Système linéaire invariant Licence GEEA ULSI 502

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1 Système linéaire invariant Licence GEEA ULSI 52 6 octobre 27 Dénition Système Linéaires Invariants Dénitions équivalentes Equation diérentielle On appelle système linéaire invariant, un système dont le comportement dans le temps, peut-être décrit par une équation diérentielle linéaire à coecients constants. Convolueur Un système linéaire invariant est un convolueur et réciproquement.. Représentation par une équation diérentielle.. dénition Soit y(t une fonction du temps, on note : d i y(t i ( La dérivée n ime de y par rapport au temps t. Un système linéaire est régi par une équation du type : a n d n y(t n + a n d n y(t n. n est l'ordre du système. 2. e(t est l'entrée. 3. y(t est la sortie a dy(t 4. a j et b k sont des coecients constants appartenant à R d m e(t + a y(t = b m m b de(t + b e(t (2

2 .2 Convolueur DÉFINITION SYSTÈME LINÉAIRES INVARIANTS..2 Solution de l'équation diérentielle Solution du système libre s(t est solution du système libre si s(t vérie : a n d n s(t n + a n d n s(t n Solution du système forcé x(t est solution du système forcée si x(t vérie : a n d n x(t n + a n d n x(t n Pour une entrée e(t donnée a dx(t..3 Application de la transformée de Laplace a ds(t + a s(t = (3 d m e(t + a x(t = b m m b de(t + b e(t (4 En appliquant à l'équation diérentielle d'ordre n, la transformée de Laplace en considérant les conditions initiales nulles et en appliquant la propriété de dérivation, il vient : a n p n Y (p + a n p n Y (p a py (p + a Y (p = b m p m E(p b E(p + b E(p (5 Soit par factorisation : Ou encore : (a n p n + a n p n a p + a Y (p = (b m p m b + b E(p (6 Y (p E(p = b m p m b + b a n p n + a n p n a p + a (7 est appelée fonction de transfert entrée-sortie...4 Réponse à un dirac Si E(p = (transformée de Laplace d'un Dirac alors est la réponse percutionnelle du système ou encore la réponse à un Dirac..2 Convolueur.2. Dénition La relation entrée sortie d'un convolueur est la suivante : s(t = h(t e(t = h(θe(t θdθ (8 Où l e symbole " " représente le produit dit de convolution..2.2 Application de la transformée de Laplace ( h(θe(t θdθ e pt (9 Page 2

3 .3 Propriétés 2 FONCTION DE TRANSFERT En inversant l'ordre d'intégration : Par changement de variable : u = t θ Soit encore : ( h(θ ( h(θ ( h(θ e(t θe pt dθ ( e(ue p(u+θ du dθ ( e(ue pu du e pθ dθ (2 L'intégrale au centre est égale à E(p et il reste une intégrale égale par dénition à..soit E(p.3 Propriétés Des 2 dénitions précédentes, on en déduit : b m p m b + b a n p n + a n p n a p + a = h(θe pθ dθ (3 La transformée de Laplace inverse de est la réponse impulsionnelle (percutionnelle du système. On remarque que si l'entrée est un Dirac alors l'équation de convolution devient : s(t = h(θδ(t θdθ = h(t (4 D'où on en déduit que le Dirac est l'élément neutre du produit de convolution ce qui se traduit par h(θδ(t θdθ = h(θ t θ= (5 Deuxième propriété : le produit de convolution temporel devient une simple multiplication dans la plan de Laplace. 2 Fonction de transfert De façon générale, la fonction de transfert d'un système s'écrira : b m p m b + b a n p n + a n p n a p + a e pτ (6 Où τ est un retard pur. La fonction de transfert s'écrit comme le rapport de deux polynômes : b m p m b + b a n p n + a n p n e pτ = N(p a p + a D(p (7 2. Schéma bloc On représente un système linéaire par un rectangle et deux êches : l'une rentrante (entrée la seconde sortante (sortie. On obtient 2 schémas l'un temporel?? et le second dans l'espace de Laplace (?? Page 3

4 2.2 Dénitions liées à la fonction de transfert 2 FONCTION DE TRANSFERT e(t h(t s(t Fig. Schéma temporel avec s(t = h(t e(t E(p S(p Fig. 2 Schéma dans l'espace de Laplace avec H(tE(p 2.2 Dénitions liées à la fonction de transfert 2.2. Pôles On appelle 'pôles' de la fonction de transfert, les valeurs de p = p i qui annulent le dénominateur ou encore : D(p i =. D(p peut se mettre sous la forme dite factorisée : D(p = a n p n + a n p n a p + a = i (p p i ki (8 k i est l'ordre du pôle p i C et tel que k i = n Zéros On appelle 'zéros' de la fonction de transfert, les valeurs de p = z j qui annulent le numérateur ou encore : N(p i =. N(p peut se mettre sous la forme dite factorisée : N(p = b m p m + b m p m b p + b = i (p z j kj (9 k j est l'ordre du zéro z j C et tel que k j = m Classe Si : D(p = p α i (p p i ki (2 p = est un pôle nul, alpha est la classe du système. Page 4

5 3 SYSTÈME BOUCLÉ Gain statique On appelle gain statique du système (s'il existe la valeur de H(p = O soit : Gain en vitesse b a (2 On appelle gain en vitesse, la valeur de p pour p = si elle existe. p est la dérivée de h(t soit h (t Modes d'un système qui est le rapport de 2 polynômes, peut se mettre sous la forme suivante comme nous l'avons vu précédemment : b m p m b + b a n p n + a n p n = i (p z j kj a p + a i (p p (22 i ki La décomposition en éléments simples (cf. le cours sur la transformée de Laplace, permet de mettre sous une forme diérente. ( Nous allons traiter ceci par quelques exemples. p(p+a p + p+a. En déterminant h(t par l'inversion de la transformée de = a Laplace, h(t est égale à : (p+b(p+a = (a b. En déterminant h(t par l'inversion de la transformée de Laplace, h(t est égale à : ( p+a + p+b h(t = U(t a ( + e at (23 ( h(t = U(t e at e bt (24 b a p 2 +2mw p+w 2. En déterminant h(t par l'inversion de la transformée de Laplace, h(t est égale à : h(t = U(te mwot w sin( m 2 w t (25 m 2 Au travers de ces quelques exemples, on s'aperçoit que les éléments simples sont dénis à partir des pôles de et en appliquant la transformée de Laplace inverse, ces éléments simples fournissent ce que l'on appelle les modes du système. 3 Système bouclé 3. Schéma Un système bouclé est représenté sur la gure??. Ce schéma sera réduit en les éléments de la gure??. Sur le schéma de la gure??, on désigne : L'entrée de référence le retour fourni par le capteur le correcteur fournissant la commande au système Page 5

6 3.2 Equation sans perturbation 3 SYSTÈME BOUCLÉ Entrée de référence + - régulateur! correcteur Grandeur actionneur perturbations processus Grandeur réglée Grandeur mesurée capteur Fig. 3 Schéma boucle fermée l'actionneur (un pré-ampli en général le processus qui subit des perturbations La grandeur à régler 3.2 Equation sans perturbation 3.2. Schéma Le schéma précédent se réduit en l'absence des perturbations en : L'entrée de référence ou consigne E(p Le retour fourni par le capteur La fonction de transfert directe, dite en boucle ouverte La sortie S(p La fonction de transfert de retour K E(p + - ε (p S(p K Fig. 4 Schéma boucle fermée Equation de transfert ɛ(p ɛ(p = E(p KS(p Soit (E(p KS(p ou encore S(p + K E(p On obtient l'équation de transfert entrée / sortie + K E(p = H BF (pe(p (26 Page 6

7 3.3 Equation avec perturbation 3 SYSTÈME BOUCLÉ Erreur ɛ(p ɛ(p = E(p KS(p Soit ɛ(p = E(p Kɛ(p ou encore ɛ(p + Kɛ(p = E(p On obtient l'équation liant l'erreur à l'entrée ɛ(p = 3.3 Equation avec perturbation 3.3. Schéma E(p = F (pe(p (27 + K Le principe de superposition permet d'eectuer les calculs en l'absence d'entrée aussi, le schéma se réduit en : + - d(p ε (p - + S(p K Fig. 5 Schéma boucle fermée Equation perturbation sortie ɛ(p d(p ɛ(p = KS(p Soit KS(p d(p ou encore S(p + K d(p On obtient l'équation de transfert entrée / sortie d(p + K (28 Page 7

8 3.4 Equations avec perturbation et consigne 4 DÉFINITION DES ERREURS Erreur ɛ(p = KS(p Soit ɛ(p = E(p Kɛ(p ou encore On obtient l'équation liant l'erreur à l'entrée ɛ(p = 3.4 Equations avec perturbation et consigne Le principe de superposition permet d'écrire directement K d(p (29 + K d(p E(p + + K + K (3 L'erreur s'écrit : ɛ(p = + K E(p + K d(p (3 + K Il est important de remarquer que dans chaque équation, le terme au dénominateur + K est le même. 4 Dénition des erreurs L'erreur dépend de l'entrée, on a déni trois erreurs : L'erreur de position pour une entrée échelon. L'erreur de vitesse ou de traînage pour une entrée rampe. L'erreur d'accélération pour une entrée en t 2. Pour calculer le régime nal de l'erreur, on utilise le théorème de la valeur nale. Page 8