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1 Résumé du cours sur les suites. 1 Suites numériques réelles et principe de récurrence 1.1 Les deux façons de définir une suite numérique réelle Définition. On note n 0 un entier naturel (en général n 0 = 0 ou n 0 = 1). Une suite numérique réelle est une application qui associe à tout entier naturel n n 0 un nombre réel qui est noté u n. Ce nombre est «le terme de la suite de rang n» et la suite est donc définie «à partir du rang n 0». On peut définir une suite de deux façons complètement différentes : Soit on a un moyen de calculer la valeur de u n connaissant le rang n : la suite est donc définie par une fonction f du rang et on note u n = f(n). Ex : u n = 2n Soit on connaît la valeur initiale de la suite u n0 et on sait calculer la valeur de la suite au rang n + 1 connaissant sa valeur au rang n : u n+1 = f(u n ). Ex : u 0 = 0 et u n+1 = u n + 2 Les deux exemples définissent la même suite qui n est autre que la suite des entiers naturels multiples de 2. Dans le premier cas la suite est définie par une fonction (sous-entendu : du rang) et dans le second, elle est définie par une formule de récurrence On commence par une propriété utile pour compter le nombre de termes dans une somme. Propriété. Soit a b deux entiers naturels. Le nombre d entiers n compris entre a et b est égal à b a + 1. Ex : entre les entiers 15 et 20 (bornes comprises) on a exactement 6 entiers. 1.2 Le principe de récurrence On considère une propriété qui dépend d un entier naturel n : pour chaque n, la propriété P n est vraie ou fausse. 1

2 Théorème. Si les deux conditions suivantes sont réunies : P n0 est vraie Pour tout n n 0, si P n est vraie, alors P n+1 est vraie Alors on peut conclure que la propriété P n est vraie pour tout n n 0 On en déduit une formule pour la somme des entiers de 0 à n. Propriété. Soit n un entier naturel et S = n la somme de tous n(n + 1) les entiers compris entre 0 et n. On a le résultat suivant : S = 2 On en déduit également une formule pour la somme des puissances d un nombre réel. Propriété. Soit n un entier naturel, q un nombre réel et S = 1 + q +...+q n la somme de toutes les puissances de q dont l exposant est compris entre 0 et n. On a le résultat suivant : 1 q n+1 = qn+1 1 si q 1 1 q q 1 S = n + 1 si q = 1 2 Rappels de première : suites arithmétiques et suites géométriques 2.1 Suites arithmétiques Définition. Une suite (u n ) définie à partir du rang n 0 est arithmétique lorsque pour tout entier naturel n n 0 on a : u n+1 = u n + r où le nombre r est une constante réelle appelée «raison» de la suite. Remarque. Montrer qu une suite est arithmétique revient donc à montrer que la différence u n+1 u n est constante. Calcul d un terme en fonction de son rang. Propriété. Étant donnée une suite arithmétique de raison r définie à partir du rang n 0, pour tout entier n n 0, on peut calculer le terme de rang n par la formule suivante : u n = u n0 + (n n 0 ) r 2

3 Remarque. On calcule la raison d une suite arithmétique dont on connaît deux termes de rangs différents par la formule : r = u n u n0 n n 0 Calcul de la somme de termes consécutifs. Propriété. Étant donnée une suite arithmétique de raison r définie à partir du rang n 0, on considère la somme de ses termes du rang n 0 jusqu à un rang n n 0. Cette somme est notée : S = u n0 + u n u n Le nombre de termes de cette somme est N = n n et on a la formule suivante : S = N un 0 + u n 2 Remarque. La somme est donc la moyenne du premier et du dernier terme multipliée par le nombre de termes. 2.2 Suites géométriques Définition. Une suite (u n ) définie à partir du rang n 0 est géométrique lorsque pour tout entier naturel n n 0 on a : u n+1 = q u n où le nombre q est une constante réelle appelée «raison» de la suite. Remarque. Montrer qu une suite qui ne s annule pas est géométrique revient donc à montrer que le quotient u n+1 est constant. u n Calcul d un terme en fonction de son rang. Propriété. Étant donnée une suite géométrique de raison q définie à partir du rang n 0, pour tout entier n n 0, on peut calculer le terme de rang n par la formule suivante : u n = u n0 q n n 0 Calcul de la somme de termes consécutifs. Propriété. Étant donnée une suite géométrique de raison q définie à partir du rang n 0, on considère la somme de ses termes du rang n 0 jusqu à un rang n n 0. Cette somme est notée : S = u n0 + u n u n Le nombre de termes de cette somme est N = n n et on a la 3

4 formule suivante : S = u n0 1 qn 1 q si q 1 u n0 N si q = 1 3 Majoration et minoration d une suite Définition. Une suite (u n ) n n0 est «majorée par le réel M» lorsque pour tout n n 0, on a : u n M Remarque. Le réel M est alors appelé un «majorant» de la suite. De plus, lorsqu une suite est majorée, elle a une infinité de majorants. Définition. Une suite (u n ) n n0 est «minorée par le réel m» lorsque pour tout n n 0, on a : u n m Remarque. Le réel m est alors appelé un «minorant» de la suite. De plus, lorsqu une suite est minorée, elle a une infinité de minorants. Définition. Une suite (u n ) n n0 majorée et minorée. est «bornée» lorsque elle est à la fois 4 Variations 4.1 Généralités Définition. Une suite est «croissante» lorsque pour tout n n 0 on a : u n u n+1. Remarque. Pour montrer qu une suite n est pas croissante, il faut montrer qu il existe un rang particulier n 1 pour lequel on vérifie u n1 > u n1 +1. Définition. Une suite est «décroissante» lorsque pour tout n n 0 on a : u n u n+1. 4

5 Remarque. Pour montrer qu une suite n est pas décroissante, il faut montrer qu il existe un rang particulier n 1 pour lequel on vérifie u n1 < u n1 +1. Définition. Une suite est «monotone» lorsqu elle est croissante ou décroissante. 4.2 Méthodes Il y a principalement quatre méthodes pour étudier les variations d une suite. Étude du signe de la différence de deux termes consécutifs. Dans tous les cas, on peut calculer la différence u n+1 u n et étudier son signe. Si cette différence est toujouirs positive, la suite est croissante. Si cette différence est toujouirs négative, la suite est décroissante. Comparaison du quotient de deux termes consécutifs et de 1. Uniquement dans le cas où on sait que tous les termes de la suite sont strictement positifs, on peut calculer le quotient u n+1 et le comparer à 1. Si ce quotient est toujouirs plus grand que 1, la suite est croissante. Si ce quotient est toujouirs plus petit que 1, la suite est décroissante. Étude des variations d une fonction. Uniquement dans le cas où la suite est définie comme une fonction du rang, c est-à-dire où l on a u n = f(n), on peut étudier les variations de f sur l intervalle [0, + [ : les variations de la suite sont identiques à celles de la fonction. Raisonnement par récurrence. Pour montrer qu une suite définie pour tout entier naturel est croissante, on peut procéder ainsi : 1. On vérifie u 0 u 1 2. On suppose que pour un certain entier n, on a u n u n+1 et on montre que cela implique nécessairement u n+1 u n+2 3. On peut alors conclure que la suite est croissante. u n 5

6 5 Limites Dans cette section, tous les résultats énoncés sont admis. 5.1 Définition des limites Une suite peut avoir une limite égale à + ou à ou à un réel l. Une suite peut également ne pas avoir de limite. Limite infinie. Définition. La suite (u n ) tend vers + lorsque pour tout réel K il existe un rang n 1 à partir duquel on a u n > K. Remarque. Il est équivalent de dire que les termes de la suite «sont plus grands que tout réel à partir d un certain rang». Définition. La suite (u n ) tend vers lorsque pour tout réel K il existe un rang n 1 à partir duquel on a u n < K. Remarque. Il est équivalent de dire que les termes de la suite «sont plus petits que tout réel à partir d un certain rang». Limite réelle Définition. La suite (u n ) tend vers 0 lorsque pour tout réel e > 0 il existe un rang n 1 à partir duquel on a u n < e. Définition. La suite (u n ) tend vers le réel l lorsque pour tout réel e > 0 il existe un rang n 1 à partir duquel on a u n l < e. Remarque. Il est équivalent de dire que la distance des termes de la suite au réel l «est plus petite que tout réel strictement positif à partir d un certain rang». Convergence et divergence Définition. Une suite est «convergente» lorsqu elle admet une limite réelle. Une suite est «divergente» dans le cas contraire, c est-à-dire lorsque ou bien elle admet une limite égale à + ou à ou bien elle n admet pas de limite 6

7 5.2 Limites et opérations Dans les tableaux qui suivent les nombres l et l sont deux nombres réels. Lorsque le résultat est noté???, cela signifie qu il est «indéterminé», c est-à-dire varie selon la nature des suites utilisées. Somme de deux suites Si lim u n = l l l + + et lim v n = l + + Alors lim u n + v n = l + l + +??? Produit de deux suites Si lim u n = l l 0 ± 0 et lim v n = l ± ± ± Alors lim u n v n = l l ± ±??? Lorsque le résultat est ±, le signe est déterminé par la règle des signes. Inverse d une suite Si lim u n = l 0 ± Alors lim 1 u n = 1 l 0??? + Par définition lim u n = 0 + signifie : lim u n = 0 et la suite est strictement positive à partir d un certain rang. De même, lim u n = 0 signifie : lim u n = 0 et la suite est strictement négative à partir d un certain rang. Quotient de deux suites. On détermine la limite de u n 1 = u n par v n v n application successive des théorèmes sur l inverse d une suite et sur le produit de deux suites. 7

8 Cas d indétermination. C est le plus important à mémoriser : Suite obtenue par composition d une suite puis d une fonction Propriété. On considère la suite v n = f(u n ) où f désigne une fonction numérique réelle. Si on connaît lim u n = α et si on connaît lim f(x) = β x α, alors on a : lim v n = β. Remarque. Dans cet énoncé, les symboles α et β désignent un réel ou + ou. 5.4 Limites et relation d ordre Passage à la limite dans une inégalité. Propriété. On considère deux suites (u n ) et (v n ) toutes les deux convergentes respectivement vers les réels l et l. Si à partir d un certain rang, on a : u n v n, alors on a : l l Remarque. On dit qu on peut «passer à la limite» dans l inégalité u n v n Calcul d une limite à partir d inégalités. On ne peut pas appliquer les théorèmes sur les opérations dans tous les cas, notamment lorsque l une des deux suites utilisées n a pas de limite. Dans cette situation, les résultats suivants sont souvent utiles. Propriété. Si à partir d un certain rang, on a : u n v n et si lim u n = +, alors on a : lim v n = + Remarque. On dit aussi que si une suite est minorée par une suite qui tend vers +, alors elle tend elle-même vers +. Propriété. Si à partir d un certain rang, on a : u n v n et si lim v n =, alors on a : lim u n = 8

9 Remarque. On dit aussi que si une suite est majorée par une suite qui tend vers, alors elle tend elle-même vers. Propriété. Si à partir d un certain rang, on a : u n v n w n et si lim u n = lim w n = l où l est un réel, alors on a : lim v n = l Remarque. Ce résultat est appelé «théorème des gendarmes». On dit aussi que si une suite est encadrée par deux suites qui tendent vers le même nombre réel, alors elle tend elle-même vers ce réel. 6 Exemples de suites convergentes 6.1 Convergence de suites géométriques Théorème. Soit q un réel différent de 0 et de 1. On a les résultats suivants : 1. Si q > 1, alors lim q n = + 2. Si 1 < q < 1, alors lim q n = 0 Remarque. On peut compléter ces résultats par : si q = 1, la suite (q n ) est constante et sa limite est 1 si q = 0, la suite (q n ) est constante à partier du rang 1 et sa limite est 0 si q 1, la suite (q n ) n a pas de limite 6.2 Convergence monotone Le résultat suivant qui est admis, est très utile pour montrer qu une suite est convergente : il ne permet pas cependant de calculer cette limite. Théorème. Si une suite est croissante et majorée, alors elle est convergente. De même, si une suite est décroissante et minorée, alors elle est convergente. 6.3 Suites adjacentes Définition. On considère deux suites (u n ) et (v n ) définies à partir du rang n 0. Elles sont dites «adjacentes» lorsque : 1. (u n ) est croissante 9

10 2. (v n ) est décroissante 3. lim v n u n = 0 Théorème. Si deux suites sont adjacentes, alors elles convergent vers le même nombre réel. 10

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