Exercices : Trigonométrie ( directe et réciproque)

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1 Exercices : Trigonométrie ( directe et réciproque) Exercice. Calculer tan(p) tan(q) en fonction de sin(p q), cos(p) et cos(q).. En déduire k cos(kθ) cos((k + )θ) Exercice Résoudre dans R les équations suivantes:. ( 6 + ) cos(θ) + ( 6 ) sin(θ) (indication: calculer cos( π )). sin(7θ) sin(θ) sin(3θ) Exercice 3 Utiliser les formules donnant cos(nx) et sin(nx) en fonction de cos(x) et sin(x) pour résoudre:. 4 sin 3 (x) + sin(3x) 3. cos(4x) + 8 cos(x) 9 0 Exercice 4 Résoudre les équations:. arctan(x) arctan. arcos(x) arcos arctan(x) 3 arctan(x) Exercice 5 Calculer A arctan + arctan 3

2 Exercice 6. Simplifier, selon les valeurs de x, arctan(x) + arctan x. Même question avec arcos( x )

3 Indications pour l exercice. Mettre tout sous le même dénominateur et remarquer une formule de trigo.. Utiliser la question précédente pour faire apparaitre une somme téléscopique. Indications pour l exercice. Utiliser le cours (transformation de A sin(x) + B cos(x)). Utiliser les formules sin(p) sin(q) Indications pour l exercice 3 Utiliser les complexes pour exprimer cos(nx) en fonction de cos(x) et sin(x). Indications pour l exercice 4 Utiliser les techniques vues en cours. Attention! en composant on a qu une seule implication, il faut vérifier que les solutions trouvées conviennent bien. Cette vérification peut se faire en remplaçant, ou en regardant dans quel intervalle se trouvent les nombres. Indications pour l exercice 5 Composer par tan. Attention à la logique. Indications pour l exercice 6. Cf TD. On pourra poser x sin(u). 3

4 Correction de l exercice. On a: tan(p) tan(q) sin(p) cos(p) sin(q) cos(q) sin(p)cos(q) sin(q)cos(p) cos(p)cos(q) sin(p q) cos(p)cos(q). Calculons d abord les valeurs de θ pour lesquelles cette somme n est pas définie: On doit avoir k... n}, cos(kθ)cos((k + )θ) 0 k... n + }, cos(kθ) 0 cos(θ) 0 cos(θ) 0. cos((n + )θ) 0 θ π [π] θ π 4 [ π ]. π θ [ n+ ] π (n+) Ensuite, en faisant p k + et q k dans la formule précédente, on a : tan((k + )θ) tan(kθ) sin(θ) cos(kθ)cos((k + )θ) () er cas : si sin(θ) 0 On peut diviser par sin(θ) dans (), ce qui permet d écrire: k ième cas : si sin(θ) 0 On a alors: cos(kθ) cos((k + )θ) k sin(θ) tan((k + )θ) tan(kθ) sin(θ) tan((k + )θ) tan(kθ) k tan((n + )θ) tan(θ) sin(θ) (somme téléscopique) Soit θ 0 [π], et donc k,... n}cos(kθ) cos((k + )θ). Ainsi k cos(kθ) cos((k + )θ) n Soit θ π [π], et donc k,... n}cos(kθ) cos((k + )θ). Ainsi k cos(kθ) cos((k + )θ) n 4

5 Correction de l exercice. La forme de l équation nous fait penser qu une transformation de a cos(x) + b sin(x) serait judicieuse. Comme suggéré, on calcule: cos π ( π cos 3 π ) 4 cos π 3 cos π 4 + sin π 3 sin π On en déduit que 6 + 4cos π et que 6 4sin π ( 6 + )cos(θ) + ( 6 )sin(θ) 4cos π cos(θ) + 4sin π sin(θ) cos π cos(θ) + sin π sin(θ). On a, d après une célèbre formule, sin(7θ) sin(θ) sin(3θ) cos(4θ) cos(θ π ) θ π 3 + π [π] 5π [π] θ π 3 + π [π] π 4 [π] sin(7θ) sin(θ) sin(3θ) sin(3θ) cos(4θ) sin(3θ) sin(3θ)( cos(4θ)) 0 sin(3θ) 0 θ 0 [ π cos(4θ) 3 ] θ ± π [ π ] Correction de l exercice 3. On peut écrire sin(3x) Im(e 3ix ) Im( ( e ix) 3 ) Im((cos(x) + isin(x)) 3 ). En developpant (cos(x) + isin(x)) 3 avec la formule du binôme, on trouve sin(3x) 3sin(x) 4sin 3 (x). 4 sin 3 (x) + sin(3x) 3 3 sin(x) 3 x π 6 [π] x π π 6 [π]. En utilisant les nombres complexes, on a: cos(4x) 8 cos 4 (x) 8 cos (x) + cos(4x) + 8 cos(x) 9 0 8cos 4 (x) 8cos (x) cos(x) 9 0 cos 4 (x) 0 cos(x) ou cos(x) x 0 [π] 5

6 Correction de l exercice 4. arctan(x) arctan tan(arctan(x)) tan( arctan ) x tan(arctan ) tan (arctan ) x Ainsi, x n a qu une seule valeur possible; cette valeur convient-elle? On ne peut calculer directement arctan 4 3, il faut vérifier que cette valeur convient en disant que: arctan 4 tan 4 3 y () 3 y et y ] π ; π [ () Ici y arctan ; la condition () est vérifiée d après notre calcul, il reste donc à voir que arctan ] π ; π [. Or 0 < < arctan(0) < arctan < arctan() (car arctan est strict. croissante) arctan(0) < arctan < arctan() 0 < arctan < π Donc () est vraie. Ainsi on a une solution: x 4 3. Vérifions que arcos 3 4 [0, π]: 0 < 3 4 < arcos(0) > arcos3 4 > arcos() (car arcos est strict. décroissante) arcos(0) > arcos 3 4 > arcos() π > arcos 3 4 > arcos() > 0 L interêt est que maintenant on peut écrire arcos(x) arcos 3 4 cos(arcos(x)) cos(arcos 3 4 ) x cos (arcos 3 4 ) x Ainsi on a une solution: x 6 8 arctan(x) 3arctan(x) tan(arctan(x)) tan(3arctan(x)) x tan(x) + x x x tan(x) + x x x x x 3x x3 x 3x 3 0 x + 5x 3 x 0 (car x R) Il est ensuite très facile de vérifier que x 0 convient: on a donc une unique solution. 6

7 Correction de l exercice 5 On a tan(a) tan(arctan ) + tan(arctan 3 ) tan(arctan ) tan(arctan 3 ) Déterminons un intervalle de longueur π où habite arctan + arctan 3 : on a: 0 < 3 < arctan(0) < arctan 3 < arctan() 0 < arctan 3 < π 4 Comme de la même façon, 0 < <, on a arctan 3 + arctan ]0, π [ Ainsi A ] π, π [ A π 4, puisque A π 4 est la seule valeur de cet intervalle qui vérifie tan(a) Correction de l exercice 6. Posons f(x) arctan(x) + arctan x. f est dérivable sur R, et f (x) + x + + ( ) ( x ) x + x x + 0 Donc f est constante sur R et sur R + : en prenant x et x, on trouve la valeur de cette constante: f(x) π f(x) π. Etudions d abord l ensemble de définition de arcos( x ): On doit avoir x [ ; ] > x > 0 x [ ; ] L expression x nous fait penser à la formule cos(x) sin (x) Comme x [ ; ], on peut faire le chgt de variable x sin(u), avec u [ π, π ]. (autrement dit u arcsin(x)) Donc arcos( x ) arcos(cos(u)). Or u [ π, π], deux cas se présentent alors: er cas: u [ π, 0] x [, 0]. 7

8 Alors, d après le cours, arcos(cos(u)) u, donc arcos( x ) arcsin(x) ième cas: u [0, π] x [0, ]. Alors, d après le cours, arcos(cos(u)) u, donc arcos( x ) arcsin(x) Conclusion: si x [, 0], si x [0, ], arcos( x ) arcsin(x) arcos( x ) arcsin(x) 8