Domaines d'utilité: Lois de Probabilités pour une variable aléatoire (création d'une loi) Calcul de dénombrement et de probabilités associées

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1 NOM:... PRENOM:... Date:... Classe:... Section:... Domaines d'utilité: Lois de Probabilités our une variable aléatoire (création d'une loi) Calcul de dénombrement et de robabilités associées Objectifs: Notation factorielle: utilisation Combinaisons: calcul de combinaisons, alication au triangle de Pascal Déveloement de ( a + b ) n Dénombrement I - P-Liste Activités Définition et formule d'une P-liste...2. Exercices d'alication...2 II - Notation factorielle Définition Exercices d'alication... III - Arrangement Activités Définition d'un arrangement...4. Exercices d'alication...4 IV - Permutation Activités Définition d'une ermutation.... Exercices d'alication... V - Combinaisons Définition et notation du nombre de combinaisons Activités...6. Exercices d'alication...6 VI - Proriétés des combinaisons Triangle de Pascal ou tableau des combinaisons: Proriétés associées aux combinaisons...7. Déveloement de (1 t)n our les remières valeurs de n Formule du binôme, coefficients dans le déveloement de ( a + b )n...8. Activités...8 VII - Tableau récaitulatif Récaitulatif Alication directe...9 Pré-requis: Probabilités: Création d'arbre ou d'ensemble, notion de tirage M. Basnary Maths Dénombrement Page n 1/9

2 1. Activités I - P-Liste On ourra considérer un tirage avec remise our lequel l'ordre de tirage comte. a) Combien de nombres différents à 1 chiffre eut-on écrire avec les 4 chiffres suivants: {1;2;;4}? Étae n i 1 er chiffre On eut donc construire 4 chiffres différents. 4 ossibles b) Combien de nombres différents à 2 chiffres eut-on écrire avec les chiffres suivants: {1;2;}? Étae n i 1 er chiffre 2 nd chiffre On eut donc construire = 2 = 9 nombres différents qui sont: 11, 12, 1, 21, ossibles 22, 2, 1, 2 et c) De combien de façons ossibles euvent être écrites une suite de trois lettres, les trois lettres étant rises à chaque fois armi les 26 lettres de l'alhabet? Étae n i 1 ère lettre 2 nde lettre ième lettre ossibles On eut donc construire = 26 soit 1776 suites de trois lettres d) Sur trois courses consécutifs avec les huit même coureurs, On ne s'intéresse qu'aux vainqueurs de chaque courses. Combien y a t-il de trilets vainqueurs différents? Étae n i 1 ère course 2 nde course ième course ossibles 2. Définition et formule d'une P-liste On eut donc construire: = 8 soit 12 trilets vainqueurs. Une P-liste est une liste de éléments où chacun des éléments eut être choisi armi une liste de n éléments. Ces éléments euvent être identiques ou as. Le nombre de -liste choisi armi n éléments est n. On eut arler également de tirage successif avec remise our lequel l'ordre de tirage comte.. Exercices d'alication a) Combien y a-t-il de mots de asse formés de cinq lettres, lettres choisies dans l'alhabet de 26 lettres? Étae n i 1 ère lettre 2 nde lettre ième lettre 4 ème lettre ième lettre Nbre de choix Soit 26 = mots de asse M. Basnary Maths Dénombrement Page n 2/9

3 II - Notation factorielle 1. Définition La notation factorielle est utilisée uniquement our les nombres entiers. Notation : n!. Lecture: «factorielle n» Valeur associée: n! = 1 2 ( n i ) ( n 2 ) ( n 1 ) n = i (c'est aussi le roduit des entiers de 1 jusqu'à n) Cas articulier: 0! = 1 Touche de la calculatrice: CASIO: OPTN / PROB / x! - TI: Exercices d'alication a) Donner les factorielles des remiers entiers. Quelle(s) remarque(s) eut-on faire?,n ,n! Remarque(s) générale(s): La factorielle n'est as une relation de roortionnalité entre n et n!. La relation serait lutôt de tye exonentielle. La formule de Stirling est une bonne aroximation de n! Pour les nombres élevés: Pour n +, n! S(n) avec S(n) = (2 π n) ( n / e ) n, le nombre e étant e 1 2,718 Pour n = 10, on a déjà S(10) = 9869,619 b) Simlifier A = 2! / 21!. En écrivant A sous la forme d'une fraction, on eut simlifier le numérateur et le dénominateur. Il vient finalement: A = ( ) / ( ) = 22 2 c) Simlifier B n = ( n + 1 )! / ( n 1 )! De la même façon que our A, on eut écrire B comme: B n = n ( n + 1 ) 2! d) Simlifier C = 20!! De la même façon, on eut simlifier l'écriture de C. On obtient finalement: C = M. Basnary Maths Dénombrement Page n /9

4 1. Activités III - Arrangement On ourra considérer un tirage sans remise our lequel l'ordre de tirage comte. a) Sur 1 seule course de huit coureurs, combien de odium différents eut-il y avoir? Étae n i 1 ère lace 2 nde lace ième lace On eut donc construire: soit 6 odiums ossibles différents b) Sur 10 arentis arrivant en classe, de combien de façon différentes euvent arriver les 4 remiers? Étae n i 1 ère lace 2 nde lace ième lace 4 ème lace Il y a = 10! / 6! = 10! / ( 10 4 )! façons d'arriver soit 040 façons c) De combien de façon différentes uis-je sortir cartes d'un jeu de 2 cartes en tenant comte de l'ordre de sortie? Étae n i 1 ère carte 2 nde carte ième carte 4 ème carte ième carte Nbre de choix Soit = 2! / (2 )! ossibilités soit ossibilités. 2. Définition d'un arrangement Un arrangement de éléments choisi armi n éléments est une -liste dans laquelle les deux éléments sont deux à deux distincts. Il ne eut as y avoir réétition d'un même élément au sein de cette -liste. Le nombre d'arrangement de éléments choisis armi n éléments vérifient la relation suivante: A n =n n 1 n 1 = n! n! On eut arler également de tirage successif sans remise our lequel l'ordre de tirage comte. Touche calculatrice: CASIO: OPTN / PROB / npr TI:.... Exercices d'alication a) On considère un code à 4 chiffres distincts choisis armi les chiffres 0 à 9. Donner le nombre total de codes ossibles. On choisit 4 chiffres armi 10 (de 0 à 9) en effectuant un tirage SANS remise et our lequel l'ordre du tirage COMPTE (le code 124 est différent du code 214). La réonse est la même que our l'ordre d'arrivée des 4 arentis en classe soit 040 codes différents. b) Donner le nombre total de tiercé dans l'ordre ossible sur une course de 10 chevaux au déart. On choisit chevaux armi 10 en effectuant un tirage SANS remise our lequel l'ordre du tirage COMPTE. On obtient ainsi A 10 ossibilités soit 720 tiercés ossibles. c) Un internaute utilise un mot de asse de 8 caractères dont les remiers sont des lettres et les derniers des chiffres comris en 0 et 9. En considérant les lettres distinctes et les chiffres distinctes, donner le nombre total de mots de asse ossible. Pour les remiers caractères, c'est un arrangement de lettres armi les 26 lettres de l'alhabet. Pour les dernières caractères, c'est un arrangement de chiffres armi les 10 chiffres roosés. On a donc = A 26 A 10 = mots de asses ossibles. M. Basnary Maths Dénombrement Page n 4/9

5 1. Activités IV - Permutation a) Combien de odium différents forment-on avec athlètes différents? Étae n i 1 ère lace 2 nde lace ième lace ossibles 2 1 On eut donc construire 2 1 =! soit 6 odiums différents b) Sur un camembert de trivial-ursuit, de combien de façons différentes eut-on lacer les 6 ortions de camembert de différentes couleurs? Étae n i 1 ère ort 2 nde ort ième ort 4 ème ort ième ort 6 ième ort Nbre de choix On eut lacer de 6! = 720 façons différentes les 6 ortions de camemberts. c) Dans un jeu de 2 cartes, de combien de manières différentes eut-on aligner les cartes de? Cela est équivalent à faire un tirage SANS remise de huit cartes de armi les huit cartes d'un jeu de 2 cartes, et our lequel l'ordre du tirage COMPTE. Le nombre de ossibilités est donc: = 8! = 4020 ossibilités. 2. Définition d'une ermutation Une ermutation est un arrangement de éléments choisi armi n = éléments. Le nombre de ermutation de éléments est donc: A = P =!. Exercices d'alication a) Le mot LOGARITHME est constitué de 4 voyelles et 6 consonnes. De combien de façons différentes eut-on réarranger ces 10 lettres (Exemle: GRAMOHELIT est une autre façon.) Les 10 lettres du mot logarithme sont toutes différentes. Cela revient donc à faire un arrangement de 10 lettres choisies armi 10 lettres distinctes. Le nombre d'arrangement est donc: P 10 = arrangements différents ossibles. b) On considère 12 ersonnes autour d'une table. Donner le nombre de disosition différentes de ces douze ersonnes autour de la table. En considérant reas ar jour, donner le tems nécessaire our que toutes les disositions aient été réalisées une et une seule fois. Le nombre de disosition différente est 12! = On considérant trois reas ar jours, le tems nécessaire our que toutes les disositions aient été réalisées une et une seule fois est de années... M. Basnary Maths Dénombrement Page n /9

6 V - Combinaisons 1. Définition et notation du nombre de combinaisons Une combinaison de éléments armi n est une façon de choisir éléments armi n éléments our lequel l'ordre de tirage n'a aucune imortance. Si on renait en comte l'ordre de tirage, le nombre de combinaisons serait le nombre d'arrangement A n. Mais les éléments euvent être arrangés de! manières différentes (le nombre de ermutations). Le nombre de combinaisons de éléments armi n est: C n = A n! = n! n!! On eut arler également de tirage successif sans remise. L'ordre de tirage ne comte as. Touche calculatrice: CASIO: OPTN / PROB / ncr TI: Activités a) Au oker, combien de combinaisons de cartes eut-on extraire d'un jeu de 2 cartes? Par alication directe de la formule C 2 = combinaisons. b) Sur un srint olymique de 8 coureurs, de combien de manières différentes eut-on choisir les trois médaillés? (i.e combien il y a de façons différentes de choisir ersonnes armi 8?) Par alication directe de la formule C 8 = 6 combinaisons. c) Au loto, combien y-a-t-il de combinaisons de 6 numéros armi les 49 boules? Par alication directe de la formule C 49 6 = combinaisons. d) En classe, de combien de manière différentes je eux choisir deux arentis armi 10 arentis? On effectue un tirage SANS remise de 2 arentis armi 10 arentis. C'est un tirage our lequel l'ordre NE COMPTE PAS. C'est donc une combinaison de 2 arentis armi 10 arentis, soit C 10 2 = 4 combinaisons.. Exercices d'alication a) Donner le nombre total de tiercé dans le désordre ossibles sur une course de 10 chevaux? Par alication directe, c'est un tirage SANS remise our lequel l'ordre de tirage ne comte as donc nous avons C 10 = 120 combinaisons ossibles. b) Donner le nombre total de mains de cartes choisies dans un jeu de 2 cartes? Par alication directe, c'est un tirage SANS remise our lequel l'ordre de tirage ne comte as donc nous avons C 2 = mains ossibles. c) 1 candidats se résentent à un concours comortant 8 laces. La liste des reçus est ubliée ar ordre alhabétique. Combien y a t il de listes ossibles? C'est de nouveau un tirage SANS remise. L'ordre d'admission ne comte as uisque les candidats sont classés ar ordre alhabétique. Il en aurait été différent si les candidats étaient classés ar leur résultat au concours. Nous avons donc C 1 8 = 64 listes ossibles. M. Basnary Maths Dénombrement Page n 6/9

7 VI - Proriétés des combinaisons 1. Triangle de Pascal ou tableau des combinaisons: = n = n!! n! Consigne(s): En utilisant les fonctionnalités de votre calculatrice (CASIO: otn / rob / ncr), comléter le tableau ci-dessous. Pour la dernière colonne, vous donnerez la somme S n suivante: =n S n = =0 (somme des valeurs obtenues sur une même ligne). On exrimera cette somme sous la forme du uissance de 2, ar exemle 8 = 2. n S n = = = = 2 16 = = = = = = = Proriétés associées aux combinaisons. Diagonale(s) = n 1 et = n Consigne(s): A artir du triangle de Pascal ci-dessus, déduire les roriétés quelque soit n et : Indication Formule Résultat Indication Formule Résultat Colonne our = 0 0 = 1 Diagonale our = n n = 1 Colonne our = 1 1 = n Colonne our = n 1 n 1 = n Valeur our =1 et n 1 1 = n 1 Valeur our et n (Exemle: n = 10) = n Somme (Ex: n = 8) = 2 n Formule du triangle C n =C 1 n 1 1 M. Basnary Maths Dénombrement Page n 7/9

8 . Déveloement de (1 t) n our les remières valeurs de n. Consigne(s): Déveloer (1 t) n en ordonnant les termes ar uissances croissantes de t. Quelle(s) remarque(s) eut-on faire sur les coefficients devant les termes t n? n = 2 (1 t) 2 = (1 t) (1 t) = 1 2 t + t 2 n = (1 t) = (1 t) 2 (1 t) = (1 2 t + t 2 ) (1 t) = 1 t + t 2 t n = 4 (1 t) 4 = (1 t) (1 t) = 1 4 t + 6 t 2 4 t + t 4 n = (1 t) = (1 t) 4 (1 t) = 1 t + 10 t 2 10 t + t 4 t Remarque(s) sur les coefficients de t n? Signe du coefficient + (res. ) our n air (res. imair) Sans considérer leur signe, les coefficients sont les valeurs. 4. Formule du binôme, coefficients dans le déveloement de ( a + b ) n Le triangle de Pascal ermet raidement de trouver les coefficients du déveloement de ( a + b ) n. Prenons l'exemle avec ( a + b ) qui contient termes en facteurs: ( a + b ) = ( a + b ) ( a + b ) ( a + b ) ( a + b ) ( a + b ) ( a + b ) En déveloant cette formule, on tombera ar exemle sur un terme du tye a b 2. De combien de manière ossible eut-t-on tomber sur ce terme en déveloant ( a + b ). Cette question revient au nombre de façons de choisir termes contenant a armi les termes en facteurs, ou bien au nombre de façons de choisir 2 termes contenant b armi les termes en facteurs. Le résultat est: C = C 2 = 10.. Activités Consigne(s): A artir du triangle de Pascal, donner la forme déveloée des exressions cidessous: Exression Forme déveloée ( a + b ) 2 =,a ab + b 2 ( a b ) 2 = ( a + ( b) ) 2 = a 2 2 ab + b 2 ( a + b ) =,a + a 2 b + ab 2 + b ( a b ) = ( a + ( b) ) = a a 2 b + ab 2 b ( 1 + 2x ) = ( 1 + (2x) ) = 1 + 2x + 4x x ( t + 1 ) = ( (t) + 1 ) = 27 t + 9t 2 + t + 1 ( x + y ) =,x + x 4 y + 10 x y x 2 y + xy 4 + y (1 + 1) 4 = = 16 = 2 4 La formule du binôme et son cas articulier our (1 + 1) n s'écrivent: =n a b n = =0 =n a b n = =0 =n C n a n b et 2 n = =0 M. Basnary Maths Dénombrement Page n 8/9

9 1. Récaitulatif VII - Tableau récaitulatif Consigne(s): En utilisant les résultats récédents donnant les roriétés et définitions des différentes notions que sont la P-liste, l'arrangement, la ermutation ou bien la combinaison, comléter le tableau ci-dessous qui donnent les informations suivantes: Le tirage associé est-il AVEC ou SANS remise? L'ordre du tirage est-il imortant ou as? Quel est le nombre de choix différents ossibles. Notions P-liste : liste de éléments armi n éléments A n : Arrangements de éléments armi n éléments P : Permutations de éléments : Combinaisons de éléments choisis armi n éléments. 2. Alication directe a) Les échecs Tirage avec ou sans remise L'ordre du tirage est-il imortant? Nombre de choix ossibles AVEC OUI,n SANS OUI A n = n! / ( n )! SANS OUI P =! SANS NON a) De combien de façon différentes eut-on lacer le roi, la reine, le fou, le cavalier et la tour sur les remières cases de la remière ligne d'un échiquier? C'est un lacement sans remise et our lequel la osition comte. On donc A = P =! = 120 disosition différentes. b) De combien de façon différentes eut-on lacer le roi, la reine, le fou, le cavalier et la tour sur la remière ligne de l'échiquier? C'est un lacement sans remise et our lequel la osition comte. On donc A 8 = 6720 disositions différentes. = A n /! = n! / [ ( n )!! ] c) De combien de façon différentes eut-on lacer 4 ions blancs sur la seconde ligne d'un échiquier? C'est un lacement sans remise our lequel l'ordre de tirage ne comte as arce que les 4 ions sont indiscernables. C'est donc une combinaison qu'il faut calculer. On a donc C 8 4 = 70 disositions différentes. d) De combien de façon différentes eut-on lacer 6 ions noirs sur la 7ième ligne d'un échiquier? C'est un lacement sans remise our lequel l'ordre de tirage ne comte as arce que les 4 ions sont indiscernables. C'est donc une combinaison qu'il faut calculer. On a donc C 8 6 = 28 disositions différentes. e) De combien de façons différentes eut-on lacer les deux fous noirs sur la 8ième ligne de l'échiquier? C'est un lacement sans remise our lequel l'ordre de tirage ne comte as arce que les 4 ions sont indiscernables. On a donc C 8 2 (les fous) = C 8 6 (les cases vides) = 28 disositions. M. Basnary Maths Dénombrement Page n 9/9