Première S chapitre 11 : Applications du produit scalaire

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1 SOMMAIRE XI. 1. VECTEUR NORMAL A UNE DROITE... THEOREME : VECTEUR DIRECTEUR... DEFINITION : VECTEUR NORMAL... THEOREME : DROITE ET VECTEUR NORMAL... EXERCICES :... 3 XI.. CARACTERISATION D UN CERCLE... 4 THEOREME :... 4 EQUATION D UN CERCLE (EN REPERE ORTHONORMAL)... 4 Le cercle C a pour centre I(x 0 ; y 0 ) et pour rayon R... 4 Exemple... 4 Le cercle C a pour diamètre [AB]... 5 EXERCICES :... 5 XI. 3. RELATIONS METRIQUES DANS UN TRIANGLE... 6 LA RELATION D AL KASHI... 6 LE THEOREME DE LA MEDIANE... 6 AUTRES RELATIONS... 7 EXERCICES :... 7 toutchap11 1/7

2 XI. 1. Vecteur normal à une droite Théorème : vecteur directeur. Dans un repère quelconque, toute droite a une équation de la forme ax + by + c 0 et alors le vecteur u (-b ; a) est un vecteur directeur. Réciproquement, l'ensemble des points M(x ; y) tels que ax + by + c 0, avec (a ; b) (0 ; 0), est une droite dirigée par le vecteur u (-b ; a). Définition : vecteur normal Dire qu'un vecteur n est normal à une droite d signifie que n 0 et que la direction de nest orthogonale à celle de d. Ainsi un vecteur normal à d est orthogonal à tout vecteur directeur AM de d. Il en résulte que, si A est un point fixe de d, alors d est l'ensemble des points M tels que AM. n 0 ou AM. CD 0. Théorème : droite et vecteur normal Dans un repère orthonormal toute droite qui a une équation de la forme ax + by + c 0 avec (a ; b) (0 ; 0), a pour vecteur normal n(a ;b) Réciproquement, dans un repère orthonormal, si un vecteur n, non nul, a pour coordonnées (a ;b) et est normal à d, alors d a une équation de la forme ax + by + c 0 toutchap11 /7

3 EXERCICES : Dans un repère orthonormal la droite d a pour équation x y Trouver une équation de la perpendiculaire à d passant par B( ;1). Soit A(0 ;3). Trouver une équation de la médiatrice de [AB] toutchap11 3/7

4 XI.. Caractérisation d un cercle Théorème : Le cercle de diamètre [AB] est l'ensemble des points M tels que MA. MB 0 Equation d un cercle (en repère orthonormal) Le cercle C a pour centre I(x 0 ; y 0 ) et pour rayon R Le cercle C est l'ensemble des points M(x ; y) tels que IM R, c'est-à -dire, puisque IM>0, IM ² R² Or IM pour coordonnées (x - x 0 ; y- y 0 ), donc IM² (x x 0 )² + (y- y 0 )² Le cercle C est donc l'ensemble des points M(x ; y) tels que : (x x 0 )² + (y- y 0 )² R² On dit que (x x 0 )² + (y- y 0 )² R² est une équation du cercle C et dont le centres a pour coordonnées ((x 0 ; y 0 ) et dont le rayon est R. Exemple : (x + 3)² + (y - 1)² 5 est une équation du cercle C de centre I(- 3 ; 1) et de rayon R 5 toutchap11 4/7

5 Le cercle C a pour diamètre [AB] C est l'ensemble des points M(x ; y) tels que MA. MB 0 Si (a;a ) et (b ; b ) sont les coordonnées respectives de A et B. Le vecteur MA a pour coordonnées (a - x ; a - y) et MB a pour coordonnées (b - x ; b - y), donc : 0 MA. MB 0 (a x) (b x) + (a y)( b y) 0 x² + y² - (a + b)x (a + b )y + ab + a b 0 Une équation de C est donc x² + y² - (a + b)x (a + b )y + ab + a b 0 C'est-à-dire de la forme x² + y² + ax + by + c 0 EXERCICES : (O,i,j) est un repère orthonormal 1. Donner une équation du cercle C de centre I(1 ;) et passant par J(3 ;-). Donner une équation du cercle C passant par O, A(4 ;0) et B(0 ;) 3. L équation x² + y² -x + y est-elle celle d un cercle? 4. L équation x² + y² -4x 6y est-elle celle d un cercle? toutchap11 5/7

6 XI. 3. Relations métriques dans un triangle ABC est un triangle, selon l'usage, on note AB c BC a CA b S l'aire du triangle d A a BAC d B a CBA d C a ACB. La relation d Al Kashi a² b² + c² - bc cos  Démonstration BC AC - AB donc BC² ( AC - AB )² AC² + AB² - AC. AB Soit avec les notations de départ, a² b² + c² - AC AB cos(â) a² b² + c² - bccos(â) Le théorème de la médiane ABC est un triangle, I est le milieu de [BC]. alors : AB² + AC² AI² + BC². Démonstration AB AI + IB et AC AI + IC AI - IB Donc AB² ( AI + IB )² AI² + IB² + AI. IB et AC² ( AI - IB )² AI² + IB² - AI. IB et Par addition, il en résulte que AB² + AC² AI² + IB² AI² + BC² toutchap11 6/7

7 Autres relations S 1 bc sin  Et a sin d A b sin d B c sin d C Démonstration AB CH S Or si  aigu, CH CA sin  et si  obtus, CH CA sin (π Â) CA sin  AB CH AB CA sin  D où S 1 bc sin  Conséquence : S bc sin d A et aussi ca sin d B et ab sin d C S bc sin d A ca sin d B ab sin d C en multipliant par 1, il vient abc S abc sin d A sin d B a b a inverses, on a: sin d A EXERCICES : sin d C c b sin d B or aucun sinus n est ici nul (triangle) donc en prenant les c sin d C 1. ABC est un triangle tel que BC 3, AC 8 et AB 0. Soit O le milieu de [BC] et H le projeté orthogonal de A sur [BC] Calculer d A, d B, d C à un degré près Calculer AO Calculer AH. ABC est un triangle tel que BC 4, d B 75 et d C 45 calculer AB calculer AC toutchap11 7/7

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