π], une rotation d'angle θ + θ' si θ + θ' 0 [2π]. Q11º Preuve :

4 G ) FORME REDUITE Soit σ une similitude directe qui n'est pas une translation Ω l'unique point invariant de σ k le rapport de σ et θ l'angle de σ σ est la composée de l'homothétie h (Ω;k) de centre Ω et de rapport k et de la rotation r (Ω; θ) de centre Ω et d'angle θ. Cette décomposition est appelée forme réduite de la similitude directe σ. Ces deux applications commutent, on peut écrire σ h (Ω;k) o r (Ω; θ) r (Ω; θ) o h (Ω;k). Q12º Preuve : Une similitude directe σ qui n'est pas une translation est déterminée par la donnée de son centre Ω, son rapport k et son angle θ. On dit que : σ est la similitude directe de centre Ω, de rapport k et d'angle θ. On note parfois : σ S (Ω ; k ; θ) (k est un réel strictement positif et θ un réel). Cas particuliers : Si k 1, la similitude σ est une rotation. σ S (Ω ; 1 ; θ) r (Ω; θ). Si θ 0 [2π], la similitude σ est une homothétie de rapport k. σ S (Ω ; k ; 0) h (Ω;k). Si θ π [2π], la similitude σ est une homothétie de rapport -k. σ S (Ω;k; π) h (Ω;-k).

5 IVº) Similitudes non directes ou indirecte ou inverse Aº) On appelle similitude indirecte toute similitude qui n est pas directe C est à dire qui ne conserve pas les angles orientés : Toute symétrie axiale est une similitude indirecte Preuve : c est une isométrie donc une similitude et elle ne conserve pas l orientation des angles Bº) s Toute similitude indirecte transforme tout angle orienté en son opposé. Preuve : C est une similitude donc elle conserve les angles géométrique. Mais comme elle ne conserve par leur orientation elle transforme tout angle orienté en son opposé s 1 La composée de deux similitudes indirectes est une similitude directe. 2 La composée de d une similitude indirecte et d une similitude directe est est une similitude indirecte. 3 La réciproque d une similitude indirect est un similitude indirecte Une application «σ» du plan dans lui-même qui a pour écriture complexe z' a z + b avec a CI *, b CI est une similitude indirecte de rapport k a. Q13º Preuve : : Réciproquement, toute similitude indirecte «σ» a une écriture complexe de la forme z' a z + b avec a CI *, b CI. Q14º Preuve : Cº ) DECOMPOSITION D UNE SIMILITUDE INVERSE Soit f une similitude indirecte. 1º ) On peut écrire f sous la forme f g o s, où s est une symétrie axiale et g une similitude directe. 2º) On peut écrire f sous la forme f s' o g', où s' est une symétrie axiale et g ' une similitude directe. Preuve du 1º: Soit f une similitude inverse. Considérons une symétrie axiale s et posons g f o s. Alors f et s étant des similitudes inverses, g f o s est une similitude directe. En composant g avec s, on obtient g o s f o s o s s étant une symétrie axiale, on sait que s o s id, on en déduit alors g o s f o id f. On a donc f g o s, où s est une symétrie axiale et g une similitude directe. Vº) PROPRIETES GEOMETRIQUES DES SIMILITUDES PLANES Soit f une similitude plane. f conserve les rapports de distances. f conserve les angles géométriques. f conserve le barycentre. f conserve l'alignement. f transforme une droite en une droite. f transforme un segment en un segment. f conserve le parallélisme et l'orthogonalité. f conserve le milieu. f transforme un triangle en un triangle semblable. (Si f est une similitude directe, les triangles sont directement semblables. Si f est une similitude inverse, les triangles sont inversement semblables) f transforme un cercle en un cercle, l'image par f du cercle de centre A et de rayon R est le cercle de centre A' et de rayon kr (où k est le rapport de la similitude f). Q 15 Preuve de la conservation du Barycentre : Une similitude indirecte de rapport 1 est un antidéplacement.

6 Cas de similitude des triangles. s: : Soit ABC et A B C deux triangles Les propositions suivantes sont équivalentes : (1) A A ' et B B ' et C C ' (2) A' B ' A' C ' A A' et AB AC A' B ' A' C ' B ' C ' (3) AB AC BC Q16 : Prouvons la propriété ci dessus en prouvant que : (1) (2) puis (2) (3) puis (3) (1) Preuve de (1) (2) rappel nº1 : s BCA in A' C '... et sin B ' sin C ' donc s in C..... sin B et sin C ' sin B '... or (1) B B ' et AB... C C ' donc AC donc... donc (1) (2) Preuve de (2) (3) (2) A' B' A' C ' A A' et AB Notons A ' B ' A ' C k ' AC AB AC A' B '... AB AC rappel nº2 «Formule d Al-Kashi»: BC 2 AB 2 + AC 2 -. et B C 2 A B 2 + A C Donc B C 2 k 2 AB 2 + k 2 AC cos Â. Donc B C 2 k 2 ( AB 2 + AC 2 - cos  ). donc B C 2 k 2.. donc B C k... B ' C ' donc BC Donc (2) (3) Preuve de (3) (1) (3) A' B ' A' C ' B ' C ' AB AC notons k A' B ' A' C ' B ' C ' BC AB AC BC B C 2 A B 2 + A C 2-2. A B.A C cos A ' En divisant par k 2 on a :. + AC 2-2. AB.AC cos A ' Or d après Al Kashi BC 2 AB 2 + AC 2-2. AB.AC cos A Donc cos A '.. donc A ' de même on prouve que B ' B et C C ' Donc ( 3) (1) : Soit ABC et A B C deux triangles Soit la proposition nº4 suivante : (4) Il existe une similitude σ tel que A σ(a) ; B σ(b) et C σ(c) La proposition ( 4) implique la proposition (3) A' B ' A' C ' B ' C ' AB AC BC et donc implique les propositions (1) et (2) La preuve est simple en notant k le rapport de la similitude on a (4) k AB A B et k AC A C et k BC B C... (3) Remarque on peut aussi démontrer la réciproque c'est-à-dire (3) (4) ( voir exercice 81 page 134 ) Et donc que les 4 propositions sont équivalentes Compléments de cours : Démonstration de propriétés géométrique sous forme d exercices: Soit σ une similitude de rapport k Exercice 1 : Le but de cette exercice est de prouver que l image d un segment est un segment. Soit [AB] un segment. Prérequis : aº) Toute similitude multiplie les distance par k bº) R [ST] SR +. ST On note A et B les images de A et B par σ 1º) Soit M un point de [AB] on note M son image par σ Prouver que M [A B ] 2º) Qu avons-nous prouvé au 1º)? 3º) Soit N un point de [A B ] on note N son antécédent par σ prouvez que N [AB] 4º) conclure. Exercice 2 : Le but de cette exercice est de prouver que l image d une droite est une droite. Prérequis : aº) Toute similitude conserve le barycentre On note A et B les images de A et B par σ 1º) Soit M un point de (AB) on note M son image par σ Prouver que M (A B ) 2º) Qu avons-nous prouvé au 1º)? 3º) Soit N un point de (A B ) on note N son antécédent pas σ prouvez que N (AB) 4º) conclure. Exercice 3 : Le but de cette exercice est de prouver que l image d un cercle est un cercle. Prérequis : aº) Toute similitude multiplie les distance par k Soit C un cercle de centre O et de rayon R On note O l image de O par σ A l aide du prérequi prouver que l image de C est un cercle C.

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