0 0 ac bd ad bc. = situés sur la diagonale principale) = 264

Transcription

1 Test n 6 (0 octobre 01 Question 1 (a Donnez la table de vérité de P Q P Q P Q P P Q P Q P Q P Q (b Donnez la contraposée de la phrase «si je rate ce test, alors je raterai le test final» Si je ne rate pas le test final alors je n ai pas raté ce test Question Calculez, si possible, ( ( ( sinθ cosθ 1 sinθ cosθ sinθ cosθ (a cosθ sinθ sin θ + cos θ cosθ sinθ cosθ sinθ par la formule de la question 8 (b car sin θ + cos θ 1 b 0 0 b a 0 0 (b 0 a b 0 0 c d b ab ac bd ad bc 0 b a 0 0 d c 0 0 bc + ad ac bd (c (en développant par rapport à la pre mière colonne (car le déterminant d une matrice triangulaire vaut le produit des éléments situés sur la diagonale principale 6 (d ( 1 8 ( Il est impossible de faire ce produit car la première matrice possède 6 colonnes alors que la seconde n a que lignes 1/5

2 Test n 6 (0 octobre 01 (e ( 6 ( 1 8 ( Question Soient les ensembles A { z C z est une solution de l équation Z i } B { z C z est une solution de l équation Z 1 + i } Montrez, sans résoudre les équations, que A B Voir la correction de la question de l examen du 0 octobre 006 Question Calculez t ( ln(tx + 1 x +tx +t ( ln(tx + 1 On a t ( t ln(tx + 1 x +tx +t ln(tx + 1 t x +tx +t x +tx +t ( x +tx +t t (tx+1 tx+1 x +tx +t ln(tx + 1 t(x +tx+t x +tx+t x +tx +t x(x +tx +t (tx + 1(x + tln(tx + 1 (tx + 1(x +tx +t / Question 5 (a Soit A R n n Définissez «A est une matrice symétrique» (b Soit M R n n Montrez que la matrice M + M t est une matrice symétrique (pour rappel M t désigne la transposée de M (c Soit N R n n la matrice définie par N i j ( i+ j (i j La matrice N est-elle symétrique? Justifiez votre réponse (a A est une matrice symétrique ssi A t A, c est-à-dire ssi i, j {1,,n}, A t i j A i j /5

3 Test n 6 (0 octobre 01 (b Il faut montrer que i, j {1,,n}, on a (M + M t t i j (M + Mt i j Soient i, j {1,,n} On a : (M + M t t i j (M + M t ji par définition de la transposée M ji + M t ji par définition de l addition de deux matrices M t ji + M ji car l addition dans R est commutative M i j + M t i j par définition de la transposée (M + M t i j par définition de l addition dans R n n Autre méthode : On a vu au cours que A,B R n n, (A + B t A t + B t Donc (M + M t t M t + (M t t M t + M grâce à cette propriété M + M t car l addition dans R n n est commutative (c La matrice N est symétrique En effet, soient i, j {1,,n} Donc N t N On a N t i j N ji par définition de la transposée ( j+i ( j i par définition de la matrice N ( i+ j ( (i j ( i+ j (i j N i j Question 6 complexe Résoudre, dans C, l équation X + i Représentez les solutions dans le plan Le module de + i est ( + 8 De plus, + i se trouve sur la bissectrice du quadrant «x négatif et y positif» (c est-à-dire abscisse négative et ordonnée positive Par conséquent + i Il s ensuit qu une solution particulière de X + i est En effet ( ( ( cis cis Par conséquent, les solutions de X +i sont u où u est solution de X 1, c est-à-dire que les solutions sont 1, cis et cis ; ou encore, 11 1 et i /5

4 Test n 6 (0 octobre 01 Question 7 Soit la fonction f a : R R : x e ax x + a où a R est un paramètre Déterminez toutes les valeurs de a 0 telles que la tangente au graphe de f a en x 0 soit perpendiculaire à la droite d équation x + y 1 La pente de la tangente au graphe de f a en x 0 est donnée par x f a (0 On calcule : x f a (x x (e ax x + a + e ax x ( x + a e ax x (ax x + a + e ax x(x + a x + a ae ax x + a + eax x x + a Dès lors x f a (0 a a Comme on demande que cette droite soit perpendiculaire à la droite d équation x + y 1, le produit de leurs pentes doit valoir Vu que la pente de x + y 1 vaut, la question se réduit à trouver les a R tels que x f a (0 1, c est-à-dire a a 1 Distinguons deux cas Si a 0, l équation se réduit à a 1 Les solutions sont a 1 et a mais on doit exclure la dernière vu qu on travaille avec a 0 Si a < 0, l équation se réduit à a 1 Cette équation n a pas de solution dans R Au final, le seul a qui satisfait la condition est a 1 Question 8 (a Soit M,N R n n Définissez «N est l inverse de M» ( a b (b Soit la matrice A où a,b,c,d R Sous quelle condition la matrice A est-elle inversible? Donnez alors l inverse de A Vérifiez votre réponse en utilisant le point précédent c d ( (c Soit la matrice S où λ R Pour quelle(s valeur(s de λ la matrice S est-elle λ égale à son inverse? Expliquez votre démarche et détaillez vos calculs (a N est l inverse de M ssi N M 1 M N (b A est inversible si et seulement si det(a 0, c est-à-dire si et seulement si ad bc 0 On a alors ( A 1 d b ad bc c a ( ( ( ( En effet, A A ad bc 1 d b a b c a c d ad bc 1 ad bc On 0 ad bc 0 1 démontre de manière analogue que A A 1 /5

5 Test n 6 (0 octobre 01 (c On a dets 9 + λ Donc S est inversible ssi λ 9 Par (b, S λ ( ( On veut que S S, c est-à-dire ( ( λ Par définition de l égalité entre deux matrices, cela revient à résoudre le système suivant : 9 + λ (1 ( 9 + λ 9 + λ λ ( ( 9 + λ De (1, nous avons 7+6λ, c est-à-dire 6λ, ou encore λ En remplaçant λ par dans (, on a bien que /(, dans (, on a bien et dans (, on a bien /( Les quatre équations sont donc vérifiées En conclusion S S ssi λ 5/5