FONCTION LOGARITHME. 2 exemple 2. Soit f la fonction définie sur [0 ; 1 ] par : f(x) = 2 x + 1 signe de f 5

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1 FONCTION LOGARITHME I FONCTION RECIPROQUE La fonction carrée La fonction carrée est dérivable et strictement monotone sur [ 0 ; 2 ] D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaire pour tout y de [0, 4] l'équation 2 = y, où l'inconnue est, a une solution unique dans [0, 2]. cette solution est y On peut donc associer à tout nombre y de [0, 4] le nombre réel unique = y de [0, 2] tel que 2 = y [0, 2] [0, 4] [0, 4] [0, 2] On a donc : carrée y = 2 racine y = 2 = y Si [0, 2] et si y [0, 4] on a y = = y 2 On dit que la fonction racine carrée définie sur [0,4] est la fonction réciproque de la fonction carrée définie sur 2 [0,2]. Remarques : Pour tout de [ 0, 4 ], ( ) = et pour tout de [ 0 ; 2 ], 2 = Représentation graphique Le plan est muni du repère orthonormal (O; i, j ). [0, 2] et y [0, 4] Puisque y = si, et seulement si, = y 2, au point M(, y) de la courbe représentative de la fonction racine carrée peut être associé le point M (y, ) de la courbe représentative de la fonction carrée. M et M sont symétriques par rapport à la droite d'équation y =. Les courbes représentatives des fonctions racine carrée et carrée se déduisent l'une de l'autre par symétrie orthogonale d'ae la droite d'équation y =. Au point d'abscisse 0, la courbe représentative de la fonction carré admet l'ae des abscisses pour tangente. Par symétrie, la courbe représentative de la fonction racine carrée admet, au point d'abscisse 0, l'ae des ordonnées pour tangente. 2 eemple 2 0 Soit f la fonction définie sur [0 ; ] par : f() = 2 signe de f 2 f() 3 5 f dérivable sur [0, ] et f '() = (2 ) 2 > 0 2 La fonction f est continue et strictement croissante sur [0, ] c'est donc une bijection de [0, ] sur 2, 3 La fonction réciproque de f peut, dans ce cas particulier, être calculée. y = f() y = 2 2 y y (2 ) = 2 2 y = 2 y y = 2 y 2 = f (y) 3 Cas général a) Définition Soit f une fonction dérivable et strictement croissante sur un intervalle [a, b]. D'après le théorème pour tout y de [f(a), f(b)] l'équation f(t) = y, dont l'inconnue est t, a une solution unique dans [a, b]. On peut définir une nouvelle fonction, appelée fonction réciproque de f et notée f, définie sur [f (a), f(b)] et prenant ses valeurs dans [a, b]. Si f est strictement croissante sur [a, b]. La fonction réciproque f de f est définie sur [ f(a), f(b) ] par : y = f () [ f (a), f (b) ] si, et seulement si, = f (y) y [ a, b ] Si f est strictement décroissante sur [a, b]. La fonction réciproque f de f est définie sur [ f(b), f(a) ] par : y = f () [ f (b), f (a) ] si, et seulement si, = f (y) y [ a, b ] b) Représentation graphique Dans le plan muni d'un repère orthonormal (O; i, j ) les courbes représentatives des fonctions f et f se déduisent l'une de l'autre par symétrie orthogonale d'ae la droite d'équation y =

2 II FONCTION LN DEFINITION La fonction e est continue, strictement croissante, lim e = 0 et lim e = D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires on peut dire que la fonction eponentielle est une bijection de IR sur IR * On sait qu'alors : pour tout b ] 0 ; [, il eiste un unique réel a tel que b = ep(a) ; on note a = ln(b), ce qui se lit logarithme népérien de b. Ainsi, à tout réel strictement positif, on peut associer un réel noté ln (). Définition La fonction, définie sur [ 0 ; [, qui à associe ln() est appelée fonction logarithme népérien ln : ] 0, [ IR ln (). Les fonctions ln et ep sont des fonctions réciproques l'une de l'autre. a) Remarque Il résulte de la définition que si b > 0 : a = ln b b = e a b) Quelques eemples ln() = 0, ln e =, ln e = 2. 2 Pour tout réel b strictement positif, e ln(b) = b. Pour tout réel a, ln (e a ) = a. III PROPRIETES ALGEBRIQUES DE LA FONCTION LN Pour tous réels a et b strictement positifs () ln a b = ln a ln b. (2) ln a = ln a (3) ln a = ln a ln b. b (4) pour tout n Z, ln (a n ) = n ln a. (5) ln a = 2 ln a Soit a et b deu réels quelconques strictement positifs. On sait que e a = e b a =b () Ainsi, démontrer que ln a b = ln a ln b est équivalent à démontrer que ep(ln (a b))= ep(ln a ln b). ep(ln a ln b).= ep(ln a) ep (ln b) = a b = ep(ln(a b)) Donc : ln a ln b = ln(a b) (2) ln = ln a a =ln a ln a. Ainsi :ln a ln a = 0 ; donc ln a = ln a (3) ln a b = In a b ln a ln =ln a ln b. (4) Pour n 0, la démonstration se fait par récurrence. b (5) D'une part, ln (( ) ) D'où : ln a = 2 ln a a 2 = ln a, et, d'autre part, ln (( ) ) a 2 = 2 ln a. Remarque On peut généraliser la propriété () à plusieurs nombres. Par eemple pour tous les réels a, b et c strictement positifs, ln (a b c) = ln a ln b ln c. 2 Résolution d'équation et d'inéquation Pour tous a et b réels strictement positifs () ln a = ln b a = b. (2) ln a < lnb ~a < b. ln a = ln b ep(ln a)) = ep(ln a) a = b Ce théorème permet de résoudre certaines équations ou inéquations comportant des logarithmes ou dans lesquelles l'inconnue figure en eposant. Eemples Résoudre dans IR l'équation: ln (2 ) = ln( 2). 2 ln (3 ) < 2

3 III ETUDE DE LA FONCTION LN Dérivabilité et sens de variation La fonction ln est strictement croissante sur ] 0 ; [. La fonction ln est dérivable sur ] 0 ; [. Pour tout ] 0 ; [, ln'() = Si a et b sont deu nombres strictement positifs on a : a < b ln a < ln b. la fonction ln est donc strictement croissante La dérivabilité sur ] 0 ; [ de la fonction ln fonction réciproque d'une fonction dérivable sur IR est admise. Soit g la fonction définie pour tout réel strictement positif par : g() = ep (ln ) g est dérivable sur IR * c'est la composée de la fonction ln, dérivable sur IR *, suivie de la fonction ep, dérivable sur IR. Pour tout réel strictement positif on a : g '() = ep ' (ln ) ln '() = ep(ln ) ln '() = ln '() D'autre part pour tout réel, g() = donc pour tout réel, g'() =. On a pour tout réel strictement positif, ln '() = donc ln'() = 2 Limites usuelles de la fonction ln lim ln = lim 0 ln = ln( ) ln lim = 0 lim ln = 0 0 ln lim = lim 0 = En ln = On se ramène à la définie de la limite d'une fonction en. Il suffit alors de démontrer que pour tout réel M positif et pour tout réel suffisamment grand, ln > M Soit M un réel donné, on sait que : ln > M > ep(m). On a, pour tout réel M, > ep(m) ln > M On peut donc dire que : lim ln = ln = 0. On essaie de comparer ln avec en utilisant, par eemple, la comparaison de la fonction ep avec On a vu que, pour tout réel y, y < e y. Donc, pour tout réel > 0, ln < e ln. C'est-à-dire que, pour tout réel > 0, > ln On a donc, pour tout réel, >, 0 < ln 0 < ln 0 <ln 2 0 < ln 2 D'après le théorème des gendarmes : lim Au voisinage de 0 = 0 donc lim 2 ln = 0 On utilise le changement de variable X = pour se ramener au voisinage de 0 ln = On pose X = on a : lim ln = lim 0 X ln = 0 0 lim ln = lim 0 X X ln X = lim ln X X X = 0 ln X = lim ln X = X

4 Au voisinage de On utilise la dérivabilité de la fonction ln en. ln = = lim ln( ) 0 La fonction ln est dérivable en et ln '() = =. ln ln On a donc lim d'où : lim ln = et lim h 0 ln ( h) ln = = lim h 0 h ln ( h) h = c'est à dire lim 0 ln( ) 0 3 Tableau de variation et représentation graphique 0 signe de f ' f Remarques La "croissance" de la fonction ep est "rapide" donc la "croissance" de la fonction ln est "lente". Par eemple: ln(0 8 ) 8,42. Soit C la courbe représentative de la fonction ln dans un repère (O ; i, j ) La tangente au point d'abscisse est la droite d'équation y =. La tangente au point d'abscisse e est la droite d'équation : " y = " : elle passe par O. e La courbe représentative de la fonction ln est en dessous de ces deu tangentes Dans un repère orthonormé, les courbes représentatives des fonctions ep et ln sont symétriques par rapport à la droite d'équation " y = ". IV DERIVEES Si u est une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalle I ouvert alors la fonction f définie sur I par f() = ln (u()) est dérivable sur I et pour tout de I, f '() = u '() u () Si l'on a pour tout de I, u() > 0, alors, en utilisant la formule donnant la dérivée d'une fonction composée, on obtient : pour tout de I, f '() = ln '(u()) u'() = u '() u() 2 Remarque Soit u une fonction telle que pour tout de I, u() < 0 et f la fonction définie sur I par : f() = ln( u()). En utilisant la formule donnant la dérivée d'une fonction composée, on obtient pour tout de I, f '() = u '() u() = u '() u() Ainsi, si u est une fonction dérivable et qui ne s'annule pas sur un intervalle I ouvert, alors la fonction f: ln ( u() ) est dérivable sur I et pour tout de I, f '() = u '() u() On dit que la fonction ln u est une primitive de la fonction u ' u = y 4 sur les intervalles où u ne s'annule pas. 3 eemple La fonction f définie sur IR par ln ( 2 2 ) a pour dérivée la fonction f ' définie e sur IR par : f '() = 2 La fonction f définie sur π 2, π 2 par : f() = ln (cos ) est dérivable sur π 2, π 2 et f '() = sin cos = tan

5 La fonction ln (cos ) est une primitive de la fonction tan sur l'intervalle π 2, π 2