Chapitre 2.2 La réflexion et les miroirs plans

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1 Chapitre. La réfleion et les miroirs plans La loi e la réfleion La réfleion est le phénomène ui permet à la lumière e subir un changement e irection à la rencontre une interface principalement ans la irection perpeniculaire à la surface afin e emeurer ans le milieu origine. Une réfleion est spéculaire lorsu elle répon à la loi e la réfleion ( ' et se comporte alors comme un miroir. Une réfleion est iffuse lorsue la lumière est réfléchie ans ifférentes irections. Un objet ui n est pas une source e lumière se comporte comme un objet réel lorsu il réfléchi e façon iffuse la lumière provenant e son environnement. Réfleion spéculaire La sphère réfléchie la lumière ambiante comme un miroir. Réfleion iffuse La poussière éposée sur la Lune réfléchie la lumière irectionnelle provenant u Soleil ans toutes les irections. La loi e la réfleion permet évaluer l angle e réfleion ' à partir un angle incience un raon e lumière par rapport à la normale à la surface (perpeniculaire à la surface. Le trajet optiue respect le principe e Fermat : où ' ' : Angle e réfleion par rapport à la normale à la surface. : Angle incient par rapport à la normale à la surface Un faisceau parallèle emeure parallèle après une réfleion sur un miroir. Preuve : Consiérons un objet ponctuel ui émet e la lumière ans toutes les irections. Étuions la trajectoire e la lumière ui réfléchie sur une surface plane et ui passe par un point P. Grâce au principe e Fermat, évaluons la trajectoire e la lumière ui minimise le temps e parcours t afin établir un lien entre l angle incience et l angle e réfleion. P Trajectoire hpothétiue * Objet ponctuel Surface réfléchissante Référence : Marc Séguin, Phsiue XXI Tome C Page Note e cours réigée par : Simon Vézina

2 Puisue la lumière voage toujours ans le même milieu, elle se éplace onc à vitesse constante c. À partir es éuations u MUA, nous pouvons éterminer la relation suivante entre le temps e parcours t et la istance à parcourir D, car la lumière voage en ligne roite : vt ( D ( ct t ( D D / c + P * D D À partir u théorème e Pthagore, nous pouvons évaluer la istance D à partir e et et la istance D à partir e et : P ( D D +, constante et ( D D +, constante Important : + constante, onc + 0 * Dans le calcul, les variables libres sont et. Ces variables étermineront l enroit où se prouira la réfleion le long u miroir. Appliuons la érivée à l éuation u temps e parcours t précéente et égalisons la à zéro afin e trouver la solution ui minimise le temps e parcours : t 0 (Minimiser t D + D 0 c c ( 0 D + D + D ( 0 (Remplacer (Factoriser /c D (Multiplier par c ( D + D + ( D + D 0 D D t c + f f (Différentiel : f (, + D D (Distribuer la érivée ( ( 0 et (Séparer les termes ( 0 Référence : Marc Séguin, Phsiue XXI Tome C Page Note e cours réigée par : Simon Vézina

3 Lorsu on recherche la position où se prouit la réfleion sur la surface, il faut faire varier par et par. Étant onné ue et se partage un espace constant ( + constante, les variations e ces eu variables sont toujours e sens contraire (si, alors. On peut onc affirmer la relation suivante : + 0 Cette relation nous permet alors obtenir : ( + + ( + ( ( ( + + (Éuation précéente (Remplacer (Simplifier (Pthagore : (Dérivée :,,, D + ( ( n f n f ( ( n (Dérivée : n n n f ( + + (Simplifier facteur + + (Multiplier pour retirer énomi. ( ( + + (Mettre au carré + + (Distribution (Soustraire (Appliuer racine (primer en / tan( ( ( tan ( / tan (Solution uniue P * Bonne trajectoire (schéma e la bonne trajectoire Référence : Marc Séguin, Phsiue XXI Tome C Page 3 Note e cours réigée par : Simon Vézina

4 L angle e éviation Lorsu un raon e lumière subit un changement e irection, il est alors évié e sa trajectoire rectiligne origine ont l orientation est selon un angle φ i par un angle e éviation δ ce ui lui onne une orientation selon un angle f. La éviation correspon alors à la soustraction entre l orientation finale et l orientation initiale : φ + φ δ δ φ φ ou bien où δ : Angle e éviation un raon (egré ou ra φ : Orientation initiale un raon (egré ou ra φ : Orientation finale un raon (egré ou ra ± φ L orientation un raon est basée sur le cercle trigonométriue. emple : ( φ 0 et φ δ i φ δ 45 δ 90 δ 35 δ 80 Situation : Une ouble réfleion. Un raon ont l orientation initiale est φ i 35 est réfléchi par un miroir horizontal, puis par un secon miroir incliné à 5 par rapport au premier (schéma cicontre. On ésire éterminer (a l angle e éviation total par rapport au raon initial ainsi ue (b l orientation finale u raon (après la secone réfleion Évaluons l angle e réfleion ' à partir e la loi e la réfleion et l orientation initiale φ i : (avec angle en valeur absolue ' ( ' φ (80 o ans triangle (Remplacer val. num. ( ' 55 (Évaluer ' ' φ ' φ 55 δ 35 φ Évaluons l angle e réfleion ' : ' (Loi e la réfleion ' ( 90 β 90 ( φ α (Angle roit ' 80 (80 o ans triangle ' 90 + φ + α (Simplifier ' 90 + ( 90 ' + α ( 55 ' + ( 5 (Angle roit (Simplifier et rempl. ' ' φ 35 ' δ φ 35 α φ β δ ' 30 5 Référence : Marc Séguin, Phsiue XXI Tome C Page 4 Note e cours réigée par : Simon Vézina

5 Nous pouvons évaluer la éviation u raon incient en effectuant les calculs suivants : δ 80 ' δ 80 ( 55 ( 55 δ 70 δ 80 ' δ 80 ( ( δ δ + δ tot δ δ ( 70 + ( tot δ 30 (a tot φ 35 ' δ φ 35 α φ ' β δ φ f δ tot f f i ( 30 f ( 35 δ tot 30 Remarue : f 95 (b f On réalise ue la éviation un raon sous une réfleion correspon à δ 80 où δ est la éviation u raon sous une réfleion et est l angle incience u raon réfléchi. La position es images avec réfleion sur un miroir plan La position une image associée à la réfleion sur un miroir plan un objet (réel ou virtuel est située face à l objet e l autre côté u miroir : p où Convention : Preuve : : Distance entre l image et le miroir (m p : Distance entre l objet et le miroir (m p > 0 : objet réel p < 0 : objet virtuel p > 0 < 0 objet réelle image virtuelle Consiérons un objet situé à une istance p D un miroir. Lançons un ier raon perpeniculairement sur la surface u miroir et un ième à un angle α par rapport à l autre raon. C est eu raons toucherons le miroir séparé par une istance tel ue tαn ( α. D miroir > 0 p < 0 > 0 : image réelle < 0 : image virtuelle objet réel α p D image réelle objet virtuelle miroir Référence : Marc Séguin, Phsiue XXI Tome C Page 5 Note e cours réigée par : Simon Vézina

6 n appliuant la loi e la réfleion, le ier raon est évié un angle δ 80 (revient sur ses pas et le ième sera évié un angle δ 80 α (remarue précéente car nous avons les relations égalité suivante entre nos angles : α (angle alterne-interne ' (loi e la réfleion objet réel α ' p D Si l on prolonge u côté virtuel nos eu raons réfléchis, nous trouvons un point intersection à une istance u miroir ont le croissement fait un angle α par rapport au ier raon. Par une analse e triangle semblable, nous pouvons émontrer ue p : tan ( β tan( ' (angle corresponant tan ( (loi e la réfleion tαn ( α (angle alterne-interne ' image objet virtuelle réel α (éfinition tangente b D p D D D (Simplifier p (Remplacer p D p (Appliuer conven. signe Une réfleion multiple et procéure itérative Cette émonstration est effectuée avec un objet réel, mais elle reste valable avec un objet virtuel. Après une réfleion sur un miroir, l image formée evient source un faisceau ivergent et joue le rôle objet pour une secone éviation. L éuation précéente s appliue seulement si le secon miroir se retrouve ans le champ e réfleion u premier miroir. Double réfleion Réfleion simple miroir objet réel objet réel miroir image virtuelle image virtuelle miroir image virtuelle miroir pas image virtuelle Référence : Marc Séguin, Phsiue XXI Tome C Page 6 Note e cours réigée par : Simon Vézina

7 Pour trouver l ensemble es images formées à partir un objet réel initial, il faut itérer sur l ensemble es possibilités amissibles e réfleion. Selon la configuration es miroirs, nous pouvons observer un nombre fini ou infini image. Deu miroirs plans ont l angle ui les sépare est inférieur e 60 o. (5 images Boîte avec un miroir au fon et une plaue semi-transparente à l avant. (nombre infini images Situation : Combien images? On place un objet réel entre eu miroirs ui font un angle e entre eu. On ésire représenter la situation sur un schéma en iniuant la position e toutes les images ui se forment. (On peut placer l objet n importe où entre les eu miroirs. M C A M B Les 5 images sont virtuelles D F A : objet réel; B : image e A ans le miroir M C : image e A ans le miroir M D : image e B ans le prolongement u miroir M : image e C ans le miroir M F : image e ans le prolongement u miroir M ou image e D ans le prolongement u miroir M Toutes les autres réfleions se superposent sur les images éjà eistantes (images toutes localisées. La réfleion sous forme vectorielle (complément informatiue À l aie une représentation vectorielle un raon, un raon incient v à une normale à la surface N peut être réorienté ans la irection R par la loi e la réfleion grâce à l éuation suivante : R v + ( N N v et raon incient v N point e surface où il a réfleion où R : Orientation u raon réfléchi (vecteur unitaire, R. v : Orientation u raon incient (vecteur unitaire, v. N : Orientation e la normale à la surface (vecteur unitaire, N. : Orientation inverse u raon incient (vecteur unitaire,. R raon réfléchi Référence : Marc Séguin, Phsiue XXI Tome C Page 7 Note e cours réigée par : Simon Vézina

8 Preuve : Consiérons un raon incient orientation (vecteur unitaire v se irigeant vers une surface ont la normale est orientée selon le vecteur N tel u illustré sur le schéma cicontre. Évaluons le vecteur réfléchi R à l aie u vecteur en respectant la loi e la réfleion étant R v raon incient v cos ( N R R raon réfléchi R où R représente l angle entre le raon réfléchi et la normale à la surface et représente l angle entre le raon incient inversé et la normale à la surface. point e surface où il a réfleion v Puisue la réfleion nécessite inverser la composante u vecteur v orientée selon la normale N, nous réalisons ue cos ( correspon au moule e la composante e v parallèle à N puisue v. n ajoutant eu fois cette contribution ans le sens e la normale N au vecteur v sous la forme un changement e irection R, nous obtenons le vecteur R : R v + R R v + cos( N (Remplacer R cos( N R v + cos( N N (Remplacer et N N N R v + N cos( N (Réorganisation R v + ( N N (Remplacer N N cos ( > 0 Référence : Marc Séguin, Phsiue XXI Tome C Page 8 Note e cours réigée par : Simon Vézina