Chapitre 11. Fonctions sinus et cosinus

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1 I. Rappels Chapitre. Fonctions sinus et cosinus (rappels et compléments) On rappelle ici les principau résultats en trigonométrie établis dans les classes précédentes. ) Enroulement de l ae réel sur le cercle trigonométrique Le plan est rapporté à un repère orthormé direct(o, I, J) ou encore(oxy). Le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon, orienté dans le sens direct. En «enroulant» l ae des réels autour du cercle trigonométrique, on constate qu à tout réel est associé un et un seul point du cercle trigonométrique. Inversement, tout point du cercle trigonométrique est associé à une infinité de réels. Plus précisément, si le point M du cercle trigonométrique est associé à un certain réel 0, alors les réels associés au point M sont les réels de la forme 0 +k où k est un entier relatif. Si M est un point du cercle trigonométrique, tout réel associé à M par ce procédé est par définition une mesure en radian de l angle orienté( I, OM). L ensemble des mesures en radian de l angle orienté( I, OM) est donc l ensemble des réels de la forme 0 +k, k Z, où 0 est une mesure en radian de l angle orienté( I, OM). M Y X Eercice. Une mesure en radian d un angle orienté est 48. Déterminer la mesure de cet angle qui appartient à l intervalle[0,[ et la mesure qui appartient à],]. Solution. Les mesures en radian d un angle de mesure 48 Soit k un entier relatif. sont les réels de la forme 48 +k, k Z. Jean-Louis Rouget, 05. Tous droits réservés. http ://

2 0 48 +k< 48 k< 48 + (en soustrayant 48 à chaque membre de l encadrement) k< + (en divisant chaque membre de l encadrement par) 48 k< ,... k<,... k = 4(car k est un entier relatif). Ensuite, 48 +( 4)= 48 48= 48 La mesure en radian d un angle de mesure = 4. qui appartient à[0,[ est 4. En retranchant encore un tour, on obtient la mesure en radian d un angle de mesure 48 4 = 4 =. qui appartient à],] : ) Définition du sinus et du cosinus d un nombre réel Définition. Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct(o, I, J) ou encore(oxy). Soient un réel puis M le point du cercle trigonométrique associé à. Le cosinus du réel est l abscisse de M et le sinus du réel est l ordonnée de M : cos()=x M et =Y M. M cos() cos()=x M =Y M ) Formules de trigonométrie a) Relation fondamentale Théorème. ) Pour tout réel, cos ()+sin ()=. ) En particulier pour tout réel, cos() et. Eercice. a est un réel de l intervalle[,] dont le sinus est égal à. Calculer son cosinus. 5 Solution. cos (a)= sin (a)= ( 5 ) Comme a [,], on a en particulier cos(a)<0 et finalement = 9 5 = 5 et donc cos(a) est l un des deu réels 4 5 ou 4 5. cos(a)= 4 5. Jean-Louis Rouget, 05. Tous droits réservés. http ://

3 b) Valeurs usuelles On doit connaître les valeurs suivantes des fonctions sinus et cosinus : = cos() = 0 Remarque. La ligne des sinus s écrit : c) Arcs associés 0,,, et 4. Théorème (addition d un tour). Pour tout réel, cos( + ) = cos() et sin( + ) =. Plus généralement, pour tout réel et tout entier relatif k, cos( + k) = cos() et sin( + k) =. En effet, les réels et + sont associés à un même point du cercle trigonométrique. Théorème (angles opposés). Pour tout réel, cos( ) = cos() et sin( ) =. On visualise ce résultat sur le dessin suivant : O sin( ) = cos( ) = cos() Théorème 4 (angles supplémentaires). Pour tout réel, cos( )= cos() et sin( )=. L «angle» supplémentaire de est l «angle» qu il faut rajouter à pour obtenir l «angle plat» à savoir. Cet angle supplémentaire a pour mesure puisque +( ) =. On visualise le résultat précédent sur le dessin suivant : Jean-Louis Rouget, 05. Tous droits réservés. http ://

4 sin( )= cos( ) = cos() O cos() Théorème 5 (addition d un quart de tour direct). Pour tout réel, cos(+ )= et sin(+ )=cos(). On visualise le résultat précédent sur le dessin suivant : sin(+ ) = cos() + cos(+ ) = O cos() Théorème (angles complémentaires). Pour tout réel, cos( )= et sin( )=cos(). L «angle» complémentaire de est l «angle» qu il faut rajouter à pour obtenir l «angle droit» à savoir. On visualise le résultat précédent sur le dessin suivant : sin( ) = cos() O cos( ) = cos() Jean-Louis Rouget, 05. Tous droits réservés. 4 http ://

5 Eercice. Calculer les nombres suivants : ) cos( ) ) sin( ) ) sin( 4 ). Solution. ) Un angle de mesure est supplémentaire d un angle de mesure et donc cos( )= cos( )=. En effet, cos( )=cos( )=cos( )= cos( )=. ) sin( 4 )= sin( 4 )= sin(4 4 4 )= sin( 4 )= sin( 4 )=, ou bien sin( 4 )= sin( 4 +)= sin( 4 )=. 4 4 ) Pour calculer sin( ), on cherche d abord un autre réel appartenant à[,[ qui soit une autre mesure de l angle de mesure puis on utilise les différentes relations entre les sinus et cosinus d arcs associés. Soit k un entier relatif. Par suite, +k< 5 k=0. k< + 5 k< 7 9,58... k<0,58... k< 7 sin( )=sin( +0 )=sin( + 0 )=sin( ) = sin( )=. Jean-Louis Rouget, 05. Tous droits réservés. 5 http ://

6 Eercice 4. Simplifier l epression suivante : A= cos( )+sin(+ ) 7sin( )+sin(+)+sin( ) Solution. A= cos( )+sin(+ ) 7sin( )+sin(+)+sin( ) = ( cos())+cos() 7cos()+sin(+)+( )= 4cos() = 4cos() 5. On a montré que pour tout réel, A = 4 cos() 5. d) Formules d addition. Formules de duplication On rappelle maintenant les formules d addition et de duplication établies en classe de première S. Théorème 7 (formules d addition). ) Pour tous réels a et b, cos(a+b)=cos(a)cos(b) sin(a)sin(b) et cos(a b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b). ) Pour tous réels a et b, sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b) et sin(a b)=sin(a)cos(b) cos(a)sin(b). Eercice 5. Calculer cos( ) et sin( ). Solution. et cos( )=cos( )=cos( 4 )=cos( 4 )cos( )+sin( 4 )sin( ) = + + =, 4 On a montré que sin( )=sin( )=sin( 4 )=sin( 4 )cos( ) cos( 4 )sin( ) = =. 4 cos( )= + 4 et sin( )=. 4 Eercice. Simplifier l epression cos(a )+cos(a)+cos(a+ ), a R. Solution. Soit a un réel. cos(a )+cos(a)+cos(a+ )=cos(a) cos( )+sin(a) sin( )+cos(a) +cos(a) cos( ) sin(a) sin( ) = cos(a)+cos(a)+ cos(a)=0. On a montré que pour tout réel a, cos(a )+cos(a)+cos(a+ )=0. Jean-Louis Rouget, 05. Tous droits réservés. http ://

7 Théorème 8 (formules de duplication). ) Pour tout réel a, cos(a)=cos (a) sin (a)=cos (a) = sin (a). ) Pour tout réel a, sin(a) = sin(a) cos(a). Eercice 8. Calculer cos( 8 ) et sin( 8 ). Solution. D après les formules de duplication Par suite, cos ( 8 )= (+cos( 4 ))= (+ l un des deu nombres cos( 4 )=cos( 8 )=cos ( 8 ). + + = ou 4 )= + +. De plus, 8 appartient à l intervalle[0, ] et donc cos( ) 0. Par suite, 8 cos( 8 )= +. = +. On en déduit que cos( 4 8 ) est De même, Par suite, sin ( 8 )= ( cos( 4 ))= ( l un des deu nombres cos( 4 )=cos( 8 )= sin ( 8 ). = ou 4 )=. De plus, 8 appartient à l intervalle[0, ] et donc sin( ) 0. Par suite, 8 sin( 8 )=. =. On en déduit que sin( 4 8 ) est e) Résolution d équations trigonométriques Théorème 9. ) Pour tous réels a et b, cos(a)=cos(b) il eiste k Z tel que b=a+k ou il eiste k Z tel que b= a+k. ) Pour tous réels a et b, sin(a)=sin(b) il eiste k Z tel que b=a+k ou il eiste k Ztel que b= a+k. Eercice 9. Résoudre dans R puis dans[0,] les équations suivantes : ) cos()=. ) =. ) =. 4) cos( )=. 5) = cos(). Solution. ) Soit un réel. cos()= cos()=cos( ) il eistek Ztel que = +k ou il eistek Ztel que = +k. Jean-Louis Rouget, 05. Tous droits réservés. 7 http ://

8 Les solutions dans R de l équation cos()= sont les nombres de la forme +k, k Z et les nombres de la forme +k, k Z. Cherchons maintenant parmi ces nombres ceu qui appartiennent à[0,]. Soit k un entier relatif. 0 +k k + k + k=0. Pour k=0, on obtient la solution. Ensuite, 0 +k k + k + k=. Pour k=, on obtient la solution 4. Les solutions dans[0,] de l équation cos()= sont et 4. ) Soit un réel. = =sin( ) il eistek Ztel que = +k ou il eistek Ztel que= +k Les solutions dans R de l équation = sont les nombres de la forme +k, k Z et les nombres de la forme 5 +k, k Z. Cherchons maintenant parmi ces nombres ceu qui appartiennent à[0,]. Soit k un entier relatif. 0 +k k + k + k=0. Pour k=0, on obtient la solution. Ensuite, 0 5 +k 5 k k 5 + k=0. Pour k=0, on obtient la solution 5. Les solutions dans[0,] de l équation = sont et 5. ) Soit un réel. = =sin( ) il eistek Ztel que= +k ou il eistek Ztel que= ( )+k il eistek Ztel que= 9 + k ou il eiste k Ztel que= k Les solutions dans R de l équation = sont les nombres de la forme 9 + k, k Z et les nombres de la forme k, k Z. Cherchons maintenant parmi ces nombres ceu qui appartiennent à[0,]. Soit k un entier relatif k 9 k k 9 + k + k {;;}. Pour k=, k= ou k=, on obtient les solutions 5 9, 9 et 7 9. Ensuite, Jean-Louis Rouget, 05. Tous droits réservés. 8 http ://

9 k 4 9 k k k + k {0;;}. Pour k=0, k= ou k=, on obtient les solutions 4 9, 0 9 Les solutions dans[0,] de l équation = 4) Soit un réel. et 9. sont 4 9, 5 9, 0 9, 9, 9 et 7 9. cos( )= cos( )=cos( ) il eistek Ztel que = +k ou il eistek Ztel que = +k il eistek Ztel que= +4k ou il eistek Ztel que= +4k. Les solutions dans R de l équation cos( )= sont les nombres de la forme +4k, k Z et les nombres de la forme +4k, k Z. Cherchons maintenant parmi ces nombres ceu qui appartiennent à[0,]. Soit k un entier relatif. 0 +4k 4k + k 7 Il n eiste pas d entier relatif k tel que k 7 et donc aucun des nombres de la forme +4k, k Z, n appartient à l intervalle[0,]. Ensuite, Pour k=0, on obtient les solutions. 0 +4k 4k + k 5 k=0. L équation cos( )= admet une solution et une seule dans[0,] à savoir. 5) Soit un réel. =cos() cos()=cos( ) il eistek Ztel que = +k ou il eistek Ztel que= ++k il eistek Ztel que = +k ou il eistek Ztel que = +k il eistek Ztel que = + k ou il eiste k Ztel que= +k Les solutions dans R de l équation =cos() sont les nombres de la forme + k, k Z et les nombres de la forme +k, k Z. Les nombres de la forme + k, k Z qui appartiennent à[0,] sont obtenus quand k {0;;}. Ce sont les nombres, 5 et 9 =. Les nombres de la forme +k, k Z qui sont dans[0,] sont obtenus quand k=. On obtient de nouveau le nombre. Finalement, les solutions dans[0,] de l équation =cos() sont, 5 et. Jean-Louis Rouget, 05. Tous droits réservés. 9 http ://

10 II. Les fonctions sinus et cosinus ) La fonction sinus Pour chaque réel, on peut calculer le réel. On définit ainsi sur R une nouvelle fonction : la fonction sinus. Les différents résultats de première S sur les arcs associés fournissent entre autres des propriétés de périodicité et de parité de cette fonction. a) Périodicité Théorème 0. Pour tout réel, sin(+)=. On dit que la fonction sinus est -périodique ou encore que la fonction sinus est périodique de période. Commentaire. On ne doit pas dire «la période de la fonction sinus est» mais on doit dire «une période de la fonction sinus est» car il n y a pas unicité d une période. Les nombres 4, et plus généralement tout nombre de la forme k, k Z sont des périodes de la fonction sinus. On peut montrer que est la plus petite période strictement positive de la fonction sinus. Eercice 0. Soit f la fonction définie sur R par : pour tout réel, f()=sin( ). Montrer que la fonction f est périodique de période. Solution. Soit un réel. f(+ )=sin((+ ) )=sin( +)=sin( )=f(). Ainsi, pour tout réel, f(+ )=f() et donc f est périodique de période. Commentaire. Attention à l accent aigu (et pas grave) sur les mots «période» et «périodique». b) Parité Théorème. Pour tout réel, sin( )=. La fonction sinus est donc impaire. Eercice. Soit f la fonction définie sur R par : Etudier la parité de f. pour tout réel, f()=sin (). Solution. Soit un réel. f( )=(sin( )) sin( )sin( )=( ) ( )( ) =sin () =f(). Ainsi, pour tout réel, f( )=f() et donc la fonction f est paire. c) Dérivée Dans ce paragraphe, nous allons déterminer la dérivée de la fonction sinus. Nous avons besoin de deu résultats préliminaires : cos() Théorème. lim = et lim = Commentaire. Les physiciens ont l habitude d utiliser le résultat lim = sous la forme : «pour les petites 0 valeurs de θ, sin(θ) vaut environ θ». C est en particulier ce qu ils font quand ils analysent le mouvement du pendule simple. Démonstration. Grâce à des considérations géométriques, nous allons établir que Jean-Louis Rouget, 05. Tous droits réservés. 0 http ://

11 ]0, [, cos() et donc que ]0, [, cos(). Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct(o, I, J) ou encore(oxy). Soit ]0, [. Soient A, B et M les points de coordonnées respectives(,0),(, cos() ) et(cos(),). Y B M cos() O cos() H A X Tout d abord, cos() B= cos() =Y B et cos() M= cos() cos()==y M. Donc les points O, B et M sont alignés sur la droite d équation Y= cos() X. est la longueur de l arc de cercle joignant le point A au point M et comme le plus court chemin d un point à un autre est la ligne droite, on a déjà AM. D autre part, si on note H le projeté orthogonal du point M sur(ox), H a pour coordonnées(cos(),0). D après le théorème de Pythagore, Finalement, AM= AH +HM HM =HM=. AM. D autre part, l aire du triangle OAB est supérieure ou égale à l aire du secteur angulaire OAM. L aire du triangle OAB est OA OB = (/cos()) =. On rappelle d autre part que l aire d un secteur angulaire cos() de rayon R est d angle en radian α est αr. Donc l aire du secteur angulaire OAM est que cos() et donc cos(). =. On en déduit En résumé, pour tout réel de]0, [,. La deuième inégalité s écrit successivement cos() cos() puis cos() (car cos()>0) et donc cos() (car >0). On a donc montré que ]0, [, cos(). Il est clair géométriquement que quand tend vers 0, cos() tend vers. L encadrement ci-dessus et le théorème des gendarmes permettent alors d affirmer que lim =. Ensuite, 0 >0 et finalement lim 0 <0 = lim y 0 y>0 sin( y) y sin(y) = lim y 0 y y>0 lim =. 0 sin(y) = lim =, y 0 y y>0 Jean-Louis Rouget, 05. Tous droits réservés. http ://

12 cos() Il nous reste à vérifier que lim =0. Nous vous proposons deu démonstrations. 0 cos() Dans ces deu démonstrations, il s agit de ramener le calcul lim au calcul de lim 0 0 formules de trigonométrie. ère démo. grâce à des Soit un réel non nul. On sait que cos()=cos( )= sin ( ) et donc cos() = sin ( ). On en déduit que cos() sin ( = ) = sin( ) ( ) = sin( ), puis en posant y= de sorte que =y, cos() lim = lim sin( ) 0 0 = lim y y 0 (sin(y) y ) = 0 =0. ème démo. Pour tout réel appartenant à],0[ ]0,[, le nombre cos()+ n est pas nul et cos() = (cos() )(cos()+) (cos() + ) = (cos()+) = cos()+ = cos () (cos()+) = sin () (cos() + ) Ensuite, lim = et lim 0 0 cos()+ = 0 cos() =0 et donc lim = Nous pouvons maintenant donner la dérivée de la fonction sinus. Théorème. La fonction sinus est dérivable sur R et pour tout réel, sin ()=cos(). Remarque. Puisque la fonction sinus est dérivable sur R, la fonction sinus est en particulier continue sur R. Démonstration. L égalité lim 0 dérivable en 0 et sin (0)=. Plus généralement, donnons nous un réel 0. Pour h 0, on a sin(0) = s écrit encore lim =. La fonction sinus est donc 0 0 sin( 0 +h) sin( 0 ) h = sin( 0)cos(h)+cos( 0 )sin(h) sin( 0 ) h =sin( 0 ) cos(h) h +cos( 0 ) sin(h). h Quand h tend vers 0, le rapport cos(h) tend vers 0 et le rapport sin(h) tend vers. On en déduit que, quand h h h tend vers 0, le rapport sin( 0+h) sin( 0 ) tend vers 0 sin( 0 )+ cos( 0 )=cos( 0 ). Ceci démontre la h dérivabilité de la fonction sinus en 0 et le fait que sin ( 0 )=cos( 0 ). Théorème 4. ) Soient a et b deu réels. La dérivée de la fonction sin(a + b) est la fonction a cos(a + b). ) Plus généralement, si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, la fonction sin(u()) est dérivable sur I de dérivée la fonction u ()cos(u()). Démonstration. Le ) est un cas particulier du ). Le ) est la conséquence immédiate du théorème donnant la dérivée d une fonction composée du type f u : sa dérivée est u f u. Jean-Louis Rouget, 05. Tous droits réservés. http ://

13 Eercice. Soit f la fonction définie sur R par : Déterminer la dérivée de f. pour tout réel, f()=sin( ). Solution. La fonction est dérivable sur R et la fonction y sin(y) est dérivable sur R. Donc la fonction f est dérivable sur R. f est de la forme sin u où pour tout réel, u()=. Donc, pour tout réel, f ()=u () sin (u())=cos( ). f est dérivable sur R et pour tout réel, f ()=cos( ). d) Etude et graphe de la fonction On rappelle que pour tout réel,. On peut donc se contenter d un ae des ordonnées allant de,5 à,5. On rappelle aussi que =,4..., =,57... et =,8... Utilisation de la périodicité. La fonction est -périodique. Donc, le point de la courbe représentative de la fonction sinus d abscisse + a même ordonnée que le point de la courbe représentative de la fonction sinus d abscisse Cela a pour conséquence qu une fois tracé le graphe de la fonction sinus sur un intervalle de longueur comme [,] par eemple, on obtient le graphe complet en répétant ce morceau déjà tracé ou encore en déplaçant cette portion de courbe horizontalement d une longueur de une ou plusieurs fois vers la droite ou vers la gauche. La périodicité de la fonction permet également de réduire son étude à l intervalle[,]. Utilisation de la parité. La fonction sinus est impaire et donc l origine O est un centre de symétrie de la courbe représentative de la fonction sinus. On peut réduire l étude de la fonction sinus à l intervalle[0,]. Sens de variation sur[0,]. La fonction sinus est dérivable sur[0,] et pour tout réelde[0,],sin ()=cos(). La fonction cosinus est strictement positive sur[0, [, strictement négative sur],] et s annule en. On en déduit le tableau de variation de la fonction sinus. 0 / sin () + 0 sin 0 0 On note que la fonction sinus est strictement croissante sur[0, ] puis, la fonction sinus étant impaire, la fonction sinus est strictement croissante sur[, ]. Tangente parallèle à(o). Les abscisses des points de la courbe représentative de la fonction sinus en lesquels la tangente est parallèle à(o) sont les solutions de l équation f ()=0. Pour [0,], f ()=0 cos()=0 =. Donc, le graphe de la fonction sinus sur[0,] admet un et un seul point en lequel la tangente est parallèle à(o) : Jean-Louis Rouget, 05. Tous droits réservés. http ://

14 le point de coordonnées(,). Tangente en O. sin(0)=0 et donc le graphe de la fonction sinus passe par O. sin (0)=cos(0)= et donc la tangente au graphe de la fonction sinus en O est la droite d équation y=. Symétrie par rapport à la droite déquation =. Pour tout réel de[0,], sin( )=. Cela se traduit par le fait que les points d abscisse et ont la même ordonnée. Comme le milieu de et de est + =, cela signifie que les points d abscisse et sont symétriques par rapport à la droite d équation =. Finalement, le graphe de la fonction sinus admet la droite d équation = Graphe sur[0,]. pour ae de symétrie. y= 7 / 5 4 / / / 4 5 Graphe de la fonction sinus. La courbe obtenue s appelle une sinusoïde. 7 / 5 4 / y= / / 4 5 y= ) La fonction cosinus a) Périodicité Théorème 5. Pour tout réel, cos(+)=cos(). La fonction cosinus est donc -périodique ou encore la fonction cosinus est périodique de période. b) Parité Théorème. Pour tout réel, cos( )=cos(). La fonction cosinus est donc paire. c) Dérivée Nous allons obtenir la dérivée de la fonction cosinus à partir de l égalité cos()=sin(+ ) valable pour tout réel. Théorème 7. La fonction cosinus est dérivable sur R est pour tout réel,(cos) ()=. Démonstration. On sait que pour tout réel, cos()=sin(+ ). D après les théorèmes 4 et 5, la fonction cosinus est dérivable sur R et pour tout réel, cos ()= cos(+ )=. Jean-Louis Rouget, 05. Tous droits réservés. 4 http ://

15 Théorème 8. ) Soient a et b deu réels. La dérivée de la fonction cos(a + b) est la fonction a sin(a + b). ) Plus généralement, si u est une fonction dérivable sur un intervalle I, la fonction cos(u()) est dérivable sur I de dérivée la fonction u ()sin(u()). Démonstration. Le ) est un cas particulier du ). Le ) est la conséquence immédiate du théorème donnant la dérivée d une fonction composée du type f u : sa dérivée est u f u. d) Etude et graphe de la fonction cos() L étude de la fonction cosinus se déduit entre autres de l étude de la fonction sinus à partir de l égalité pour tout réel, cos()=sin(+ ). Cette égalité signifie que le point d abscisse de la courbe représentative de la fonction cosinus a même ordonnée que le point d abscisse + de la courbe représentative de la fonction sinus. On obtient donc un point de la courbe représentative de la fonction cosinus en déplaçant horizontalement un point du graphe de la fonction sinus d une longueur de vers la gauche. cos() sin(+ ) + En déplaçant le graphe de la fonction sinus horizontalement de vers la gauche, on obtient 7 / 5 4 / / / y= cos() 4 5 y= et donc, le graphe de la fonction cosinus est / / / / y= cos() 4 5 On retrouve la -périodicité de la fonction cosinus. La parité de la fonction cosinus est aussi en évidence : la fonction cosinus est paire et donc l ae des ordonnées est un ae de symétrie du graphe de la fonction cosinus. Puisque la fonction cosinus est paire et -périodique, on peut se contenter de l étudier sur[0,]. Sa dérivée est la fonction sinus qui est strictement positive sur]0,[ et s annule en 0 et. Le tableau de variation de la fonction cosinus sur[0, ] est 0 / cos () 0 0 cos 0 En particulier, la fonction cosinus est strictement décroissante sur[0,]. Jean-Louis Rouget, 05. Tous droits réservés. 5 http ://

16 Enfin, la dérivée de la fonction cosinus qui est la fonction sinus s annule en 0, et plus généralement en tous les nombres de la forme k, k Z. Cela se traduit pour le graphe de la fonction cosinus par une tangente parallèle à l ae des abscisses en les points d abscisses k, k Z. ) Un eemple d étude d une fonction trigonométrique Soit f la fonction définie sur R par : Périodicité. Pour tout réel, pour tout réel, f()= cos() cos(). f(+)= cos((+)) cos(+)= cos(+4) cos(+)= cos() cos()=f(). La fonction f est périodique de période. Parité. Pour tout réel, f( )= cos( ) cos( )= cos() cos()=f(). La fonction f est paire. Son graphe est donc symétrique par rapport à l ae des ordonnées. Domaine d étude. Puisque la fonction f est -périodique, on se contente de l étudier sur un intervalle de longueur comme[,] par eemple. De plus, la fonction f est paire et on se contente de l étudier sur[0,]. Dérivée. La fonction f est dérivable sur[0,] en tant que somme de fonctions dérivables sur[0,] et pour tout réel de[0,], f ()= ( )+= += cos()+ =( cos()+). Sens de variation de f. Soit un réel de[0,]. f ()=0 =0ou cos()+=0 =0ou cos()= {0,,}. Pour tout réel de]0,[, >0 et donc pour tout réel de]0,[, f () est du signe de cos()+. Pour tout réel de]0,[, cos()+>0 cos()> cos()< cos()< cos()<cos( ) > (par stricte décroissance de la fonction cosinus sur[0,]). La dérivée de f est donc strictement négative sur]0, [, strictement positive sur],[ et s annule en 0, On en déduit le tableau de variations de la fonction f : et. 0 / f () f 4 f(0)= cos(0) cos(0)= =. f( )= cos( ) cos( )= ( ) = 4 = 4 et f()= cos() cos()= ( )=. Jean-Louis Rouget, 05. Tous droits réservés. http ://

17 Graphe de f. y= f() 7 / 5 4 / / / 4 5 4) Fonctions du type t A cos(ωt + ϕ) Les fonctions du type t Acos(ωt+ϕ) interviennent en physique dans un certain nombre de situations comme dans l étude du pendule simple par eemple. La variable s appelle t car elle désigne le temps. A est l amplitude, ω est la pulsation et ϕ est la phase. Modifier ω revient à modifier la période de la fonction : f(t+ ω )=Acos(ω(t+ ω )+ϕ)=acos(ωt++ϕ)=acos(ωt+ϕ)=f(t). La fonction t Acos(ωt+ϕ) est T-périodique où T=. Si ω augmente, T diminue. ω Eemple de tracé avec A=, ω= et ϕ=. On rappelle le graphe de la fonction t cos(t). y=cos(t) Voici le tracé du graphe de la fonction t cos(ωt)=cos(t). En augmentant ω, la fréquence augmente ou encore la période diminue y= cos(t) Voici le tracé du graphe de la fonction t cos(ωt+ϕ)=cos(t+ ). Le graphe se déplace horizontalement. y=cos(t+ ) Voici le tracé du graphe de la fonction t Acos(ωt+ϕ)=cos(t+ ). Les ordonnées sont multipliées par. L amplitude de la sinusoïde augmente. Jean-Louis Rouget, 05. Tous droits réservés. 7 http ://

18 y= cos(t+ ) ) Primitives des fonctions trigonométriques Théorème 9. ) Les primitives sur R de la fonction cos() sont les fonctions de la forme +k où k est un réel. ) Les primitives sur R de la fonction sont les fonctions de la forme cos()+k où k est un réel. Démonstration. ) La fonction F est dérivable sur R et pour tout réel, F ()=cos(). Donc F est une primitive de la fonction cosinus sur R. On sait alors que les primitives de la fonction cosinus sur R sont les fonctions de la forme +k où k est un réel. ) De même, la fonction F cos() est dérivable sur R et pour tout réel, F ()= ( )=. Donc F est une primitive de la fonction sinus sur R. On sait alors que les primitives de la fonction sinus sur R sont les fonctions de la forme cos()+k où k est un réel. Théorème 0. ) Soient a et b deu réels avec a 0. a) Les primitives de la fonction cos(a+b) sur R sont les fonction de la forme sin(a+b)+k où a k est un réel. b) Les primitives de la fonction sin(a+b) sur R sont les fonction de la forme cos(a+b)+k où a k est un réel. ) Plus généralement, soit u une fonction dérivable sur un intervalle I. a) Les primitives de la fonction u ()cos(u()) sur I sont les fonction sin(u())+k où k est un réel. b) Les primitives de la fonction u ()sin(u()) sur I sont les fonction cos(u())+k où k est un réel. Démonstration. ) a) Pour tout réel, posons F()= sin(a+b). La fonction F est dérivable sur R et d après a le théorème 4, pour tout réel F ()= a acos(a+b)=cos(a+b). Donc la fonction F est une primitive de la fonction cos(a+b) sur R. On sait alors que les primitives sur R de la fonction cos(a+b) sont les fonctions de la forme sin(a+b)+k où k est un réel. a b) Pour tout réel, posons F()= cos(a+b). La fonction F est dérivable sur R et d après le théorème 4, a pour tout réel F ()= a ( asin(a+b))=sin(a+b). Donc la fonction F est une primitive de la fonction cos(a+b) sur R. On sait alors que les primitives sur R de la fonction cos(a+b) sont les fonctions de la forme sin(a+b)+k où k est un réel. a Jean-Louis Rouget, 05. Tous droits réservés. 8 http ://

19 ) a) Pour tout réel de I, posons F()=sin(u()). Puisque la fonction u est dérivable sur I, il en est de même de la fonction F d après le théorème 4, et pour tout réel de I F ()=u ()cos(u()). Donc la fonction F est une primitive de la fonction u ()cos(u()) sur I. On sait alors que les primitives sur I de la fonction u ()cos(u()) sont les fonctions de la forme sin(u())+k où k est un réel. b) Pour tout réel de I, posons F()= cos(u()). Puisque la fonction u est dérivable sur I, il en est de même de la fonction F d après le théorème 4, et pour tout réel de I F ()= ( u ()sin(u()))=u ()sin(u()). Donc la fonction F est une primitive de la fonction u ()sin(u()) sur I. On sait alors que les primitives sur I de la fonction u ()sin(u()) sont les fonctions de la forme cos(u())+k où k est un réel. Remarque. Avec les deu derniers théorèmes s achèvent la liste des formules de primitives de terminale S. Eercice. ) Déterminer une primitive sur R de la fonction f sin( ). ) Déterminer une primitive sur R de la fonction f 4 cos( 5 +). Solution. ) La fonction f est continue sur R et admet donc des primitives sur R. Une primitive de la fonction f sur R est la fonction F définie pour tout réel par F ()= ( cos( ))= cos( ). ) La fonction f est continue sur R et admet donc des primitives sur R. Une primitive de la fonction f sur R est la fonction F définie pour tout réel par F ()= 4 (5 sin( 5 +))= 5 4 sin( 5 +). Eercice 4. ) Déterminer une primitive sur R de la fonction f sin( +). ) Déterminer une primitive sur]0,+ [ de la fonction f cos( ). Solution. ) La fonction f est continue sur R en tant que produit de fonctions continues sur R. Donc la fonction f admet des primitives sur R. Pour tout réel, f ()= sin( +). Si on pose pour tout réel, u()= +, alors pour tout réel, sin( +)=u sin(u()). Une primitive sur R de la fonction sin( +) est donc la fonction cos( +) puis une primitive de la fonction f sur R est la fonction cos( +). ) La fonction f est continue sur]0,+ [ en tant que quotient de fonctions continues sur]0,+ [ dont le dénominateur ne s annule pas sur]0,+ [. Donc la fonction f admet des primitives sur]0,+ [. Pour tout réel, f ()= cos( ). Si on pose pour tout réel strictement positif, u()=, alors pour tout réel strictement positif, cos( )=u cos(u()). Une primitive de la fonction f sur]0,+ [ est la fonction sin( ). Jean-Louis Rouget, 05. Tous droits réservés. 9 http ://