2 Ensembles et Applications

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1 2 Ensembles et Applications 2.1 La notion d ensemble 1. La notion d ensemble (a) Nous donnons une notion intuitive d ensemble comme étant une collection E d objets a, b, c,... appelés éléments de E munie d une relation d égalité et d une relation d appartenance : a = b exprime le fait que a et b représentent le même objet de E, a b est une abréviation de la négation de l assertion a = b, a E exprime que a est un objet ou élément de E, a E est une abréviation de la négation de l assertion a E. (b) Exemples : Une bibliothèque est un ensemble de livres ; un livre étantluimêmeun ensemble de pages. Il existe un ensemble ne contenant aucun élément : c est l ensemble vide, on le note. On parle volontiers de l ensemble des ponts de Paris, ou encore de l ensemble des atomes de l Univers, de l ensemble des nombres entiers, de celui des nombres entiers pairs etc... Mais attention, pour éviter certains paradoxes aberrants, un ensemble n est jamais élément de lui même ( pa - radoxe de Russell, 1901). Une l illustration célèbre de ce paradoxe est le paradoxe du barbier. 2. Inclusion et parties d un ensemble Soient E,F deux ensembles. On dit que E est inclus dans F,etl onnotee F,lorsquetoutélémentdeE est élément de F.AutrementditE F si, et seulement si, pour tout x, six E, alorsx F : x, x E x F. On dit encore que E est une partie de F,ouqueE est un sous-ensemble de F. Observons que l ensemble vide est contenu dans tout ensemble. 2.2 Des axiomes de la théorie des ensembles 1. Axiome d extension. Deux ensembles E et F sont égaux si, et seulement si, E est inclus dans F et F est inclus dans E : E = F si, et seulement si, E F et F E. 2. Axiome des paires. Soient a, b deux objets, {x x = a ou x = b} définit un ensemble noté {a, b}. L ensemble {a, a} est noté {a}. 3. Axiome de sélection. Soient E un ensemble et P (x) unénoncé(proposition)dépendantdelavariable x, alorslaproposition x E et x vérifie l énoncé P (x) définit un ensemble noté {x E P (x)} qui est une partie de E. Exemples : (a) si a E, ona{x E x = a} = {a}. L ensemblevidequantàluipouvant s écrire : {x E x x}. 22

2 (b) soit P (x) l assertion: x est pair pour x N. Onpeutlatraduirepar: P (x) : q N x =2q. L ensemble {x N P (x)} = {x N 2 x} =2N est l ensemble des entiers pairs. 4. Axiome de la réunion. Si E,F sont deux ensembles, alors il existe un ensemble noté E F dont tout é l é m e n t e s t s o i t u n é l é m e n t d e E soit un élément de F.Cetensembles appelle la réunion de E et F. 5. Axiome de l ensemble des parties. Si E est un ensemble, alors {A A E} définit un ensemble appelé ensemble des parties de E et noté P(E). Cet ensemble n est jamais vide (même si E l est), il contient toujours et E. Attention : soit x un élément de E, onécritx E ;deplus{x} est un sousensemble de E, onécrit{x} E, {x} est donc un élément de l ensemble des parties de E : {x} P(E). 2.3 Opérations sur les ensembles 1. Réunion, intersection et complémentaire. Soient E un ensemble (non vide) et A, B deux sous-ensembles quelconques de E. Ondéfinit: (a) le complémentaire de A dans E constitué par l ensemble des éléments de E qui ne sont pas dans A : E \ A = A c = {x E x/ A}. (b) l intersection de A et B constituée par l ensemble des éléments de E qui sont à la fois des éléments de A et de B : A B = {x E x A et x B}. Observons que A B A et A B B. (c) la réunion de A et B constituée par l ensemble des éléments de E qui sont des éléments de A ou des éléments de B : A B = {x E x A ou x B}. Observons que A A B et B A B.OnnoteraaussiqueA B A B. Propriétés : Soient A, B, C trois sous-ensembles d un ensemble (non vide) E. (a) Propriétés du complémentaire : E \ E = E c =, E\ = c = E, E \ (E \ A) =(A c ) c = A, si B A alors E \ A E \ B, E \ (A B) =(E \ A) (E \ B), E \ (A B) =(E \ A) (E \ B). 23

3 (b) Propriétés de la réunion : commutativité : A B = B A associativité : A (B C) =(A B) C idempotence : A A = A A = A A E = E (c) Propriétés de l intersection : commutativité : A B = B A associativité : A (B C) =(A B) C idempotence : A A = A A = A E = A (d) Distributivité : (A B) C =(A C) (B C) (A B) C =(A C) (B C) 2. Produit cartésien. (a) La notion de couple. Soient a, b deux éléments d un ensemble E.L ensemble {{a}, {a,b}} est appelé couple de a,b. On le note(a,b). Observation : deux couples (a, b) et(a,b )sontégauxsi,etseulementsi, a = a et b = b. (b) Axiome du produit cartésien. Soient E,F deux ensembles, il existe un ensemble, noté E F,appeléproduitcartésiendeE et F,forméparles couples (a, b) aveca E et b F.LorsqueF = E, onnotee E = E 2. (c) Propriétés : E F = si, et seulement si, E = ou F = (d) La diagonale de E 2 est l ensemble si A E et B F alors A B E F D E = {(x, y) E 2 x = y} = {(x, x) E 2 x = x}. 2.4 La notion d application 1. Application d un ensemble vers un autre. (a) Définitions. On appelle application d un ensemble E dans un ensemble F,unecorrespondancef qui associe à un élément x E un, et un seul, é l é m e n t y F.Cetélémentseradésormaisnotéf(x). L application sera notée f : E F, x f(x). Le graphe G(f) def est le sous-ensemble de E F constitué par les couples (x, f(x)) pour x E. La restriction de l application f : E F à l a p a r t i e A E est l application f A : A F définie par f A (x) =f(x), pour tout x A. (b) Exemples. 24

4 i. l application identique 1 E d un ensemble E dans lui même est définie par 1 E(x) =x pour tout x E. LegrapheG(1 E)={(x, x) x E} est la diagonale de E 2. ii. si A E est une partie de E, alorslarestrictionde1 E à A est l inclusion canonique de A dans E. iii. l application pr 1 : E F E définie par pr 1 (x, y) =x s appelle la première projection de E F sur E. iv. soit a F un élément, l application σ a : E E F,définiepar σ a(x) =(x, a) estappeléesection. v. l application [ ] :R Z qui au réel x associe le plus grand entier inférieur ou égal à x est appelée fonction partie entière. La partie entière [x] dex est l unique entier n tel que n x<1+n. (c) L ensemble des applications. Les applications de E dans F forment un ensemble noté F(E,F). On le note aussi parfois F E. (d) Composition des applications. Soient E,F,G trois ensembles, f une application de E dans F et g une application de F dans G, onnote: g f : E G, x (g f)(x) =g(f(x)) l application composée de f et g. Propriété :lacompositiondesapplicationsestassociative: Exemples. i. Observons que pr 1 σ a = 1 E. (f g) h = f (g h). ii. Soit f : N N définie par n 2n. Considéronsg : N Q définie par g(m) = m.larestrictiondeg au sous-ensemble des entiers pairs 2N 2 est telle que g 2N (2k) =k, pourtoutk N. Ainsig 2N f = 1 N.De même, on a f g 2N = 1 2N. 2. Image directe et image réciproque. (a) Définition de l image directe. Soient f une application de E dans F et A E un sous-ensemble. L image directe de A par f est l ensemble f(a) ={y F a Af(a) =y} = {f(a) a A} F. C est le sous-ensemble de F constitué par les images par f des éléments de A. (b) Propriétés i. f( ) = ii. si A B, alorsf(a) f(b) iii. f(a B) f(a) f(b) iv. f(a B) =f(a) f(b) v. (g f)(a) =g(f(a)) (c) Exemples i. sin(r) =[ 1, 1], cos([0, π]) = [ 1, 1] ii. si f : x x 2, f(r) =R + 25

5 (d) Définition de l image réciproque. Soient f une application de E dans F et B F un sous-ensemble. L image réciproque de B par f est l ensemble f 1 (B) ={x E f(x) B} E. C est le sous-ensemble de E constitué par les éléments de E dont l image par f est dans B. (e) Propriétés i. f 1 ( ) = ii. f 1 (F )=E iii. si A B, alorsf 1 (A) f 1 (B) iv. f 1 (F \ B) =E \ f 1 (B) v. f 1 (A B) =f 1 (A) f 1 (B) vi. f 1 (A B) =f 1 (A) f 1 (B) vii. (g f) 1 (A) =f 1 (g 1 (A)) viii. A f 1 (f(a)) et f(f 1 (B)) B (f) Exemples i. sin 1 ([ 1, 1]) = R, sin 1 ({0}) ={kπ k Z} ii. si f : x x 2, f 1 ([0, 1]) = [ 1, 1], f 1 ({1}) ={1, 1} iii. cos 1 ([0, 1]) = [ k Z π +2kπ, π +2kπ] 2 2 (g) Remarque : observons que si a, b sont deux éléments distincts de F,alors (par définition même d une application) f 1 ({a}) f 1 ({b}) =. Ainsi, les ensembles f 1 ({a}), lorsque a décrit F,formentunepartition de E : E = a F f 1 ({a}). 3. Injection, surjection et bijection. (a) Définitions. Soit f une application de E dans F : i. f est une injection de E dans F si elle vérifie l une des deux propriétés équivalentes (contraposée l une de l autre ) suivantes : pour tous a, b E, si f(a) =f(b) alorsa = b pour tous a, b E, si a b alors f(a) f(b) ii. f est une surjection de E sur F si elle vérifie : pour tout y F, il existe x E tel que f(x) =y iii. f est une bijection de E sur F si elle est à la fois injective et surjective, c est-à-dire si (b) Exemples. pour tout y F, il existe un unique x E tel que f(x) =y i. si A E est une partie de E, alorsl inclusioncanoniquei A =(1 E) A de A dans E est une injection. ii. la première projection de E F sur E, pr 1 : E F E définie par pr 1 (x, y) =x, estunesurjectiondee F sur E. iii. l application identique 1 E est une bijection de E sur E iv. l application f : R R +, x x 2 est surjective sans être injective ; par contre sa restriction à R + réalise une bijection de R + sur lui même. 26

6 v. l application f : N 2N définie par f(n) =2n réalise une bijection de N sur le sous-ensemble propre des entiers pairs 2N. vi. l application tan :] π/2,π/2[ R réalise une bijection de ] π/2,π/2[ sur R. (c) Bijection réciproque d une bijection. i. Définition : Si f : E F est une bijection, alors à tout y F correspond un unique élément x E satisfaisant l équation y = f(x). On peut donc définir l application f 1 : F E, quiày F fait correspondre x E unique solution de l équation y = f(x). On définit ainsi la bijection réciproque f 1 : F E de la bijection f : E F. On a f 1 f = 1 E et f f 1 = 1 F. ii. Exemples : A. f : R + R + définie par x x 2 est une bijection, de bijection réciproque g : R + R +,x x. B. la fonction exponentielle exp : R R + est une bijection, de bijection réciproque la fonction logarithme ln : R + R. C. la fonction tan :] π/2,π/2[ R est une bijection, de bijection réciproque la fonction arctan : R ] π/2,π/2[. D. f : R + R + définie par x 1 est une bijection. Sa bijection x réciproque est elle même : on a f f = 1 R +. (d) Propriétés. Soient E,F,G trois ensembles, f : E F et g : F G deux applications. Alors : i. si f et g sont injectives, alors g f est injective. ii. si g f est injective alors f est injective. iii. si f et g sont surjectives, alors g f est surjective. iv. si g f est surjective alors g est surjective. v. si f et g sont bijectives, alors g f est bijective et (g f) 1 = f 1 g 1. (e) Théorème : Une application f : E F est une bijection si, et seulement si, il existe une application g : F E telle que g f = 1 E et f g = 1 F. Remarque :sig : F E vérifie g f = 1 E et f g = 1 F,alorsautomatiquement, g = f Les ensembles finis, ensembles dénombrables 1. Ensembles finis. (a) Définition (intuitive) 2 :Unensemblenon vide E est fini lorsqu il existe un entier n N tel que E soit équipotent à {1, 2,...,n}. Sic estlecas,n est 2. Il existe d autres définitions de la notion d ensemble fini/infini. La plus célèbre et la plus communément admise en mathématiques est celle de Dedekind : un ensemble est infini s il est équipotent à l une de ses parties propres ; dans le cas contraire l ensemble est fini. Un ensemble intuitivement fini est fini au sens de Dedekind, mais la réciproque nécessite l utilisation de l Axiome du choix. L Axiome du choix peut s énoncer ainsi : si X est un ensemble d ensembles non vides, il existe une fonction définie sur X qui à chacun d entre eux associe un de ses éléments. Pour un ensemble fini d ensembles non vides, nous n avons pas besoin de recourir à l Axiome du choix pour choisir un élement donné dans chaque ensemble ; l Axiome du choix devient utile pour un ensemble infini d ensembles non vides. 27

7 le nombre d éléments de E ou cardinal de E. Onnoten =card(e) = E. L ensemble vide est l ensemble à 0 élément. (b) Remarques : Soit E un ensemble fini. Si A est l une de ses parties, alors : i. A est un ensemble fini et A E, ii. si A = E, alorsa = E. (c) Théorème : Si E,F sont deux sous ensembles finis ayant le même nombre d éléments et si f est une application de E dans F,alorsonal équivalence des trois propriétés suivantes : i. f est injective, ii. f est surjective, iii. f est bijective. Démonstration : Observons que si f est une application d un ensemble fini E dans un ensemble fini F,alors f(e) min( E, F ). Observons de plus que : i. f(e) = E si, et seulement si, f est injective, ii. f(e) = F si, et seulement si, f est surjective. Remarque : si E est un ensemble (non vide) fini et si x E, alorse n est pas équipotent à E \{x}. (d) Principe des tiroirs de Dirichlet :iln existepasd injectiond unensemble fini à p éléments dans un ensemble fini à n éléments si p>n. Un exemple d utilisation :soiente,f deux ensembles finis avec E = n> r = F et f : E F une application. Le principe des tiroirs de Dirichlet peut être reformulé ainsi : il existe a F tel que f 1 ({a}) 2. En fait on peut même obtenir une inégalité plus forte, à savoir : il existe a F tel que : [ f 1 n ] ({a}). r En effet, raisonnons par l absurde et supposons que pour tout x F,on a f 1 ({x}) < n,alorscommee = r x F f 1 ({x}) etpuisqu ils agit d ensembles deux à deux disjoints, on a n = x F f 1 ({x}) <r n = n, r ce qui constitue une contradiction. (e) Propriétés :Soit E un ensemble fini. Si A, B sont des sous-ensembles de E, alors: i. (A B) = A + B (A B). ii. A B est un ensemble fini et (A B) = A B. Démonstration : i. Si A B =, alors dans ce cas la formule est évidente,on a: (A B) = A+ B. SimaintenantA B, posonsa = A\(A B). Observons que A B est l union disjointe de A et B,donc (A B) = A + B.De plus A est l union disjointe de A B avec A,ainsi A = A + (A B). En combinant ces deux formules, il vient : (A B) = A + B (A B). ii. Ecrivons A B = a A {a} B. Onobservequelesensembles{a} B, lorsque a décrit B, sontfinis(équipotentsàb par la bijection σ a : B {a} B, b (a, b)) et en nombre fini (ce nombre vaut A). Par conséquent (A B) = A B. 28

8 (f) Ensemble des parties d un ensemble fini. i. Théorème 1 : Si E est un ensemble fini, alors P(E) est un ensemble fini et on a P(E) =2 E. ii. Exemples : si E =, alorsp( ) ={ }, si E = {a}, alorsp(e) ={,E}, si E = {a, b}, alorsp(e) ={, {a}, {b},e}. iii. Le théorème est en fait une conséquence du résultat plus général suivant. Théorème 2 : Si E,F sont des ensembles finis, alors l ensemble F(E,F) des applications de E vers F est un ensemble fini et F(E,F)= F E. Démonstration : Notons m = E et n = F.Construireuneapplication f de E = {x 1,...,x m} vers F revient à choisir f(x 1)(ilyan choix possibles), f(x 2)(ilyan choix possibles), etc... Donc il y a n m applications de E vers F. iv. Démonstration du Théorème 1 : Montrons que P(E) estéquipotentà F(E,{0, 1}). Soit A une partie de E. Onluiassociesafonctioncaractéristique ϕ A : E {0, 1}, définieparϕ A(x) =1six A et ϕ A(x) =0si x A. L applicationφ:p(e) F(E,{0, 1}) définiepara ϕ A réalise une bijection de P(E) surf(e,{0, 1}). En effet, l application Ψ:f {x E f(x) =1} en est la bijection réciproque. Pour conclure, on applique le Théorème La notion de dénombrabilité. (a) Définition :Un ensemble E est dénombrable lorsqu il est équipotent à N. (b) Exemples : i. Le sous-ensemble 2N = {2n n N} N des entiers pairs est dénombrable. Démonstration : nous avons déjà construit une bijection de N sur 2N. Elle est donnée par n 2n. ii. L ensemble des entiers relatifs Z est dénombrable. Démonstration : il nous faut énumérer les éléments de Z. Pourcela construisons l application ϕ : N Z définie par ϕ(0) = 0, et pour n>0, { m si n =2m ϕ(n) = m +1 si n =2m +1 iii. Le produit N N est dénombrable. Démonstration : il nous faut énumérer les éléments de N N. On procède par diagonales, et on énumère les couples (i, j) partranches sur lesquelles i + j est constante. On peut également raisonner de la façon suivante en construisant l application f : N 2 N définie par f(p, q) = (p+q)(p+q+1) 2 + p ;ilestclair que f(p, q) estunentierpuisquep + q et p + q +1 sont des entiers consécutifs donc l un d eux est divisible par 2. 29

9 iv. L ensemble des nombres rationnels Q est dénombrable. v. L ensemble des nombres réels R n est pas dénombrable. 30

10 2.6 Exercices 1. Soient A, B, C trois sous-ensembles d un ensemble E. Montrer que: (a) si A B alors A C B C. (b) E \ (A B) =E \ A E \ B. (c) A B si, et seulement si, A (E \ B) = 2. Si E est un ensemble fini à n é l é m e n t s, m o n t r e r p a r r é c u r r e n c e s u r n que l ensemble de ses parties est un ensemble fini à 2 n é l é m e n t s. 3. Soient X, Y, Z trois ensembles et f : X Y, g : Y Z des applications. (a) Rappeler la définition d une application injective, d une application surjective. (b) Donner l exemple d une application injective, d une application surjective, d une application ni injective, ni surjective. (c) Montrer que : i. si g f est injective, alors f est injective, ii. si g f est surjective, alors g est surjective. 4. Soient X, Y deux ensembles et f : X Y une application. (a) Rappeler la définition de l image directe d un sous-ensemble de X par f et la définition de l image réciproque d un sous-ensemble de Y par f. (b) Soient A, B X, montrerquef(a B) =f(a) f(b), puis montrer que f(a B) f(a) f(b) etdonnerunexempleoùl inclusioneststricte. (c) Montrer que f est injective si, et seulement si, pour toutes parties A, B de E, onaf(a B) =f(a) f(b). (d) Montrer que f est bijective si, et seulement si, pour toutes parties A de E, on a F \ f(a) =f(e \ A). (e) Soient A, B Y.Montrerquef 1 (A B) =f 1 (A) f 1 (B), puis que f 1 (Y \ A) =E \ f 1 (A). 5. Soient X, Y deux ensembles et f : X Y une application. (a) Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes : i. Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes : A. f est injective, B. pour tout a X, f 1 (f({a})) = {a}, C. pour tout A P(X), f 1 (f(a)) = A. ii. Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes : A. f est surjective, B. pour tout b Y, f(f 1 ({b})) = {b}, C. pour tout B P(Y ), f(f 1 (B)) = B. Indications : On vérifiera d abord que pour tout A P(X), on a A f 1 (f(a)) et que pour tout B P(Y ), on a f(f 1 (B)) B. 6. Soient X, Y deux ensembles et f : X Y une application. Soient et ϕ : P(Y ) P(X),ϕ(B) =f 1 (B), ψ : P(X) P(Y ),ψ(a) =f(a), (a) Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes : i. f est injective 31

11 ii. ϕ est surjective iii. ψ est injective (b) Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes : i. f est surjective ii. ϕ est injective iii. ψ est surjective 7. Soit E un ensemble ; pour toute partie A de E, onnoteϕ A : P(E) P(E), définie par X X A et φ A : P(E) P(E), définie par X X A. (a) Montrer que ϕ A est injective si, et seulement si, ϕ A est surjective si, et seulement si, A = E. (b) Montrer que φ A est injective si, et seulement si, φ A est surjective si, et seulement si, A =. 8. Soit f une application de E dans E telle que f f f = 1 E.Montrerquef est bijective et exprimer sa bijection réciproque. 9. Soient E,F deux ensembles finis. On note m = E (resp. n = F )lenombre d éléments de E (resp. F ). Déterminer le nombre d injections de E dans F.Puis déterminer le nombre de bijections de E sur F. 32