CHANGEMENT DE SYSTEME GEODESIQUE
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- François Nadeau
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1 SERVICE DE GEODESIE ET NIVELLEMENT NOTES TECHNIQUES NT/G 80 CHANGEMENT DE SYSTEME GEODESIQUE S G N Algorithmes 1 ère édition Janvier 1995 I N S T I T U T G E O G R A P H I Q U E N A T I O N A L 2-4, A V E N U E P A S T E U R S A I N T M A N D E C E D E X
2 AL G O R I T H M E S N E C E S S AI R E S AU C H AN G E M E N T D E S Y S T E M E G E O D E S I Q U E SOMMAIRE NOMBRE de PAGES ALG ALG ALG ALG0013 bis 3 ALG ALG ALG ALG0021 2
3 ALG0009 1/3 TRANSFORMATION DE COORDONNEES Coordonnées géographiques coordonnées cartésiennes. Numéro : ALG0009. Description : Transformation de coordonnées géographiques ellipsoïdales en coordonnées cartésiennes. Variables : - paramètres en entrée : λ ϕ he a e : longitude par rapport au méridien origine. : latitude. : hauteur au-dessus de l ellipsoïde. : demi-grand axe de l ellipsoïde. : première excentricité de l ellipsoïde. - paramètres en sortie : X, Y, Z : coordonnées cartésiennes. Autre algorithme utilisé : ALG0021 : calcul de la grande normale N de l ellipsoïde de demigrand axe a et de première excentricité e.
4 ALG0009 2/3 TRANSFORMATION DE COORDONNEES Coordonnées géographiques coordonnées cartésiennes. Schéma séquentiel : E : λ, ϕ, he, a, e. S : X, Y, Z. E N = N ( ϕ, a, e ) ALG0021 X = ( N + h e ) cos ϕ cos λ Y = ( N + h e ) cos ϕ sin λ Z = ( N ( 1 e 2 ) + h e ) sin ϕ S Notation utilisée : N(ϕ,a,e) : calcul de la grande normale de l ellipsoïde de demi-grand axe a et d excentricité e.
5 ALG0009 3/3 TRANSFORMATION DE COORDONNEES Coordonnées géographiques coordonnées cartésiennes. Jeux d essai : λ (rad) 0, , , ϕ (rad) 0, , , he (m) 100, , ,000 0 a (m) , , ,200 0 e 0, , , X(m) , , ,536 9 Y(m) , , ,705 0 Z(m) , , ,907 0
6 ALG0012 1/3 TRANSFORMATION DE COORDONNEES Coordonnées cartésiennes coordonnées géographiques. Numéro : ALG0012. Description : Transformation, pour un ellipsoïde donné, des coordonnées cartésiennes d un point en coordonnées géographiques ellipsoïdales par la méthode de Heiskanen-Moritz- Boucher. Variables : - paramètres en entrée : X, Y, Z : coordonnées cartésiennes. a : demi-grand axe de l ellipsoïde. e : première excentricité de l ellipsoïde. ε : tolérance de convergence. - paramètres en sortie : λ ϕ he : longitude par rapport au méridien origine. : latitude. : hauteur au-dessus de l ellipsoïde.
7 ALG0012 2/3 TRANSFORMATION DE COORDONNEES Coordonnées cartésiennes coordonnées géographiques. Schéma séquentiel : E : a, e, X, Y, Z, ε. S : λ, ϕ, he. E λ = arctan ( Y X ) ϕ 0 = arctan ( X 2 + Y 2 ( 1 Z a e 2 X 2 + Y 2 + Z 2 ) ) i 0 non i i z a e cos ϕi 1 1 ϕi ϕi 1 < ε ϕi = arctan( (1 ) ) X + Y X + Y 1 e sin ϕ i 1 oui ϕ = ϕ i h e = 2 X + Y cos ϕ 2 1 e 2 a sin 2 ϕ S
8 ALG0012 3/3 TRANSFORMATION DE COORDONNEES Coordonnées cartésiennes coordonnées géographiques. Jeux d essai : a (m) , , ,200 0 e 0, , , X (m) , , ,537 0 Y (m) , , ,705 0 Z (m) , , ,907 0 ε (rad) 1 x x x λ (rad) 0, , , ϕ (rad) 0, , , he (m) 99, , ,000 1
9 ALG0013 1/3 TRANSFORMATION DE COORDONNEES A 7 PARAMETRES ENTRE DEUX SYSTEMES GEODESIQUES Numéro : ALG0013. Description : A partir d un jeu de 7 paramètres (3 translations, 1 facteur d échelle et 3 rotations) de passage du système (1) vers le système (2), et des coordonnées cartésiennes tridimensionnelles dans le système (1), calcul des coordonnées cartésiennes tridimensionnelles dans le système (2). Variables : - paramètres en entrée : T x : translation suivant l axe des x (de(1) vers (2)) T y : translation suivant l axe des y (de(1) vers (2)) T z : translation suivant l axe des z (de(1) vers (2)) D : facteur d échelle (de (1) vers (2)) R x : angle de rotation autour de l axe des x, en radians (de(1) vers (2)) R y : angle de rotation autour de l axe des y, en radians (de(1) vers (2)) R z : angle de rotation autour de l axe des z, en radians (de (1) vers (2)) U : vecteur de coordonnées cartésiennes tridimension-nelles dans le système (1) U = (U x, U y, U z ) - paramètre en sortie : V : vecteur de coordonnées cartésiennes tridimension-nelles dans le système (2) V = (V x, V y, V z ) Remarque : Cet algorithme utilise des rotations exprimées selon la convention IERS. C'est sous cette convention que les paramètres sont enregistrés dans la Base de Données Géodésique de l'ign. Cet algorithme utilise des approximations liées à l'hypothèse a-priori de petites rotations entre les systèmes (de l'ordre de quelques secondes d'arc). Pour une transformation rigoureuse, utiliser l'alg0063 avec les signes appropriés.
10 ALG0013 2/3 TRANSFORMATION DE COORDONNEES A 7 PARAMETRES ENTRE DEUX SYSTEMES GEODESIQUES Schéma séquentiel : E : Τx, Τy, Τz, D, Rx, Ry, Rz, U. S : V. E V x = T x + U x ( 1 + D ) + U z R y U y R z V y = T y + U y ( 1 + D ) + U x R z U z R x V z = T z + U z ( 1 + D ) + U y R x U x R y S
11 ALG0013 3/3 TRANSFORMATION DE COORDONNEES A 7 PARAMETRES ENTRE DEUX SYSTEMES GEODESIQUES Jeux d essai : Ux (m) ,142 0 Uy (m) ,331 0 Uz (m) ,813 0 Tx (m) -69,400 0 Ty (m) 18,000 0 Tz (m) 452,200 0 D -3, Rx (rad) 0, Ry (rad) 0, Rz (rad) 0, Vx (m) ,809 9 Vy (m) ,328 4 Vz (m) ,531 6
12 ALG0013 bis 1/3 TRANSFORMATION DE COORDONNEES A 7 PARAMETRES ENTRE DEUX SYSTEMES GEODESIQUES passage " inverse " Numéro : ALG0013 bis. Description : A partir d un jeu de 7 paramètres (3 translations, 1 facteur d échelle et 3 rotations) de passage du système (2) vers le système (1), et des coordonnées cartésiennes tridimensionnelles dans le système (1), calcul des coordonnées cartésiennes tridimensionnelles dans le système (2). Variables : - paramètres en entrée : T x : translation suivant l axe des x (de(2) vers (1)) T y : translation suivant l axe des y (de(2) vers (1)) T z : translation suivant l axe des z (de(2) vers (1)) D : facteur d échelle (de (2) vers (1)) R x : angle de rotation autour de l axe des x, en radians (de(2) vers (1)) R y : angle de rotation autour de l axe des y, en radians (de(2) vers (1)) R z : angle de rotation autour de l axe des z, en radians (de (2) vers (1)) U : vecteur de coordonnées cartésiennes tridimension-nelles dans le système (1) U = (U x, U y, U z ) - paramètre en sortie : V : vecteur de coordonnées cartésiennes tridimension-nelles dans le système (2) V = (V x, V y, V z ) Remarques : Cet algorithme doit être remplacé par ALG0063 lorsque l'ordre de grandeur des rotations ne permet plus d'approximer les angles à un développement limité d'ordre 1. Cet algorithme utilise des rotations exprimées selon la convention IERS. C'est sous cette convention que les paramètres sont enregistrés dans la Base de Données Géodésique de l'ign.
13 ALG0013 bis 2/3 TRANSFORMATION DE COORDONNEES A 7 PARAMETRES ENTRE DEUX SYSTEMES GEODESIQUES passage " inverse " Schéma séquentiel : E : Τx, Τy, Τz, D, Rx, Ry, Rz, U. S : V. E V x = ( T x U x ) ( D 1 ) + ( T z U z ) R y ( T y U y ) R z V y = ( T y U y ) ( D 1 ) + ( T x U x ) R z ( T z U z ) R x V z = ( T z U z ) ( D 1 ) + ( T y U y ) R x ( T x U x ) R y S
14 ALG0013 bis 3/3 TRANSFORMATION DE COORDONNEES A 7 PARAMETRES ENTRE DEUX SYSTEMES GEODESIQUES passage " inverse " Jeux d essai : Ux (m) ,810 0 Uy (m) ,328 0 Uz (m) ,532 0 Tx (m) -69,400 0 Ty (m) 18,000 0 Tz (m) 452,200 0 D -3, Rx (rad) 0, Ry (rad) 0, Rz (rad) 0, Vx (m) ,142 1 Vy (m) ,330 4 Vz (m) ,813 3
15 ALG0014 1/5 ROTATION AUTOUR D'UN AXE. Numéro : ALG0014. Description : Effectue la rotation d'un vecteur autour d'un axe, Ox, Oy ou Oz, d'un angle α. Variables : - paramètres en entrée : U : vecteur de coordonnées cartésiennes tridimensionnelles dans un repère R. α : angle en radian de la rotation - paramètre en sortie : V : vecteur de coordonnées cartésiennes tridimensionnelles dans un repère R. Oz. On donne ici les algorithmes des trois rotations élémentaires autour des trois axes de coordonnées Ox, Oy,
16 ALG0014 2/5 ROTATION AUTOUR D'UN AXE. Schéma séquentiel : E : U, α. S : V. Cas de la rotation autour de l'axe Ox : E U x = V x U y = V y cos α + V z sin α U z = V z cos α V y sin α S
17 ALG0014 3/5 ROTATION AUTOUR D'UN AXE. Schéma séquentiel (suite) : E : U, α. S : V. Cas de la rotation autour de l'axe Oy : E U x = V x cos α V z sin α U y = V y U z = V z cos α + V x sin α S
18 ALG0014 4/5 ROTATION AUTOUR D'UN AXE. Schéma séquentiel (suite) : E : U, α. S : V. Cas de la rotation autour de l'axe Oz : E U x = V x cos α + V y sin α U y = V y cos α V x sin α U z = V z S Remarque : On notera par la suite, Rx, Ry et Rz les rotations respectives autour des axes Ox, Oy, Oz.
19 ALG0014 5/5 ROTATION AUTOUR D UN AXE Jeux d essai : Ux(m) ,810 0 Uy(m) ,328 0 Uz(m) ,532 0 α (rad) 0, axe Ox axe Oy axe Oz Vx (m) , , ,407 5 Vy (m) , , ,071 4 Vz (m) , , ,532 0
20 ALG0015 1/2 TRANSFORMATION DE COORDONNEES Coordonnées sphériques Coordonnées cartésiennes. Numéro : ALG0015. Description : Transformation de coordonnées sphériques en coordonnées cartésiennes. Le vecteur de sortie est unitaire. Variables : - paramètres en entrée : Λ : longitude sphérique en radian. Φ : latitude sphérique en radian. - paramètre en sortie : U: vecteur unitaire. Schéma séquentiel : E : Λ, Φ. S : U E cos U 1 = Φ. cos Λ U 2 = U 3 = cos sin Φ Φ. sin Λ S
21 ALG0015 2/2 TRANSFORMATION DE COORDONNEES Coordonnées sphériques Coordonnées cartésiennes. Jeux d essai : Λ (rad) 0, Φ (rad) 0, V 1 0, V 2 O, V 3 O,
22 ALG0016 1/3 TRANSFORMATION DE COORDONNEES Coordonnées cartésiennes Coordonnées sphériques. Numéro : ALG0016. Description : Transformation de coordonnées cartésiennes en coordonnées sphériques. Le vecteur V d'entrée n'est pas forcément unitaire. Variables : - paramètre en entrée : V : vecteur d'entrée des coordonnées cartésiennes. - paramètres en sortie : Λ : longitude sphérique. Φ : latitude sphérique.
23 ALG0016 2/3 TRANSFORMATION DE COORDONNEES Coordonnées cartésiennes Coordonnées sphériques. Schéma séquentiel : E : V. S : Λ, Φ. E p V V 2 = p 0? non oui Λ = 0 Φ = Sgn ( V 3 ) π 2 Λ = 2 arctan ( Φ = arctan ( V 3 p ) V 2 V 1 + p ) S Notation utilisée : Sgn (V) : signe de V
24 ALG0016 3/3 TRANSFORMATION DE COORDONNEES Coordonnées cartésiennes Coordonnées sphériques. Jeux d essai : V 1 0, V 2 O, V 3 O, Λ (rad) 0, Φ (rad) 0,
25 ALG0021 1/2 CALCUL DE LA GRANDE NORMALE Numéro : ALG0021. Description : Calcul de la grande normale de l ellipsoïde. Variables : - paramètres en entrée : ϕ : latitude. a : demi-grand axe de l ellipsoïde. e : première excentricité de l ellipsoïde. - paramètre en sortie : N : grande normale. Schéma séquentiel : E : ϕ, a, e. S : N. E N = a 1 e 2 sin 2 ϕ S
26 ALG0021 2/2 CALCUL DE LA GRANDE NORMALE Jeux d essai : ϕ(rad) 0, a(m) ,000 0 e 0, N(m) ,975 5 Remarque : On notera N(ϕ,e,a) la valeur de la grande normale d un ellipsoïde donné (a,e) en un point de latitude ϕ.
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