b. Calculer la probabilité de l événement E, p ( E ) n. Pour quelles valeurs de n a-t-on ( E ) , en fonction de PanaMaths [ 1-5 ] Mai 2007

Transcription

1 Liban Juin Exercice Une urne contient 0 boules indiscernables, 5 rouges, 3 jaunes et vertes Dans les questions et on tire au hasard et simultanément 3 boules de cette urne Les réonses seront données sous forme de fractions irréductibles Soit les événements suivants : A : «les trois boules sont rouges» B : «les trois boules sont de la même couleur» C : «les trois boules sont chacune d une couleur différente» a Calculer les robabilité ( A), ( B) et ( C) b On aelle X la variable aléatoire qui à chaque tirage associe le nombre de couleurs obtenues Déterminer la loi de robabilité de X Calculer EX ( ) Dans cette question, on remlace les 5 boules rouges ar n boules rouges où n est un entier suérieur ou égal à L urne contient donc n+ 5 boules, c est à dire, n rouges, 3 jaunes et vertes On tire au hasard et simultanément deux boules de cette urnes Soit les événements suivants : D : «tirer deux boules rouges» E : «tirer deux boules de la même couleur» a Montrer que la robabilité de l événement D est : nn ( ) ( D) n+ 5 n+ b Calculer la robabilité de l événement E, ( E ) n Pour quelles valeurs de n a-t-on ( E )?, en fonction de PanaMaths [ - 5 ] Mai 007

2 Analyse Dans un remier tems, l exercice roose une situation où des calculs de robabilités vont ermettre de définir une loi de robabilité Cette remière question reose essentiellement sur des calculs du tye «dénombrement» La deuxième question généralise dans une certaine mesure la situation de la remière ésolution Question a Commençons ar déterminer le nombre total N de tirages ossibles Puisqu il s agit de tirer 3 boules armi 0 et que celles-ci sont indiscernables, on a : N 0 0! !7! 3 3 Comtons maintenant le nombre d issues réalisant l événement A Il s agit du nombre de tirage N de 3 boules rouges L urne contenant un total de 5 boules rouges, on cherche en fait le nombre de ossibilités de tirer 3 boules rouges armi 5 On a donc : N 5 5! !! Il vient alors : ( A) N 0 N 0 Puisque l urne contient boules vertes et également 3 boules jaunes, l événement B est la réunion des deux événements disjoints : «Les trois boules sont rouges» ; «Les trois boules sont jaunes» Le remier événement est l événement A dont nous venons de calculer la robabilité Une seule issue réalise le second événement : elle corresond à l unique tirage des trois boules jaunes La robabilité du second événement est simlement : 0 Les deux événements ci-dessus étant disjoints, il vient : ( B) PanaMaths [ - 5 ] Mai 007

3 Intéressons-nous maintenant à l événement C On a : 5 Le nombre de ossibilités de tirer boule rouge armi 5 : 5 ; 3 Le nombre de ossibilités de tirer boule jaune armi 3 : 3 ; Le nombre de ossibilités de tirer boule verte armi : Le nombre de tirages de trois boules de couleurs différentes est donc : On en déduit : 30 ( C) 0 Les robabilités des événements A, B et C sont resectivement : ( A), ( B) et ( C) 0 Question b La variable aléatoire X eut rendre les valeurs, et 3 D arès la question récédente, on a immédiatement : 0 ( X ) ( B) et ( X 3) ( C) Comme on a : ( ) ( ) ( ) X + X + X 3, il vient : ( X ) ( X ) ( X 3) Finalement, la loi de robabilité de X est donnée ar le tableau : k ( X k) PanaMaths [ 3-5 ] Mai 007

4 Question a On rocède de façon analogue à ce qui a été fait à la question a Commençons ar déterminer le nombre total N de tirages ossibles Puisqu il s agit de tirer boules armi 5 n + et que celles-ci sont indiscernables, on a : ( ) ( n + ) n + 5 n+ 5! n+ 5 n+ N! 3! Comtons maintenant le nombre d issues réalisant l événement D Il s agit du nombre de tirage N de boules rouges L urne contenant un total de n boules rouges, on cherche en fait le nombre de ossibilités de tirer boules rouges armi n On a donc : N ( ) n n! n n! ( n )! Il vient alors : ( D) ( ) n n N N ( n+ 5)( n+ ) n+ 5 n+ n( n ) On a bien : ( D) n( n ) ( n+ 5)( n+ ) Question b Commençons ar déterminer Les deux boules euvent être toutes les deux rouges, toutes les deux vertes ou toutes les deux jaunes A la question récédente, nous avons déterminé la robabilité que les deux boules soient rouges En rocédant de façon similaire : 3 Le nombre de façons de tirer deux boules jaunes armi 3 vaut : 3 La 3 6 n+ 5 n+ n+ 5 n+ robabilité de tirer deux boules jaunes vaut donc : ; PanaMaths [ - 5 ] Mai 007

5 Le nombre de façons de tirer deux boules vertes armi vaut : La robabilité de n+ 5 n+ n+ 5 n+ tirer deux boules vertes vaut donc : Il vient finalement : n( n ) 6 n n+ 8 ( n+ 5)( n+ ) ( n+ 5)( n+ ) ( n+ 5)( n+ ) ( n+ 5)( n+ ) + + n n+ 8 ( n+ 5)( n+ ) On cherche n tel que A l aide du résultat récédent et en tenant comte du fait que le roduit ( n 5)( n ) strictement ositif, il vient : n n+ 8 5 ( n+ )( n+ ) ( n n ) ( n )( n ) n n 6 n 9n n n 0 On eut bien sûr commencer ar résoudre l inéquation du second degré dans : x x 0 n n est On eut aussi remarquer que cette inéquation se récrit : ( ) Travaillons directement dans [ ; + [ La fonction x x( x ) s annule en et est strictement croissante sur [ [ Pour x, elle rend la valeur ( ) > On en déduit : x [ ; + [, x( x ) > Pour tout entier naturel n suérieur ou égal à, on a : Finalement : n n > 0 ;+ La robabilité est suérieure ou égale à our tout entier naturel suérieur ou égal à PanaMaths [ 5-5 ] Mai 007