Plan. Les Systèmes de Numération. Fonctions et Circuits Logiques. Simplification des Fonctions Logiques. Les Différents Codes. Logique Combinatoire

Transcription

1 Plan Les Systèmes de Numération Fonctions et Circuits Logiques Simplification des Fonctions Logiques Les Différents Codes -1-

2 Fonctions et Circuits Logiques Définition Algèbre de commutation ou algèbre de Boole Fonction logique Circuits combinatoires SSI & MSI -2-

3 Définitions Élément logique 2 éléments logiques notés «0» et «1» Le symbole «1» désigne une action comme une lampe s allume allume, la porte s ouvre Le symbole «0» indique généralement l absence d action Variable logique ou booléenne Une variable logique ou booléenne est une grandeur qui ne peut prendre que 2 états «0» ou «1» Domaine de définition B 2 = {0,1} Si est une variable booléenne, on a 0 si et seulement si = 1 1 si et seulement si = 0-3-

4 Définitions Opérateurs logiques élémentaires Inversion (Not) ou Complémentation B 2 B 2 Notation : Opération OU (OR) ou Union Y +Y B 2 x B 2 B 2 Notation : Y ou + Y Opération ET (AND) ou Intersection Y.Y B 2 x B 2 B 2 Notation : Y ou.y ou Y

5 Définitions Diagramme de Venn Les valeurs d une variable booléenne peuvent être représentées par 2 régions d un dun plan délimitées par une courbe fermée. =0 =1 Cas de 2 variables booléennes et Y 2 domaines Y.Y =0 Y=0 +Y =0 Y=0 =1 Y=1 =1 Y=1 3 variables booléennes 3d domaines -5-

6 Fonctions et Circuits Logiques Définition Algèbre de commutation ou algèbre de Boole Fonction logique Circuits combinatoires SSI & MSI -6-

7 Lois fondamentales a es de l algèbre de Boole L algèbre de commutation ou algèbre de Boole est le système algébrique constitué de l ensemble B 2 et des opérations ET, OU, PAS. Axiomes de l algèbre de boole Fermeture Commutativité Associativité Distributivité A.B Variable logique définie par la table ET A+B Variable logique définie par la table OU A.B = B.A A+B = B+A Complémentarité A+A = 1 A.A = 0 Idempotence Identités remarquables A(BC)= A.(B.C) (A.B).C A+(B+C) = (A+B)+C A.(B+C) = A.B + A.C A+(B.C) = (A+B).(A+C) A+A = A AA=A A.A A 1.A = A 1+A = 1 0. A = 0 0+A = A Différent algèbre classique -7-

8 Théorème de De Morgan Théorèmes Théorème 1 La négation d un produit de variables est égale à la somme des négations des variables A. B. C = A+ B+ C Théorème 2 La négation d une somme de variables est égale au produit des négations des variables A + B+ C = A. B. C -8-

9 Théorème de De Morgan Exemples Exemple 1 F = A. B. A + C. B + C. A F = B.A C. B C. A F = B. A. C. B. C. A F = C. B. A Exemple 2 F = C. B + C. A + B. A F = C.B C. A B. A ( C + B) ( C + A) B A ( C. C + C. A + B. C + B. A) B A F =. F =. 0 F = C. B. A. A + CB. B. A + B. B. A. A F = 0-9-

10 Fonctions et Circuits Logiques Définition Algèbre de commutation ou algèbre de Boole Fonction logique Circuits combinatoires SSI & MSI -10-

11 Définitions Une fonction logique de n variables x 1,, x n est une application qui a toute t combinaison i de n variables B n 2 un élément B Une fonction logique ne peut prendre que 2 états 0 ou 1 2 Le nombre de fonctions que l on peut créer avec n variables est 2 2n puisqu à chacune des 2 n combinaisons de variables, on peut faire correspondre les valeurs 0 ou 1-11-

12 Fonction o complètement pè e définie Une fonction logique est complètement définie quand on connaît sa valeur 0 ou 1 pour toutes les combinaisons possibles des variables. Ces combinaisons sont au nombre de 2 n pour n variables Exemple Soit une fonction de 3 variables f(x,y,z) 2 3 = 8 combinaisons Y Z f Répertorier les combinaisons dans l ordre croissant de 0 à 2 n

13 Fonction complètement définie Exemple Trois interrupteurs A, B, C commandent l allumage de 2 lampes R et S suivant les conditions suivantes: Dès qu un ou plusieurs interrupteurs sont activés, la lampe R doit s allumer La lampe S ne doit s allumer que si au moins 2 interrupteurs sont activés. C B A R S

14 Fonction o incomplètement pè e définie Une fonction logique est incomplètement définie quand sa valeur est indifférente ou non spécifiée pour certaines combinaisons de variables On note sa valeur par ou Exemple Soit une fonction de 3 variables g(x,y,z) Y Z g = 8 combinaisons dont 4 combinaisons indéfinies

15 Formes Canoniques des Fct. Logiques Première Forme Canonique (1) Appelé aussi Produels de Produits Forme canonique disjonctive S exprime Sexprime sous la forme d une somme de produits Écriture à partir de la table de vérité Repérer dans la table de vérité les combinaisons x, y, z pour lesquelles la fonctions vaut 1 Pour ces combinaisons, faire le produit des variables en affectant le symbole aux variables dont l état est 0. On obtient les monômes de la fonction Faire la somme de tous les monômes -15-

16 Formes Canoniques des Fct. Logiques Première Forme Canonique (2) Exemple soit la fonction f à 3 variables d entrées tel que f = 1 si la majorité des variables sont à 1 f = 0 sinon Réalisation de la table de vérité 1) Recherche les cas où la fonction vaut 1 Y Z f Y Z f ) Écriture des monômes x. y. z x. y. z x. y. z x. y. z 3) Équations finales f ( x, y, z ) = x. y. z + x. y. z + x. y. z + x. y. z -16-

17 Formes Canoniques des Fct. Logiques Première Forme Canonique (3) Remarque Comment obtenir le complément de f? Y Z f x. y. z x. y. z x. y. z x. y. z f ( x, y, z) = x. y. z + x. y. z + x. y. z + x. y. z -17-

18 Formes Canoniques des Fct. Logiques Première Forme Canonique (4) Écriture de la table de vérité à partir de f canonique dresserlatabledevéritéànvariables de variables les combinaisons correspondantes à un monômes de f seront affectées à l état 1, les autres à l état 0 Exemple f ( x, y, z) = x. y. z + x. y. z + x. y. z Y Z f

19 Formes Canoniques des Fct. Logiques Deuxième Forme Canonique (1) Appelé aussi Produits de Produels Forme canonique conjonctive S exprime sous la forme d un produit de sommes Écriture à partir de la table de vérité Repérer les combinaisons pour lesquelles l état de f est 0 Pour ces combinaisons, faire la sommes des variables en affectant le symbole aux variables dont l état est 1 Faire le produit des sommes -19-

20 Formes Canoniques des Fct. Logiques Deuxième Forme Canonique (2) Exemple 1) Recherche les cas où la fonction vaut 0 Y Z f ) Écriture des monômes x + y + x + y + x + y + x + y + z z z z 3) Équations finales f ( x, y, z) = ( x + y + z).( x + y + z).( x + y + z).( x + y + z) -20-

21 Formes Canoniques des Fct. Logiques Deuxième Forme Canonique (3) Écriture de la table de vérité à partir de f Dresser la table Pour chaque terme somme de f, prendre la combinaison faisant apparaître un 0 pour une variable directe un 1 pour une variable inverse notée Affecter 0 à f pour ces combinaisons, 1 à f pour les autres Exemple Y Z f f ( x, y, z) = ( x + y + z).( x + y + z).( x + y + z)

22 Fonctions o du d une seue seule variable abe Booléenne ooée e On peut former 2 21 fonctions, soit 4 fonctions Ces fonctions sont appelées monoïdes x f 0 f 1 f 2 f f = 0 0 f3 =11 fonctions constantes f = 1 f = 2 x x c est la variable elle-même c est cest le complément de la variable noté NON ou NOT -22-

23 Fonctions o de deux variables ab Booléennes es On peut former 2 22 fonctions, soit 16 fonctions x y f 0 f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f 7 f 8 f 9 f 10 f 11 f 12 f 13 f 14 f Fonction à une seule variable f = 0 0 f 3 = x f 5 = y f = 15 1 f 12 = x f 10 = y Opérateurs fondamentaux Autres fonctions f f 6 9 = x. y + x. y = x. y + x. y f 8 = x. y = x + y f 7 = x + y OU x + = x. f = f y y 1 x. y ET 14 = x y = xθy Fonction OU exclusif ou comparateur d inégalité Fonction Identique ou comparateur d identité Fonction NON OU ou NOR = Fonction NON ET ou NAND -23-

24 Fonctions et Circuits Logiques Définition Algèbre de commutation ou algèbre de Boole Fonction logique Circuits combinatoires SSI & MSI -24-

25 Circuits SSI (Small Scale Integration) Portes Logiques Élémentaires (1) Porte NON, PAS ou Inverseur (NOT) Électricité +5v 0v =0 Lampe = Cas 1 = 0 Cas 2 +5v 0v =1 Lampe = = 1 Symboles Électroniques 1-25-

26 Circuits SSI (Small Scale Integration) Portes Logiques Élémentaires (2) Porte ET (AND) Électricité Symboles Électroniques +5v Y 0v Lampe =.Y Y.Y Y &.Y Porte OU (OR) Électricité Symboles Électroniques +5v 0v Y Lampe = +Y Y +Y Y 1 +Y -26-

27 Circuits SSI (Small Scale Integration) Portes Logiques de Base (1) Porte OU Exclusif (EOR, OR) Porte OU Exclusif Complémenté (ENOR) Y Y Y =1 Y Y Y Y =1 Y Symbole inverseur (NOT) Porte NON OU (NOR) Porte NON ET (NAND) +Y +Y Y Y 1 Y.Y Y &.Y -27-

28 Circuits SSI (Small Scale Integration) Portes Logiques de Base (2) Circuits 3 états (TRISTATE) signal c actif niveau bas c /c e s c = 0 alors s=haute impédance (z) c = 1 alors s=e e s /c = 1 alors s=haute impédance (z) /c = 0 alors s=e Symbole 3 états e c=0 s=z (haute impédance) e /c=0 s=e e c=1 s=e e /c=1 s= z (haute impédance) -28-

29 Circuits SSI (Small Scale Integration) Exemples NAND (7400) NOT (7404) OU (7432) Buffer Tristate (74126) -29-

30 Circuits MSI (Medium Scale Integration) Multiplexeur & Encodeur Multiplexeur Adresses A,B,C, Entrées E 0,E 1,E 2, 2 n fils n fils 1 fil Sortie S Exemple Multiplexeur entrées = 2 2 n=2 donc 2 fils d adresse A et B 1 sortie (toujours vrai) Encodeur m=2 n fils n fils Exemples Entrées E 0,E 1,,E m Sortie S Encodeur entrées 3 sorties E m-1 E 1 E 0 S n S 1 S m-1 Encodeur entrées 4 sorties combinaisons inutilisées en sortie -30-

31 Circuits MSI (Medium Scale Integration) Demultiplexeur & Décodeur Demultiplexeur n fils Adresses A,B,C, 2 n fils Exemple Demultiplexeur 1 8 Entrée E 1 fil Sorties S 0,S 1,S 2, 1 entrée (toujours vrai) 8 sorties ou 2 3 sorties n=3 donc 3 fils d adresse A,B et C Décodeur m=2 n fils Exemples n fils Entrées E 0,E 1,,E n Sorties S 0,S 1,,S m Décodeur entrées 8 sorties E n E 1 E 0 S m-1 S 1 S m Décodeur entrées 10 sorties combinaisons inutilisées en entrée -31-

32 Circuits MSI (Medium Scale Integration) Exemples Multiplexeur 4 vers 1 (74153) Additionneur 4 bits (7483) -32-