Dossier thématique n 5

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1 Dossir thématiqu n 5 Radars t fft Dopplr Autur : Jan-François RÉCOCHÉ Dossir thématiqu n 5 Radars t fft Dopplr Pag 1

2 Dossir thématiqu Sommair n 5 Qul rapport ntr un ontrôl routir d vitss, un sauvtag n mr, la gstion d'un aéroport, un xamn ardiologiqu ou un éhographi, un bulltin météo t la théori du big bang? Répons : Un fft qui s'appliqu à tous typs d'onds (sonors t éltromagnétiqus prinipalmnt) t qui st à la bas d nombruss réalisations : L'fft Dopplr. 1 L'fft Dopplr. 2 Ls onds. 3 Emttur mobil Réptur immobil. 4 En résumé. P.3 P.4 P.4 V LES LIXIVIATS. P.7 VII Un pu d math. 5 Autrs as. 6 Viv ls math! 7 Ls onds éltromagnétiqus. 8 L radar. 9 Qulqus appliations. P.6 P.10 P.10 P.11 P.14 Dossir thématiqu n 5 Radars t fft Dopplr Pag 2

3 1 L'EFFET DOPPLER. Qui n'a pas véu l'xpérin lassiqu où, plaé n obsrvatur n bord d rout, on proit un son d fréqun supériur à la fréqun du son émis par la sirèn du amion, lorsqu lui-i s'approh, fréqun qui s'abaiss brusqumnt au momnt du roismnt, prnant alors un valur infériur, alors qu l amion s'éloign. Cs onstations sont très nttmnt antués lorsqu'il s'agit par xmpl d 2 trains s roisant à grand vitss, l'un utilisant un avrtissur. Si un ond aoustiqu st émis à un rtain fréqun, lorsqu la distan ntr l'émttur t l réptur vari n fontion du tmps, la fréqun d l'ond smbl varir. C phénomèn physiqu st onnu sous l nom d'fft Dopplr. C'st n 1842 qu Dopplr publi son artil sur l omportmnt ds onds. Indépndammnt, mais ultériurmnt, Fizau déouvr aussi phénomèn t l'appliqu aussi à la lumièr. C'st pourquoi on parl d'fft Dopplr-Fizau lorsqu'on parl d'onds luminuss. Christian Andras Dopplr (1803/1853) Mathématiin t physiin autrihin. Plusiurs as puvnt êtr nvisagés : - Emttur t obsrvatur tous dux n mouvmnt. - Emttur n mouvmnt t obsrvatur immobil. - Emttur immobil t obsrvatur n mouvmnt. Dans haqu as il put êtr nvisagé qu l'émttur t l'obsrvatur s'éloignnt ou s rapprohnt l'un d l'autr. Nous limitrons notr étud à un (ou ds) déplamnt(s) sur un mêm droit av ds vitsss onstants. Dossir thématiqu n 5 Radars t fft Dopplr Pag 3

4 2 LES ONDES. Lançons un aillou dans l'au. On voit alors d ptits vagus partir du point d hut du aillou t dssinr ds rls d plus n plus grands. Dans l'air (miliu élastiqu t homogèn), un son s propag via la modifiation d la prssion ds ouhs d'air (voir shéma i-dssous) Un ond st la propagation d'un ébranlmnt. Dans l as du aillou il s'agit d'un ond transvrsal (déformation dans la dirtion prpndiulair au déplamnt) Dans l as du son, 'st un ond longitudinal (déformation dans la dirtion du déplamnt) Dans ls dux as il n'y pas d déplamnt longitudinal d matièr: l bouhon posé sur l'au mont puis rdsnd, t prsonn n put prétndr êtr déoiffé par un son malgré l'xprssion, rroné don, "wouaw! group a un son qui déoiff!! " Point maximal d'ébranlmnt applé : FRONT D'ONDE Comprssion Déprssion Rmarqu : Comm il n'st pas fail d rprésntr un ond longitudinal, on shématis omm pour un ond transvrsal. (Ls propriétés qui nous intérssnt sont ls mêms) 3 ÉMETTEUR MOBILE RÉCEPTEUR IMMOBILE. Réptur immobil. L'émttur s dépla à la vitss V (n m/s). L'émttur (mobil) émt un son d fréqun onstant f (n Hz). Applons la vitss du son (n m/s). Pndant un périod, tmps T (T = 1/f, T n s), l prmir front d'ond a parouru la distan d f (n m) tll qu d f =.T Dossir thématiqu n 5 Radars t fft Dopplr Pag 4

5 Pndant tmps là l'émttur 'st déplaé d la distan d tll qu d = V.T Pour notr orill l'intrvall d tmps ntr dux fronts d'ond st infériur à l'intrvall rél lors d l'émission, l duxièm front d'ond ayant moins d distan à parourir. L duxièm front d'ond st spaé du prmir d : d = d f d =.T - V.T = ( V ).T Il n st d mêm pour ls fronts d'ond suivants. Chaqu front d'ond ayant un vitss, il mttra pour parourir tt distan t attindr à son tour l'émttur un tmps T : T = d = ( - V).T ( - V) soit T =. T L son prçu par l réptur a don un fréqun apparnt d'xprssion : f =. f - V - V > 1 don f > f. L'obsrvatur prçoit un son plus aigu. Ls proportions ntr d t d n sont pas rsptés 1 r front d'ond 2 èm front d'ond 3 èm front d'ond 4 èm front d'ond V Position du véhiul à l'émission d haqu front d'ond. d = ( V ).T d = V.T En 1848, l pèr d la météorologi B.BALLOT pla un dizain d trompttists sur un train t lur dmand d tous jour la mêm not. Il pla un autr group d musiins profssionnls sur l bord d la voi. Au passag du train, auun ds obsrvaturs n'st apabl d ronnaîtr la not joué. La pruv st fait! L'fft Dopplr modifi la prption d la fréqun d'un son. Dossir thématiqu n 5 Radars t fft Dopplr Pag 5

6 Exmpl : Soit = 340 m/s ; vitss du véhiul V = 25 m/s (90 km/h) ; fréqun d la sirèn 400 Hz. Un obsrvatur immobil voyant approhr un amion d pompir ntndra la sirèn à un fréqun 340 f =. 400 = 431,75 f 432 Hz (340-25) Et lorsqu l amion s'éloign? L shéma simplifié i-ontr prmt d répondr à la qustion : Lorsqu l'émttur aura dépassé l réptur, ls fronts d'ond ont d plus n plus d distan à parourir pour attindr l réptur. L'intrvall d tmps ntr dux fronts d'ond à la réption st maintnant supériur à l'intrvall rél lors d l'émission. Chaqu front d'ond st spaé du préédnt d : d = ( + V ).T d = d f + d =.T + V.T = ( + V ).T L son prçu par l réptur a don un fréqun apparnt d'xprssion : f = +. f V + V < 1 don f < f. L'obsrvatur prçoit un son plus grav. Rprnons notr xmpl : = 340 m/s ; V = 25 m/s (90 km/h) ; f =400 Hz. L'obsrvatur immobil voyant s'éloignr l amion, ntndra la sirèn à un fréqun 340 f =. 400 = 372,6 f 373 Hz ( ) A notr qu l'éart n'st pas "symétriqu" : gain d 32 Hz à l'approh, prt d 27 Hz à l'éloignmnt. Rmarqu important : Ls élèvs puvnt xprimr lur étonnmnt au fait qu la fréqun apparnt st la mêm tout au long d l'approh, hang brusqumnt au roismnt puis rst onstant tout au long d l'éloignmnt. Ils sont prsuadés qu plus l amion approh plus l son st aigu. Ctt snsation auditiv n'st pas fauss. Ell put êtr illustré av un GBF t un haut-parlur : A fréqun onstant lorsqu'on augmnt l'amplitud (l volum) l son smbl plus aigu. C n'st qu'un snsation. Dossir thématiqu n 5 Radars t fft Dopplr Pag 6

7 4 EN RÉSUMÉ. La voitur émt un son d fréqun f. L'obsrvatur prçoit un son d fréqun f. La voitur st à l'arrêt. f = f La voitur roul à un vitss V = Ct. La voitur approh d l'obsrvatur immobil. Ls fronts d'ond sont "rssrrés". f > f L son st prçu plus aigu. f =. f - V C : vitss du son La voitur s'éloign d l'obsrvatur immobil. Ls fronts d'ond sont "plus éartés". f < f L son st prçu plus grav. f =. f + V Maintnant vous avz ompris pourquoi quand j pass dvant vous ça fait "miaaaaaoooowwww..." Dossir thématiqu n 5 Radars t fft Dopplr Pag 7

8 5 AUTRES CAS. Emttur immobil t réptur n mouvmnt. Pour l'étud d as nous allons raisonnr (mais pas résonnr bin qu'on soit dans ds histoirs d son) d'un manièr différnt. Gardons la notation du as préédnt : L'émttur immobil émt un son d fréqun onstant f (n Hz). Périod T. : vitss du son (n m/s). V r : vitss du réptur (n m/s). Plaçons nous à l'instant t où l réptur prçoit l 1 r front d'ond. La distan séparant ls 2 fronts d'ond st : d f =.T 2 èm front d'ond 1 r front d'ond En plaçant l'origin au point O, l'équation horair du 2 èm front d'ond (qui va vrs l réptur) st : d =.t l'équation horair du réptur (qui va vrs l 2 èm front d'ond) st : d = d f V r.t =.T V r.t O d f =.T V r R Réptur L réptur rnontrra l 2 èm front d'ond à l'instant t tl qu :.t =.T V r.t.t + V r.t =.T ( + V r ).t =.T t = + V r. T C tmps st la périod apparnt T du son. L son prçu par l'obsrvatur a don un fréqun apparnt d'xprssion : + Vr f = + > 1 don f > f. L'obsrvatur prçoit un son plus aigu. Rompu() à touts s ogitations, vous dvinz la suit : Si l réptur s'éloign d l'émttur immobil, la fréqun apparnt st : V r. f f = V r. f Vr < 1 don f < f. L'obsrvatur prçoit un son plus grav. Dossir thématiqu n 5 Radars t fft Dopplr Pag 8

9 Un xmpl pour illustrr : Un alarm inndi émt un son à un fréqun d 1 khz. Un voitur d pompir s'n approh à un vitss d 90 km/h. Qull st la fréqun prçu par ls pompirs? f =.1000 = 1 073,5 f 1074 Hz 340 Si la voitur s'éloign d la sirèn : f =.1000 = 926,47 f 926 Hz 340 Bon bn. 2 paraétamols t on s'oup du drnir as!! Emttur t réptur n mouvmnt. Ls résultats préédnts prmttnt d alulr l'fft Dopplr lorsqu émttur t réptur s déplant simultanémnt. Mais, ar il y a un mais, dux situations sont à nvisagr : - Emttur t réptur s déplant n sns invrs. A la rnontr l'un d l'autr : V Après l roismnt : V r f + V = V r. f V r V f V = + V r. f - Emttur t réptur s déplant dans l mêm sns. Avant l dépassmnt : V V r f V = V r. f Après l dépassmnt : V r V f + V = + V r. f Dossir thématiqu n 5 Radars t fft Dopplr Pag 9

10 6 VIVE LES MATH! Voilà!.. huit formuls! C'st là qu l physiin st ontnt d'êtr opain av un mathux, qui lui, va transformr s huit formuls n un sul, oui m'ssiurs dams, n prononçant l mot magiqu : "Algèbr". Fixons omm sns positif, l sns d la propagation du son. Considérons V r t V omm ds valurs algébriqus ( d par la onvntion a toujours un valur positiv). Vr Tout n s résum plus qu'à un sul formul : f =. f V Rmarqus : - Dans tous ls as : l son prçu st plus aigu lorsqu émttur t réptur s rapprohnt, t il st plus grav lorsqu'ils s'éloignnt l'un d l'autr. - Si émttur t réptur n s déplant pas sur la mêm droit la rlation rst valabl pour ls norms V' t V' r ds omposants algébriqus ds vitsss (voir shéma). V V' r V' V r Ctt duxièm rmarqu va êtr ssntill dans la suit d notr dossir. 7 LES ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES. Un hamp éltromagnétiqu st la ombinaison d dux omposants : un hamp éltriqu E t un hamp magnétiqu B osillant dans ds plans prpndiulairs. La propagation ouplé d s dux E hamps st applé ond éltromagnétiqu (OEM). C sont ls variations du hamp éltriqu qui srvnt n général à rprésntr un ond éltromagnétiqu (ls variations d s dux hamps étant liés). B Propagation E B Dossir thématiqu n 5 Radars t fft Dopplr Pag 10

11 La vitss d propagation ds onds st aussi la élérité d la lumièr : = km/h soit m/s ( m/s dans l vid pour êtr préis!). En fft, qu nous applons ommunémnt "la lumièr" n'st qu la parti visibl du sptr d la déomposition d'un rayonnmnt éltromagnétiqu (n fontion d la fréqun dans l shéma idssous) (Hz) Fréqun Onds radio Miro-onds Infra rougs Ultra violts Rayons X Rayons γ Onds radar Lumièr visibl Au ontrair ds onds sonors, ls OEM n'ont pas bsoin d support pour s propagr. 8 LE RADAR. La prmièr parti du dossir a utilisé omm support ls onds aoustiqus, mais l'fft Dopplr st aussi appliabl aux onds éltromagnétiqus (onds radio t luminuss ntr autrs). L'fft Dopplr st ainsi mis à profit pour msurr ls vitsss radials d multipls objts, à touts ls éhlls dans l'univrs. L mot radar st un aronym (sigl prononé omm un mot normal) dont ls lttrs signifint : RAdio Dttion And Ranging qui put s traduir par "déttion t stimation d la distan par onds radio ". L'antnn diffus vrs un ibl potntill l'ond éltromagnétiqu produit par un émttur. Réfléhi par la ibl, apté par l'antnn (qui jou don un doubl rôl), tt ond st transmis au réptur. L hangmnt d fréqun du signal par fft Dopplr, prmt d msurr vitss t position d la ibl. Dossir thématiqu n 5 Radars t fft Dopplr Pag 11

12 Avant d'abordr qulqus utilisations (list non xhaustiv) voyons n détail l fontionnmnt ds radars routirs. Msta 208 Radar fix 2 ièm génération Msta (dont l 206, l'anstral "barbu"), Multanova, Crva, Magda, sont qulqus xmpls ds différnts modèls utilisés n post fix ou mbarqué. L radar d ontrôl routir émt un ond ontinu (d'autrs radars émttnt ux ds impulsions) t msur la différn d fréqun ntr l'ond émis t l'ond réfléhi par la ibl, afin d alulr la vitss d tt ibl à l'aid ds formuls vus préédmmnt. L'ond réfléhi a un plus grand fréqun lorsqu l véhiul s'approh du radar t un plus ptit fréqun si l véhiul s'n éloign. Ls longuurs d'ond utilisés sont lls ds bands K ou Ka (Ls désignations ds différnts bands provinnnt ds ods utilisés durant la sond gurr mondial). K (18 27 GHz) pour ls radars routirs manuls (24,150 GHz ± 0,1 GHz) Ka (27 40 GHz) pour ls radars routirs automatisés (34,3 GHz ± 0,1 GHz) Pour qu ls msurs réalisés par ls radars (fixs ou mobils) soint xats, ux-i doivnt êtr réglés à 25 par rapport à l'ax du déplamnt (arrêtés du 7 janvir 1991 t 31 démbr 2001). 25 Dossir thématiqu n 5 Radars t fft Dopplr Pag 12

13 v Rapplons la formul d la pag 10 : f =. f v Av v t v vitss du réptur (ii l véhiul) Dans l as étudié, la vitss d l'émttur V (ii l radar) st V = 0. On obtint don v f =. f C qui, après transformation donn : v = ( f - f) f Mais, attntion, tt formul doit êtr orrigé : D'un part, l'ond réptionné a parouru un "allr-rtour", il st don néssair d'introduir l offiint ½. Véhiul D'autr part, La vitss v ainsi alulé st la vitss radial. La vitss réll v réll st don tll qu : v = v réll. os 25 v 25 v réll Radar Nous aboutissons don à : v réll ( f - f) = 2. f.os25 D plus : Lorsqu la ibl s rapproh du radar, f >f. La vitss v réll st négativ (normal, la ibl s dépla n sns invrs d l'ond). Pour simplifir ls aluls slon ls situations, nous posrons f = f - f vréll. f = 2. f.os25 Dossir thématiqu n 5 Radars t fft Dopplr Pag 13

14 Exmpls : Un véhiul irulant n agglomération (vitss limité à 50km/h) st ontrôlé par un radar Dopplr d la gndarmri d typ Msta 208 (f = 24,125 GHz). Au passag du véhiul la variation d fréqun nrgistré st f = Hz. L'angl d visé α st tl qu α = 25. C véhiul st-il n infration? Un radar Dopplr OEM d fréqun F = 21 GHz, plaé sur l ntral d Roland Garos nrgistr un variation d fréqun F = 7,5 khz lors d'un srvi d Jo-Wilfrid Tsonga. L'angl d visé Dopplr α st d 20. Qull st la vitss d la ball d Tsonga? 9 QUELQUES APPLICATIONS. L'éhographi Dopplr. La différn ds fréquns d'émission t d réption ds ultrasons rnvoyés par ls élémnts du sang prmt d alulr la vitss t la dirtion ds globuls rougs. L sonar L'homm ssai tant bin qu mal d opir l sonar biologiqu parfait qui équip ls étaés. L dauphin st apabl d'émttr ou d réptionnr ds sons ou ultrasons pour "parlr" ou rpérr t situr d'évntulls ibls. La hauv-souris dispos d'un systèm d'éholoation idntiqu dans l prinip à lui du dauphin, à la différn près qu lui-i fontionn dans l'air t non n mr. Aronym d sound navigation and ranging, l sonar st utilisé par ls marins d gurr, pour la pêh, pour la navigation maritim t fluvial. Ls sonars puvnt êtr atifs (émission d'un son t éout d son ého) ou passifs (éout ds bruits). Dossir thématiqu n 5 Radars t fft Dopplr Pag 14

15 La loalisation Dopplr L déalag d fréqun ntr la fréqun émis par la balis t la fréqun rçu par l satllit prmt d loalisr l'émttur. Quand l satllit st à la vrtial d la balis, la fréqun du signal rçu st égal à la fréqun du signal émis. C'st l point TCA (Tim of Closst Approah) En fontion du nombr d "mssags" rçus, la préision d la loalisation hang. Ell put varir d moins d 150 mètrs à nviron 15 kilomètrs! L'astronomi L'fft Dopplr prmt d détrminr dirtmnt la vitss d approh ou d éloignmnt ds objts élsts (étoils, galaxis, nuags d gaz, t.). Un sour n mouvmnt (un étoil par xmpl) émt ds onds qui s modifint ( déalag apparaît dans ls rais du sptr). Plus la sour va vit par rapport à l obsrvatur, plus déalag sra important. Pour ds objts très rapids omm ls galaxis ou ls quasars, ls déalags sont partiulièrmnt importants. Pour simplifir la ompréhnsion, disons qu quand la sour s approh d l obsrvatur, ls rais sont déalés vrs l blu ; quand la sour s n éloign, lls sont déalés vrs l roug. C st déalag quasimnt systématiqu d la lumièr ds galaxis vrs l roug qui a démontré qu l univrs était n xpansion (Loi d Hubbl). Dossir thématiqu n 5 Radars t fft Dopplr Pag 15

16 La météorologi L prinip d'un radar météorologiqu st d'émttr un faisau d'onds éltromagnétiqus dans l'atmosphèr. Cs onds sont réfléhis par tous ls obstals qu'lls rnontrnt (plui, nig, grêl, montagns ) L radar apt s onds réfléhis t évalu lur dnsité t la distan à laqull lls s trouvnt. Plus un prturbation atmosphériqu st intns, plus l'spa ntr ls gouttltts d'au st réduit t plus la quantité d'onds réfléhis st important. L radar météorologiqu Dopplr prmt d plus, d'avoir un information sur la vitss radial d s préipitations. L'aviation L radar émt ds suits d'impulsions d'onds éltromagnétiqus rprésntant ds mssags d'intrrogation. Ls transpondurs à bord ds avions déttnt s intrrogations, ls déodnt, t émttnt à lur tour ds suits d'impulsions d'onds éltromagnétiqus rprésntant ls réponss à haqu intrrogation rçu. Ls réponss ds avions prmttnt d définir lur position. L GPS L GPS (Global Positioning Systm ou Géo Positionnmnt par Satllit) st un systèm d positionnmnt par satllits, apabl d donnr n' import où sur l glob un position ntr un ntain d mètrs t qulqus ntimètrs, d jour omm d nuit. La parti visibl st un ptit boîtir éltroniqu (votr réptur gps), qui qul qu soit l'hur t l liu, indiqu: l'ndroit xat, l'altitud, la vitss, l'hur, t av rapidité t préision. L prinip du positionnmnt GPS st très proh du prinip d triangulation. L GPS msur la distan ntr l'utilisatur t un rtain nombr d satllits d positions onnus grâ au tmps qu'a mis haqu signal à parvnir jusqu'à lui. On définit ainsi ds sphèrs ntrés sur ds satllits t dont l'intrstion donn la position. Dossir thématiqu n 5 Radars t fft Dopplr Pag 16