Chapitre 6. Logarithme népérien. 6.1 Activités. Sommaire

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1 Chapitre 6 Logarithme népérien Sommaire 6. Activités Un peu d histoire Logarithme népérien : définition et premières propriétés Définition Propriétés algébriques du logarithme népérien Fonction logarithme népérien Définition Dérivée Courbe représentative Eercices et problèmes Propriétés algébriques Résolutions Études de fonctions comportant ln() Modélisations Repère semi-logarithmique Activités ACTIVITÉ 6... Pour quelles valeurs de k l équation e = k admet-elle des solutions et, dans ce cas, combien de solution a-t-il?. Déterminer à l aide de la calculatrice l arrondi, à 0, des solutions des équations e = et de e = 3. 77

2 6. Activités Terminale ES ACTIVITÉ 6. (Fonctions réciproques). Partie A : Fonction carré On donne sur la figure ci-contre la courbe C de la fonction définie sur [0 ; [ par f ()=. 8. Contruire sur la même figure la droite D d équation =.. Construire sur la même figure la courbe C, smétrique de la courbe C par rapport à la droite D Conjecturer quelle est la fonction usuelle dont C est la courbe On admettra que si le point ( ; ) appartient à C alors son smétrique par rapport à D est le point ( ; ). Prouver alors la conjecture du point précédent. O DÉFINITION. Soit f une fonction définie sur un intervalle I. S il eiste une fonction g telle que, pour tout I, on a g ( f () ) =, alors g est appellée fonction réciproque de f. Elle est parfois notée f. EXEMPLE. Sur [0 ; [, la fonction réciproque de la fonction racine est la fonction carrée car, pour tout [0 ; [, ( ) =. Sur [0 ; [, la fonction réciproque de la fonction carrée est la fonction racine car, pour tout [0 ; [, = (mais pas sur R). On admettra que les courbes de deu fonctions réciproques sont smétriques par rapport à la droite d équation =. Partie B : Fonction eponentielle On donne sur la figure ci-contre la courbe C de la fonction définie sur R par f ()=e Contruire sur la même figure la courbe de la fonction g, réciproque de la fonction eponentielle.. Déterminer graphiquement : l ensemble de définition de g ; les valeurs de g () et de g (e) ; les variations de g O Déterminer graphiquement g () et g (3) et comparer les résultats obtenus à ceu de l activité

3 Terminale ES 6. Activités Propriété. La fonction eponentielle admet, sur R, une fonction réciproque, appellée fonction logarithme népérien, notée ln, et on a donc, pour tout R, ln(e )=. La fonction logarithme népérien admet, sur ]0 ; [, la fonction eponentielle comme fonction réciproque, et on a donc, pour tout ]0 ; [, e ln() =. ACTIVITÉ 6.3 (Fonction dérivée de la fonction logarithme népérien). Pour tout ]0 ; [ la fonction f est définie par f : ln(). Sur la figure ci-dessous est tracée la courbe représentative de la fonction f et les tangentes au points A, B et C d abscisses respectives, et 5.. À l aide du graphique, déterminer les valeurs approchées de f (), f () et f (5).. Sur la calculatrice, afficher les valeurs de f () et de f () dans un tableau de valeur pour variant de à À l aide des points précédents, conjecturer la valeur de f () en fonction de. 4. En déduire les variations de la fonction logarithme népérien. 5. En déduire l epression de f () et la conveité de la fonction logartihme népérien. 3 3 O B A C 3 4 ACTIVITÉ 6.4 (Une propriété du logarithme népérien).. À l aide de la calculatrice, donner les valeurs approchées à 0, des nombres suivants : A= ln(5)ln(7) B = ln(3)ln() Que constate-t-on? C = ln(3)ln(6) D = ln(33). (a) D après la propriété précédente, que vaut la quantité e ln(a b)? E = ln(78) F = ln(35) (b) D après les propriétés algébriques de l eponentielle et la propriété précédente, que vaut la quantité e ln(a)ln(b)? (c) Que peut-on en conclure? 3. Les tables de logarithme de NÉPER premettaient, à une époque où il n avait pas de calculatrice, d effectuer rapidement des multiplications grâce à la relation ln(a)ln(b) = ln(a b) pour tous réels a et b strictement positifs. En se servant uniquement de l etrait de table de logarithmes ci-contre et de la relation précente, donner une valeur approchée de 5,3 7. 6,9 7 7,... 5, 5, 5, , 07, 07,3 ln(),93,946,960...,75,7, ,674 4,675 4,676 David ROBERT 79

4 6. Un peu d histoire Terminale ES 6. Un peu d histoire La fin du XVI è est l époque des grands voages maritimes et de la découverte des lois régissant le mouvement des planètes (COPERNIC, KEPLER, etc.). Les mesures astronomiques, nécessaires pour la navigation, impliquent des calculs compliqués. Les multiplications, divisions et etractions de racines sont particulièrement longues et pénibles. Pour simplifier ces calculs, on cherche des tables numériques à deu colonnes, mettant en correspondances les nombres de telle manière qu à la multiplication de deu nombres de la colonne de gauche corresponde l addition de deu nombres de la colonne de droite. La première table de ce tpe est publiée par l écossais JOHN NEPER en 64, après quarante ans de travail, et il crée leur nom, composé des mots grec ancien lógos («rapport») et arithmos («nombre»). Le livre dans lequel figurait ces tables servait ainsi à déterminer et à noter sa position jour après jour, mais aussi la météo, l état du navire, le moral de l équipage... Ce journal de bord s appelait un log-book. On a conservé ce terme et lorsque son support a changé, que le journal s est écrit non plus sur un livre mais sur internet, il s est dénommé web-log qui, par contraction, a donné le mot blog! 6.3 Logarithme népérien : définition et premières propriétés 6.3. Définition On a vu au chapitre 4 que, pour tout >0, l équation e = admet une unique solution appartenant à R. Ce réel, l antécédent de par la fonction eponentielle, sera noté ln(). Définition 6.. Pour tout réel > 0, on appelle logarithme népérien de, et on note ln(), l unique réel dont l eponentiel est. On a ainsi : = ln() e = e ln() = Remarques. On peut écrire ln a à la place de ln(a) quand il n a aucun risque de confusion. On a : ln()=0. En effet : par définition, ln() est l unique réel dont l eponentiel est, or e 0 = d où ln()=0. On a : ln(e)=. En effet : par définition, ln(e) est l unique réel dont l eponentiel est e, or e = e d où ln(e)=. Propriété 6.. Pour tout nombre, on a ln(e )=. Preuve. Par définition, ln(e ) est l unique réel dont l eponentiel est e, or l unique réel dont l eponentiel est e est d où ln(e )=. On dit que les fonctions logarithme népérien et eponentielle sont réciproques Propriétés algébriques du logarithme népérien Théorème 6.. Pour tous réels a et b strictements positifs, on a : ln(a b)= ln(a)ln(b). Preuve. Ce théorème a été démontré à la question de l activité 6.4. Propriété 6.3. Pour tous réels a et b strictements positifs et tout entier relatif n, on a : ln ( a) = ln(a) ln ( ) ln(a n )=nln(a) a b = ln(a) ln(b) ln ( a ) = ln(a) Les preuves seront faites en classe. 80

5 Terminale ES 6.4 Fonction logarithme népérien 6.4 Fonction logarithme népérien 6.4. Définition Définition. On appelle fonction logarithme népérien, notée ln(), la fonction ln : ]0 ; [ R ln() La fonction logarithme népérien est donc définie sur ]0 ; [. On admettra que cette fonction est continue et dérivable Dérivée Propriété 6.4. La fonction logarithme népérien est dérivable et, pour tout > 0, on a (ln()) = On l admettra. Propriété 6.5. La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur ]0 ; [ et on a : 0 e (ln()) = ln() 0 Preuve. La dérivée de la fonction logarithme est la fonction inverse, or, quand ]0 ; [, > 0. La dérivée de ln() est donc strictement positive sur ]0 ; [ ce qui implique que la fonction ln() est strictement croissante sur ]0 ; [. Propriété 6.6. La fonction logarithme népérien est concave sur ]0 ; [. Cette propriété a été démontrée dans l activité Courbe représentative La courbe représentative de la fonction logarithme est donnée par la figure 6. page suivante. David ROBERT 8

6 6.5 Eercices et problèmes Terminale ES FIGURE 6.: Courbe représentative de la fonction ln() 3 j O ı e Eercices et problèmes 6.5. Propriétés algébriques EXERCICE 6.. Simplifier les epressions suivantes :. ln(6) ln(). ln()ln ( ) 3. ln(3) ln(9) 4. ln()ln(4) ln(8) 5. 4 ln(8) 6. ln ( ) ( ) 3 ln 3 EXERCICE 6.. Donner, en fonction de ln() et de ln(5) les valeurs de :. ln(0) 4. ln(400) 7. ln ( ) 5 8. ln(5) 3. ln(6) EXERCICE 6.3. ) 5. ln ( 5 6. ln ( ) ln(0, 4) 9. ln ( 5 ) 7. ln( 3)ln( 3) ( 8. ln ) ln( 3 ) 3 0. ln ( ). ln ( 5 0 ). ln a et b étant ( ) deu réels strictements positifs, ( donner ) en fonction de ln(a) et de ln(b) les valeurs de :. ln a b. ln ( 4. ln b ln(a) 6. a 3 b 5) a 3 ln(ab ) 3. ln ( ab 3) 6.5. Résolutions 5. ln ( ( a ) ) 3 b 7. ln(ab 4 ) ln(b) ( 5 ) EXERCICE 6.4. Résoudre dans R les équations et inéquations suivantes :. e = 5. e 3 9. e < e. e = 3. e = 4. e = 6. e 4 7. e 3 = e 8. e 5 > e 0. e ( 4)( ) =. e 45 e 6 =. e 45 e 6 = 4 3. e = e 4. e e 4 = 3 5. e 3 = 4e 8

7 Terminale ES 6.5 Eercices et problèmes EXERCICE 6.5. Dans chacun des cas suivants, déterminer les valeurs interdites pour puis résoudre dans R :. ln()>. ln()= 3. ln()< 4. 3 ln() 0 5. ln()= 3 6. ln( )=0 7. ln( )= 8. ln ( ) = 9. ln[( )]=0 0. ln()ln( )=0. ln()=0. ln() 0 3. ln() = 0 4. ( )(ln()) 0 5. ln( )=0 EXERCICE 6.6. Soit f et g les fonctions définies sur R par, respectivement : f ()=3 et g ()=0,5 3.. Afficher les courbes représentatives de ces deu fonctions sur la calculatrice.. Conjecturer l eistence de points d intersection. 3. Résoudre par le calcul l équation f () = g (). EXERCICE 6.7. Une personne se demande en combien de temps son capital C 0 doublera en le laissant placé au tau annuels de t %. Calculer le temps qu il faut, en années et mois, pour que le capital C 0 double dans chacun des cas suivants : t = t = t = 3 t = 5 t = Études de fonctions comportant ln() EXERCICE 6.8. On considère la fonction f définie sur l intervalle ]0 ; [ par : f ()=5 ln() 3.. Calculer f () où f est la fonction dérivée de f, puis étudier son signe.. En déduire le tableau de variations de la fonction f. On indiquera la valeur eacte de f (e). EXERCICE 6.9 (D après Asie Juin 007). Partie A Pour tout ]0 ; [, on pose f ()= ln().. On note f la fonction dérivée de f sur ]0 ; [. (a) Montrer que f ()= 0 8. (b) Étudier le signe de f () selon les valeurs de. (c) En déduire le tableau des variations de f.. On note f la dérivée seconde de f sur ]0 ; [. (a) Calculer f (). (b) Étudier la conveité de f valeurs de. selon les (c) En déduire les éventuels points d infleion de la courbe de f. Partie B Une entreprise produit et vend un modèle de pièces pour hélicoptères. Pour des raisons techniques et de stockage, sa production mensuelle est comprise entre 00 et 600 pièces. Elle vend tout ce qui est produit. On considère que la fonction f définie sur [ ; 6] par f () = ln() représente le bénéfice mensuel, eprimé en dizaines de milliers d euros, obtenu pour la vente de centaines de pièces.. Quelle est la quantité de pièces à produire pour obtenir un bénéfice mensuel maimal? Calculer ce bénéfice arrondi à l euro près.. Montrer que la croissance du bénéfice va s accélérer jusqu à une certaine quantité de pièce à déterminer, puis que cette croissante ne va ensuite que ralentir. David ROBERT 83

8 6.5 Eercices et problèmes Terminale ES EXERCICE 6.0 (D après Liban 007). On considère la fonction f dont la courbe représentative C est représentée sur la figure ci-dessous dans le plan muni d un repère orthonormal. O B A S 3 4 La courbe C passe par le point A ( ; 0) et admet la droite (AB) pour tangente à la courbe C où B est le point de coordonnées ( ; e ). La courbe C coupe l ae des abscisses au point d abscisse e. Pour tout réel de ]0 ; [, f ()=(a b)ln() où a et b sont deu réels.. Calculer f () en fonction de a et b.. Sans justifier et par lecture graphique, donner f (e) et f (). 3. Justifier que a et b sont solutions du sstème d équations suivant : { aeb = 0 a b = e Déterminer a et b. EXERCICE 6. (D après Centres étrangers 006). On désigne par f la fonction définie sur ]0 ; 5] par : f ()= ln(). La courbe C donnée sur la figure ci-dessous est la représentation graphique de f dans un repère orthogonal Calculer f () et étudier les variations de f. Dresser le tableau des variations de f.. (a) Calculer f (). (b) Justifier que l équation f () = 0 admet sur [3 ; 4] une solution unique α puis donner une valeur approchée à 0 près par défaut de α. (c) En déduire le signe de f () suivant les valeurs de. 3. On appelle g la fonction définie sur ]0 ; 5] par : g ()= ( ln() ). (a) Montrer que g ()= f () sur ]0 ; 5]. (b) En déduire les variations de g. EXERCICE 6.. Soit la fonction f définie sur l intervalle ]0 ; [ par f ()=3 ln().. (a) Calculer la dérivée de f et montrer que l on a : f ()= ln() (b) Résoudre l inéquation : ln() > 0. Recopier et compléter le tableau ci-contre en indiquant : (a) le signe de f () selon les valeurs de ; (b) la valeur eacte de f ( e ). 3. À l aide de ce tableau de variations : (a) Indiquer le nombre de solutions de l équation f () = 0 dans l intervalle ]0 ; [. (b) Donner à l aide de la calculatrice une valeur approchée à 0 près de chaque solution indiquée. 0 f () f () e 84

9 Terminale ES 6.5 Eercices et problèmes EXERCICE 6.3 (D après Polnésie Septembre 007). Pour chacune des quatre propositions ci-dessous, indiquer si la proposition est vraie ou fausse en justifiant votre réponse.. La fonction e 5 est la fonction dérivée de la fonction e ln(5).. L ensemble des solutions sur R de l équation (e )(e 4)=0 est : S = {0}. 3. Si ( ) n 00 0,7 alors n ln0,7 ln0, L ensemble des solutions sur R de l équation ln ( 4 3 ) = ln(5 9) est S = { ; 3} Modélisations EXERCICE 6.4. Un éditeur spécialisé en ouvrages d art diffuse sur une année 000 livres dont les pri varient de 5 à 75. On désigne par le pri d un livre, par p le nombre de livres disponibles et par q le nombre de livres demandés. Les résultats figurent dans le tableau ci-dessous : p q On a tracé sur la figure 6. de la présente page les nuages de points ( i ; p i ) et ( i ; q i ) dans un repère orthogonal du plan. FIGURE 6.: Repère de l eercice On modélise l évolution de p par la fonction f ()=e 0,057,538. (a) Recopier et compléter le tableau (les résultats seront arrondis au millième) : p f () (b) Déterminer l erreur commise par la modélisation pour = 75. David ROBERT 85

10 6.5 Eercices et problèmes Terminale ES (c) En utilisant cette epression, donner une estimation du nombre de livre disponibles pour un pri unitaire de 34 (résultat arrondi à la dizaine).. On modélise l évolution de q par la fonction g ()=e 0,08,73. En utilisant cette relation, donner une estimation du pri correspondant à une demande de 3 30 livres (résultat arrondi à l unité). 3. Le pri pour lequel l offre est égale à la demande s appelle le pri d équilibre ; il est noté 0. (a) Déterminer par le calcul le pri d équilibre, arrondi à l unité. (b) Les calculs précédents permettaient-ils de prévoir le résultat? EXERCICE 6.5 (D après Centres étrangers Juin 009). Une eploitation minière etrait un minerai rare dans ses gisements depuis l année 963. Le tableau suivant indique la quantité etraite i en tonnes durant l année désignée par son rang i : Année Rang i de l année Quantité etraite i en tonnes 8, 5,7 3,3 9,3 7,8 7, 6, 5, 4,3 Le nuage de points associé à cette série statistique à deu variables est représenté dans le repère orthogonal ( O; ı, j ) de la figure 6.3 page suivante. Les unités graphiques de ce repère sont unité = cm en abscisse et 4 unités =,5 cm en ordonnée. Dans cet eercice, on désigne par la variable la quantité etraite en tonnes et par la variable le rang de l année. Première partie En première approimation, on envisage de modéliser en tant que fonction affine de et on admet que la droite la plus proche du nuage de points a pour équation =, 5 6, 5.. Tracer la droite dans le repère de la figure 6.3 page ci-contre.. En considérant cette modélisation, quelle quantité de minerai, au diième de tonne près, l eploitation peut-elle prévoir d etraire durant l année 03? Deuième partie On admet que la courbe tracée sur la figure 6.3 page suivante représente une modélisation par une fonction eponentielle de en fonction de et que son équation est de la forme = ke p où k est un entier naturel et p un nombre réel.. En utilisant cette courbe, lire la quantité de minerai etrait, au diième de tonne près, que la modélisation laisse prévoir pendant l année 03.. En supposant que la courbe passe par les points A(0 ; 8) et B(3 ;,), calculer l entier naturel k et le réel p dont on donnera une valeur approchée arrondie au centième. 86

11 Terminale ES 6.5 Eercices et problèmes FIGURE 6.3: Figure de l eercice 6.5 quantité en tonnes rang de l année EXERCICE 6.6 (D après Polnésie Juin 009). Le tableau suivant donne l évolution du marché des capteurs solaires installés en France métropolitaine entre 000 et 007. Année Rang de l année : i, i Surface de capteurs solaires installés en milliers de m : i, i Source : ENERPLAN (Association professionnelle de l énergie solaire) L objectif gouvernemental est d atteindre un marché d un million de m en 00.. (a) Calculer le pourcentage d augmentation de la surface des capteurs solaires installés entre les années 006 et 007. (b) Si ce pourcentage reste le même d année en année jusqu en 00. l objectif gouvernemental sera-t-il atteint?. Sur une feuille de papier milimétré, représenter le nuage de points associé à la série statistique ( i ; i ) ; i 8, dans un repère orthogonal du plan (on prendra cm pour une année en abscisse et en ordonnée cm pour 0 milliers de m de capteurs solaires installés). 3. La forme du nuage suggère de faire une modélisation eponentielle de la forme f ()=e ab. (a) Déterminer a et b, arrondis au centième, pour que la courbe de f passe par les points ( ; 3) et (3 ; 39). (b) Écrire f () sous la forme f ()=αe β, α étant arrondi à l unité et β au centième. (c) On suppose que l évolution se poursuit de cette façon jusqu en 00. À l aide de cette modélisation eponentielle, estimer en m la surface de capteurs solaires installés en 00. Si l évolution se poursuit selon ce modèle, l objectif gouvernemental sera-t-il atteint? David ROBERT 87

12 6.5 Eercices et problèmes Terminale ES Repère semi-logarithmique EXERCICE 6.7. On considère deu fonctions f et g croissantes données par les tableau de valeurs : 0,7 4 5,4 7,4 9, f () ,,8 3, 4,5 7 g () Représenter les fonctions f et g dans le repère de la figure 6.4 page ci-contre.. Le repère de la figure 6.5 page suivante est appelé repère semi-logarithmique. La graduation sur l ae (O ) n est pas «régulière». Elle est réalisée proportionnellement au logarithme népérien. Par eemple un point d ordonnée = est placé à la hauteur z = ln=0 unités graphiques, un point d ordonnée = 0 est placé à la hauteur z = ln0,3 unités graphiques (et ici unité graphique = cm). Remarque. Dans le cadre de cet eercice, pour une meilleure lecture des hauteurs en unités graphiques, un ae a été ajouté à droite. Point A B Pour l utilisation d un tel repère on pourra s aider du tableau suivant :... z = ln... Où z est la hauteur en unités graphiques dans le repère semi-logarithmique. (a) Placer dans ce repère les points suivants : A ( ;,5) B (5 ; 5) C (5 ; 9) D ( ; 75) (b) Déterminer les coordonnées des points E, F, G et H. Indication : on mesurera z avec une règle avant de déterminer par le calcul. (c) Représenter les courbes de f et de g dans ce repère. Que remarque-t-on pour la courbe de f? (d) Représenter dans les deu repères les courbes des fonctions définies sur R par, respectivement, h()=e et l()=e 3. Que remarque-t-on? (e) Une fonction k est représentée dans le repère semi-logarithmique une droite passant par les points (0 ; ) et (4 ; 000). i. Tracer cette droite. ii. À l aide d une règle compléter la ligne z du tableau ci-dessous et compléter par la ligne par le calcul z = iii. Représenter alors k dans le premier repère. (f) Démontrer que lorsqu une fonction positive est représenté dans un repère semi-logarithmique par une droite passant par l origine, cette fonction est de la forme f ()=e k. Indication : On posera z = m, où z est la hauteur en unités graphiques dans le repère semi-logarithmique et on déterminera alors une epression de en fonction de. En utilisant l égalité f (4) = 5 donner l epression de f (). Déterminer l epression de k(). (g) Démontrer que lorsqu une fonction positive représentée dans un repère semi-logarithmique par une droite d équation z = m p où z est la hauteur en unités graphiques, cette fonction est de la forme f ()=K e k. Eprimer alors K et k en fonction de m et p. 88

13 Terminale ES 6.5 Eercices et problèmes 50 FIGURE 6.4: Premier repère de l eercice FIGURE 6.5: Repère semi-logarithmique de l eercice 6.7 7,0 z 6, F 6,0 5,5 5,0 4, ,0 3,5 0 0 E H 3,0,5, G,5,0 0, David ROBERT 89