Equation Modifiee. August 13, 2004

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1 Equation Modifiee Marc Duruflé August 13, 004

2 Capter 1 Scéma d ordre 4 pour l équation des ondes 1.1 Problème Modèle On veut résoudre l équation des ondes dans un domaine Ω de frontière Γ (1.1) 1 u c (x,t) u(x,t) = f (x,t) x Ω t u(x,0) = u t (x,0) = 0 x Ω u n (x,t) + 1 u c t (x,t) = 0 x Γ On suppose qu on a coisi une discrétisation, comme l utilisation d éléments finis avec condensation de masse. On se ramène alors au problème matriciel suivant : (1.) A = M 1 K d U (t) A du U(t) + Σ (t) = F(t) M K matrice de masse matrice de rigidité Σ matrice issue de la condition absorbante sur Γ Pour la discrétisation en temps de cette équation d évolution, on utilise la tecnique de l équation modifiée. 1. Approce de l équation modifiée On écrit le développement de Taylor de U(t + (n + 1) t) et U(t + (n 1) t). On utilise la notation 1

3 U n = U(t + n t) (1.3) U n+1 = U n + t du U n 1 = U n t du + t + t d U d U + t3 6 t3 6 d 3 U 3 d 3 U 3 + t4 4 + t4 4 d 4 U d 4 U On en déduit que (1.4) U n+1 U n +U n 1 t = d U + t 1 d 4 U 4 + O( t4 ) On a également (1.5) U n+1 U n 1 t = du + t 6 d 3 U 3 + O( t4 ) La tecnique de l équation modifiée consiste à approcer les termes correctifs d4 U 4 en dérivant l équation. On a (1.6) d U = A U + F Σ du et d3 U 3 d 3 U du 3 = A = A du + df + df = (A + Σ ) du Σ d U Σ (A U + F) + Σ Σ (A U + F) + df du d 4 U 4 = (A + Σ ) d U Σ (A du + df ) + d F = (A + Σ )(A U + F) (A + Σ )Σ du Σ A du = (A + Σ )(A U + F) (Σ A + A Σ + Σ 3 )du Le terme d ordre deux, de l équation des ondes est remplacé par : Σ df Σ df + d F + d F d U = U n+1 U n +U n 1 t = U n+1 U n +U n 1 t t 1 t 1 d 4 U 4 + O( t4 ) [ (A + Σ )(A U n + F n ) (Σ A + A Σ + Σ 3 )3U n 4U n 1 + U n t Σ df ] + d F + O( t 4 )

4 (1.7) On a utilisé un scéma décentré d ordre deux, pour la dérivée en temps : du = 3U n 4U n 1 + U n t Le terme d amortissement est remplacé par : + O( t ) Σ du = Σ (U n+1 U n 1 ) t = Σ (U n+1 U n 1 ) t Σ (A U n + F n ) + Σ df t 6 Σ d 3 U 3 + O( t4 ) [ t (Σ A + Σ 3 6 ) 3U n 4U n 1 + U n t ] + O( t 4 ) On obtient ainsi le scéma suivant à trois pas de temps (I + t Σ )U n+1 = U n U n 1 + t (A U n + F n ) + t Σ U n 1 + t4 1 (A Σ )(A U n + F n ) t3 4 (A Σ Σ A Σ 3 )(3U n 4U n 1 + U n ) + t4 1 d F + t4 1 Σ df Les premiers instants U 0,U 1,U peuvent être calculés via un scéma à un pas, de type Runge-Kutta. Si les conditions sont nulles, on coisit un temps initial antérieur au premier instant où F(t) est non-nulle. On initialise alors ces trois vecteurs à Autres scémas comparatifs Notre principal scéma de comparaison est le scéma classique d ordre, qui s écrit (1.8) (I + t Σ )U n+1 = U n U n 1 + t (A U n + F n ) + t Σ U n 1 On remarque que le scéma d ordre 4 issu de l équation modifiée ajoute à ce scéma des termes correctifs d ordre. 1.4 Source On prend une source á variables séparées : F(x,t) = f (x)g(t) Pour ce qui est du terme d espace, on coisit une gaussienne : r 0 rayon de distribution f (x) = 1 r 0 exp( 7 r r0 ) 3

5 Pour ce qui est du terme temporel, on coisit une dérivée seconde de Gaussienne, qu on appelle aussi Rickert G(t) = f 0 t 1 f 0 e π ( f 0 t 1) g(t) = [π ( f 0 t 1) 1]e π ( f 0 t 1) g (t) = f 0 [6π ( f 0 t 1) 4π 4 ( f 0 t 1) 3 ]e π ( f 0 t 1) g (t) = f 0 [6π 4 pi 4 ( f 0 t 1) + 8π 6 ( f 0 t 1) 4 ]e π ( f 0 t 1) 1.5 Validation numérique pour un cas Neumann pur Dans un premier temps, on coisit de remplacer la condition absorbante sur Γ par une condition de Neumann omogène. On prend une cavité carrée 8x8, on place la source au centre. La fréquence de la source est de 1 Hz, le rayon de distribution de 0.3m. On fixe la discrétisation en espace à 4 segments sur caque côté, et on utilise du Q4. On a mis ainsi 3 éléments par longueur d onde, soit 1 points par longueur d onde. On calcule un sismogramme de la solution à l origine entre t = 143s et t = 155s. L erreur du scéma est calculée à partir de ce sismogramme. On laisse le calcul se terminer à t = 00s, on vérifie qu il n y a pas apparition d instabilités au temps final. Tous les temps de calcul sont décomptés entre t = 1s et t = 00s. Le scéma d ordre 4 donne les résultats suivants t Erreur Ordre Temps s s s s La limite de stabilité est situé entre t = 0.06 et t = L erreur relative est calculée en prenant la solution au pas de temps le plus petit comme référence. L ordre de convergence est calculé par la formule r = log( u 4 t u t ) log( u t u t ) log(4 t) log( t) Le scéma d ordre donne les résultats suivants 4

6 t Erreur Ordre Temps 0.06 instable s s s s On retrouve bien les ordres des scémas, et si on se fixe une erreur à 5%, on peut estimer le temps de calcul des deux scémas. Ordre 4 : 5% d erreur pour t = soit 8 s Ordre : 5% d erreur pour t = soit 101 s Sur cet exemple élémentaire l ordre 4 est environ trois fois plus rapide! On peut se poser la question de savoir si la discrétisation en espace est suffisament fine pour que la solution convergée en temps soit proce de la solution convergée en temps et en espace. On a donc calculé le sismogramme pour 40 intervalles en espace contre 4 et avec t = 0,0075 avec un scéma d ordre 4. On obtient une erreur relative entre les deux sismogrammes de 6%. Prendre un objectif d erreur à 5% semble pertinent. On peut illustrer l expérience avec les différents sismogrammes obtenus pour les différents pas de temps, sur la figure 1.1. La solution de référence afficée est celle obtenue avec 4 intervalles et t = sur le scéma d ordre 4. 5

7 t = 0.03 t = t = Reference Solution U(t) Time (s) Figure 1.1: Sismogramme dans le cas Neumann pur pour différents pas de temps pour le scéma d ordre 6

8 1.6 Validation numérique dans le cas absorbant Dans cette section, on coisit un domaine Ω circulaire de rayon 4. On place au centre de ce domaine un disque diélectrique ρ = 4 de rayon 3. La frontière extérieure est absorbante. On coisit le point source à (-;0), et le point d enregistrement du sismogramme à (.5 ; 0). Les temps de relevé sont identiques à l expérience précédente : t = 143s et t = 155s. On coisit un ordre d approximation 4 en espace et environ 1 points par longueur d onde, le maillage est quasi-régulier. Le scéma d ordre 4 donne les résultats suivants t Erreur Ordre Temps e 4 167s e 5 331s e s s La limite de stabilité est située entre t = 0.0 et t = Le scéma d ordre donne les résultats suivants t Erreur Ordre Temps s s s s s On se fixe une erreur à 5%, on peut estimer le temps de calcul des deux scémas. Ordre 4 : 5% d erreur pour t = 0.06s soit 18 s Ordre : 5% d erreur pour t = s soit 195 s Sur cet exemple élémentaire l ordre 4 est environ 1.5 fois plus rapide. On rencontre néanmoins une difficulté par rapport au cas Neumann pur. En effet, la CFL est diminuée du fait de la présence de la condition absorbante. On situe dans le cas présent la limite de stabilité à t = 0.06, l erreur obtenue sur le sismo est alors de 0.%. Quand on prend t = 0.08s, on observe une instabilité qui se développe quand le front de l onde vient taper sur la condition 7

9 absorbante. Cette observation nous permet de conjecturer que la présence de la condition absorbante diminue la CFL. Cette diminution semble être moins sensible sur l ordre. Y en a t il une??? Comme dans le cas Neumann pur, on mesure l écart avec une solution raffinée en espace. On prend un maillage deux fois plus fin en espace et avec t = sur le scéma d ordre 4. On obtient une erreur relative de 1.33%. On peut illustrer l expérience avec les différents sismogrammes obtenus pour les différents pas de temps, sur la figure 1.. La solution de référence est calculée sur le même maillage avec le scéma d ordre 4 et t = Solution U(t) 8 x t = 0.0 t = 0.01 t = Reference Time (s) Figure 1.: Sismogramme dans le cas absorbant pour différents pas de temps pour le scéma d ordre 8

10 Capter Scéma d ordre 4 pour l équation des ondes - Formulation mixte.1 Formulation mixte du scéma On considère une formulation sous forme de système d ordre 1 de l équation des ondes (.1) Soit après discrétisation en espace : u (x,t) div( v(x,t)) = f (x,t) t v t (x,t) u(x,t) = 0 (.) D du (t) + R V(t) + D Σ U(t) = F(t) B dv (t) Rt V (t) = 0 Σ est identique à la matrice introduite au début du capitre. Elle se rapporte à une frontière avec condition absorbante, ou un milieu avec amortissement. On peut écrire ce système sous la forme condensée dx (t) = BX(t) X(t) = U(t) B = Σ D 1 V(t) B 1 Rt 0 Ce type de problème d évolution est largement traité dans la littérature... Un autre avantage de considérer le système d ordre 1 par rapport à l équation d ordre est l adjonction de PML plus aisée. Mais la résolution de ce système nous semble plus coûteuse si on a uniquement des conditions absorbantes ou de type Neumann, car l inconnue v est trois fois plus volumineuse que u en 3-D. R 9

11 . Instabilité du scéma saute-mouton? On utilise le scéma saute-mouton classique du (t) = U n+1 U n 1 t Ce qui nous donne le scéma suivant sur l équation des ondes : (.3) U n+1 = U n 1 t D 1 R V n t Σ U n + F n V n+1 = V n 1 + t B 1 Rt U n On va maintenant démontrer l équivalence de ce scéma avec un scéma d ordre en U uniquement. On prend une source égale à zéro. U n+ U n + U n = U n+ U n (U n U n ) = t D 1 R V n+1 + t D 1 R V n 1 tσ (U n+1 U n 1 ) = 4 t D 1 R B 1 Rt U n tσ (U n+1 U n 1 ) Quand on utilise des éléments finis avec condensation de masse, on a un téorème d équivalence qui dit simplement que à A = D 1 R B 1 Rt où A est la matrice définie au début du capitre. Le scéma en U et V est donc équivalent (.4) U n+ U n + U n 4 t A U n + Σ U n+1 U n 1 t En l absence de condition absorbante ( Σ = 0 ), ce scéma est identique au scéma classique d ordre deux, excepté le fait qu on fait deux fois plus de calculs! Il est dans ce cas parfaitement stable. Cependant quand on met une condition absorbante, on observe numériquement des instabilités que ce soit sur l équation d ordre deux ou sur le système. En voici un exemple calculé en considérant le système et du Q en espace, qu on peut voir sur la figure.1 : = 0 10

12 t = 3s t = 4s t = 5s t = 6s Figure.1: Evolution de la solution numérique à plusieurs instants avec le scéma sautemouton et condition absorbante 11

13 On observe aussi des instabilités quand on prend un amortissement dans tout le domaine, pour Q1, Q et Q4. Heureusement l analyse de stabilité téorique nous permet de conclure, je remercie Eliane Bécace pour son aide précieuse. On cerce U n = Λe iωn t Si la partie imaginaire de ω est positive ou nulle, on a un scéma stable. On a alors Soit e iω t + e iω t 4 t Λ A Λ + eiω t e iω t Σ Λ = 0 t sin (ω t) t Λ A Λ + isin(ω t) Σ Λ = 0 t Si on suppose que A et Σ peuvent être diagonales dans une même base, on a X = sin(ω t) t solution de X A + iσ X = 0 Le discriminant de cette équation vaut δ = Σ 4A On a deux solutions, la racine carrée étant une racine carrée complexe (.5) sin(ω t) t sin(ω t) t = i Σ = i Σ + δ δ 4A est positif et Σ est négatif. On a donc sin(ω t) complexe. Maintenant posons z vérifie alors l équation z = e iω t z + 1 z 4 t Â Λ + t(z 1 z ) ˆσ = 0 On a noté  le symbole du laplacien et ˆσ l amortissement supposé constant. On obtient ainsi une équation d ordre 4 en z : z 4 + t ˆσz 3 ( + 4 t  )z t ˆσz + 1 = 0 On veut montrer que toutes les racines de ce polynome sont de modules inférieurs ou egal à un. Le coefficient en z 0 et z 4 est égal à un donc z i = 1 1

14 Si l une des racines est de module strictement inférieur à un, on a forcément une autre racine de module strictement supérieur à un. Donc, pour avoir un scéma stable, il faut avoir z i = 1 pour toutes les racines, ce qui revient à avoir ω réel et donc sin(ω t) réel. Or l équation en sinus nous donne des racines complexes pour ˆσ > 0. En conclusion, en présence d un amortissement non-nul, ce scéma est inconditionnellement instable..3 Le scéma saute-mouton comme on devrait l écrire Si on enlève la condition absorbante, on remarque que deux suites sont complètement découplées : U 0,U...U n V 1,V 3...V n+1 U 1,U 3...U n+1 V 0,V...V n Cette remarque nous permet de simplifier le scéma en ne calculant qu une seule suite : (.6) U n+1 = U n t D 1 R V n+1/ + F n V n+3/ = V n+1/ + t B 1 R t U n+1 (.7) On rajoute la condition absorbante en approximant U n+1/ = U n +U n+1 (I + t Σ )U n+1 = U n t D 1 R V n+1/ t Σ U n + F n V n+3/ = V n+1/ + t B 1 Rt U n+1 Ce scéma d ordre deux sera notre point de comparaison dans les expériences numériques..4 Tecnique de l équation modifiée sur le système Si on considère l équation On approce la dérivée par dx = BX(t) dx = X n+1 X n 1 t t 6 d 3 X 3 = X n+1 X n 1 t t 6 B3 X n 13

15 On obtient le scéma X n+1 = X n 1 + t B(X n t 6 B X n ) Sur l équation des ondes en dimension 1, d après le rapport de recerce de S. Piperno, la CFL de ce scéma serait multipliée par.8 par rapport à la CFL du scéma saute-mouton. Cependant, il est préférable d utiliser un scéma saute-mouton comme on l a écrit dans la section précédente. Pour simplifier les écritures, on note A 1 = D 1 R A = B 1 Rt On a alors En dérivant En dérivant, on a du dv d U = A 1 dv = A 1 V + F Σ U = A U + df = A 1 A U + df Σ du = (A + Σ df )U + Σ (F + A 1 V ) + Σ U Σ (F + A 1 V) d 3 U 3 = (A + Σ )du + d F Σ df Σ A 1 A U = (A + Σ )(F + A1 V) (A Σ + Σ A + Σ 3 )U Σ df Pour V d 3 V 3 = A d U = A [ (A + Σ )U Σ (F + A 1 V ) + df ] Le scéma sur u est modifié U n+1 U n t t d 3 U 4 3 = (A 1 V n+1/ + F n+1/ U n +U n+1 ) Σ + d F + t 8 Σ d U 14

16 (I + t Σ )U n+1 = U n + t (A 1 V n+1/ + F n+1/ ) t Σ U n En regroupant certains termes + t3 4 (A + Σ )(A1 V n+1/ + F n+1/ ) t3 4 (A Σ + Σ 3 + Σ A )U n+1/ t3 4 Σ df + t3 d F 4 + t3 8 (Σ3 + Σ A )U n+1/ t3 8 Σ (A1 V n+1/ + F n+1/ ) + t3 8 Σ df (I + t Σ )U n+1 = U n + t (A 1 V n+1/ + F n+1/ ) t Σ U n + t3 4 (A Σ )(A1 V n+1/ + F n+1/ ) t3 4 (A Σ Σ 3 Σ A ) 3U n U n 1 + t3 1 Σ df + t3 d F 4 On a utilisé une approximation d ordre décentrée pour U n+1/. On applique le même procédé et on obtient le scéma sur v V n+3/ = V n+1/ + ta { U n+1 + t 4 [ (A + Σ )U n+1 Σ (A 1 V + F) n+1 + df ] } On utilise le même scéma décentré pour évaluer le terme en V n+1..5 Validation numérique dans le cas Neumann pur Les données sont strictement identiques à celles de la première partie Le scéma d ordre 4 donne les résultats suivants 15

17 t Erreur Ordre Temps s s s s La limite de stabilité est situé entre t = 0.09 et t = 0.1. L erreur relative est calculée en prenant la solution au pas de temps le plus petit comme référence. L ordre de convergence est calculé par la formule r = log( u 4 t u t ) log( u t u t ) log(4 t) log( t) Le scéma d ordre donne les résultats suivants t Erreur Ordre Temps 0.06 instable s s s s On retrouve bien les ordres des scémas, et si on se fixe une erreur à 5%, on peut estimer le temps de calcul des deux scémas. Ordre 4 : 5% d erreur pour t = soit 70 s Ordre : 5% d erreur pour t = soit 110 s Sur cet exemple élémentaire l ordre 4 est environ 1.5 fois plus rapide. On peut maintenant faire quelques remarques entre les scémas sur le système et ceux écrits sur l équation d ordre deux. On observe en premier lieu que le scéma d ordre écrit sur l équation d ordre est complètement équivalent à celui écrit sur le système, il est légèrement plus rapide car, v comporte plus d inconnues que u, la différence doit être plus importante en 3-D. Les deux scémas d ordre 4 sont quant eux bien distincts, il semblerait que le scéma d ordre 4 écrit sur le système soit plus lent, mais sa limite de stabilité est plus élevée et il donne une erreur inférieure à pas de temps égal. 16

18 .6 Validation numérique dans le cas absorbant On vérifie qu on garde le bon ordre de convergence sur le cas absorbant, détaillé dans la première partie. Le scéma d ordre 4 donne les résultats suivants t Erreur Ordre Temps e 4 55s e 5 510s e s s La limite de stabilité est située entre t = 0.0 et t = Le scéma d ordre donne les résultats suivants t Erreur Ordre Temps s s s s s On se fixe une erreur à 5%, on peut estimer le temps de calcul des deux scémas. Ordre 4 : 5% d erreur pour t = 0.08s soit 18 s Ordre : 5% d erreur pour t = s soit 05 s La limite de stabilité est située vers t = 0.08s pour l ordre 4. Comme dans la première partie, la présence de la condition absorbante diminue fortement la CFL de l ordre 4. On pourrait coisir comme remède de développer une métode d ordre 4 avec des pas de temps locaux, petits sur les éléments proces de la condition absorbante. 17

19 Capter 3 Scéma d ordre 4 en utilisant des PML 3.1 Formulation du problème dans les PML La motivation de cette section est de construire un scéma d ordre 4 en temps en substituant la condition absorbante par l ajout de couces absorbantes PML (Perfectly Matced Layers). Dans le domaine Ω pml, on utilise une formulation introduite par S. Fauqueux : (3.1) ρ u t v t v t 1 v µ t u n div( v) d k=1 v e k = 0 dans Ω pml + T v = u dans Ω pml + T v = T v dans Ω pml + µ 1 T v = v t dans Ω pml = 0 sur Ω pml Les tenseurs T et T sont diagonaux. Le domaine intérieur est un rectangle/parallépipède Ω = d ] [x imin,x imax i=1 On coisit un profil parabolique pour les coefficients d amortissement 3c a v σ log(1000)( x imin x i ) a pour x i x imin τ i (x i ) = 0 pour x imin x i x imax 3c a v σ log(1000)( x imax x i ) pour x i x imax a (3.) τ i (x i) = dτ i(x i ) dx i 18

20 (3.3) c est la plus grande vitesse de l onde dans le domaine a est l épaisseur de la couce abosrbante v σ est une paramètre permettant de régler l amortissement dans la PML. On a pris une condition de Neumann au bord de la PML. Dans le domaine pysique, on conserve les mêmes équations ρ u t 1 v µ t div( v) = f dans Ω u = 0 dans Ω On peut retrouver les équations du domaine pysique en étendant les équations du domaine PML à tout le domaine, et en prenant T = 0 T = 0. En pratique, on sépare les deux domaines pour des raisons évidentes de performance! L avantage immédiat de cette formulation est qu elle est identique en -D et en 3-D, ce qui nous permet d écrire un scéma unifié indépendant de la dimension. Le second avantage est que cette formulation est d ordre un (absence de dérivées secondes en temps), ce qui permet d utiliser des scémas classiques pour résoudre ce problème d évolution. Comme dans la première section, on écrit les équations après la discrétisation en espace. Dans le domaine intérieur : (3.4) (3.5) Dans le domaine PML : du dv dv dv du dv = A 1 V + F = A U = A 1 V + S V = T V + A U = T V + T V = T V + B dv On note φ i les fonctions de base associées à l inconnue scalaire, prise dans H 1. ψ i les fonctions de base associées aux inconnues vectorielles prises dans L. 19

21 (D ) i, j = Z (D A 1 ) i, j = (D S ) i, j = ( B ) i, j = (B ) i, j = (B A ) i, j = Z Z Ω Z Ω Ω Z Ω Z ( B T ) i, j = ( B T ) i, j = ( B B ) i, j = Z Ω Z Ω Z Ω φ i φ j Ω φ i ψ j d φ i ψ j e k k=1 ψ i ψ j µ 1 ψ i ψ j φ j ψ i Ω T ψ j ψ i T ψ j ψ i ψ j ψ i 3. Application de la tecnique de l équation modifiée On utilise les deux développements suivants ; (3.6) U n+1 U n t = du + t 4 d 3 U 3 + O( t4 ) (3.7) V n+3/ + V n+1/ = V + t 8 On obtient alors le scéma suivant dans les PML d V + O( t4 ) 0

22 U n+1 U n t t 4 V n+3/ V n+1/ t V n+3/ V n+1/ t V n+3/ V n+1/ t d 3 U 3 = A 1 V n+1/ + S V n+1/ t 4 t 4 t 4 d 3 V V n+3/ + V n+1/ 3 = T d 3 V V n+3/ + V n+1/ 3 = T + T V n+3/ + V n+1/ d 3 V V n+3/ + V n+1/ 3 = T + B V n+3/ V n+1/ t t 8 T d V + A U n+1 t 8 T d V t 8 T d V t 8 T d V t 4 B d 3 V 3 On va maintenant réutiliser les équations pour estimer les dérivées tierces, et exprimer le scéma uniquement avec des dérivées secondes. On a d 3 U 3 = A 1 d V d 3 V d V 3 = T + S d V + A d U d 3 V d V 3 = T + T d V d 3 V d V 3 = T Le scéma dans les PML s écrit alors + B d 3 V 3 U n+1 = U n + t(a 1 V n+1/ + S V n+1/ ) + t3 4 (I tt )V n+3/ = (I + tt )V n+1/ + ta U n+1 t3 1 T d V ( A 1 d V + S d V ) + t3 4 A d U (I tt )V n+3/ = (I + tt )V n+1/ + B (V n+3/ V n+1/ ) t3 1 T d V (I tt )V n+3/ = (I + tt )V n+1/ + t T (V n+3/ + V n+1/ ) t3 1 T d V t3 1 T d V 1

23 On calcule les dérivées secondes ; d V (n + 1/) = T dv + B (T dv + A du ) = T V n+1/ + T B (T V n+1/ + A U n+1/ ) [ ] + B T V n+1/ + T A U n+1/ + A (A 1 V n+1/ + S V n+1/ ) = T V n+1/ + T B (T V n+1/ + A U n+1/ ) + B A (A 1 V n+1/ + S V n+1/ ) Dans la dernière équation, on a utilisé le fait que B permute avec T, ce qui est le cas en milieu isotrope. On explicitera ultérieurement comment on calcule U n+1/. Deux alternatives s offrent à nous, soit prendre une expression décentrée, soit garder une expression centrée avec une estimation d ordre de U n+1. d V (n + 1/) = T dv + T dv = (T T + T T )V n+1/ + T V n+1/ + T B (T V n+1/ + A U n+1/ ) On explicite maintenant les dérivées secondes dont on a besoin au temps n + 1. d U dv (n + 1) = A1 + S dv = A 1[ ] T V n+1 + B (T V n+1 + A U n+1 ) + S (T V n+1 + T V n+1 ) Le même problème se pose pour le calcul de V n+1 que pour le calcul de U n+1/. d V (n + 1) = T (T V n+1 + A U n+1 ) + A (A 1 V n+1 + S V n+1 ) d V (n + 1) = T V n+1 + T B (T V n+1 + A U n+1 ) + B d V (n + 1) d V (n + 1) = (T T + T T )V n+1 + T V n+1 + T B (T V n+1 + A U n+1 ) 3..1 Utilisation de termes centrées On peut utiliser l approximation suivante U n+1/ = U n + U n+1 L inconvénient est qu on aboutit à un scéma implicite au niveau des PML, ce qui est proibitif au niveau du temps de calcul, surtout en 3-D. On peut contourner ce problème en appliquant la tecnique suivante Calcul de U n+1 V n+3/ V n+3/ V n+3/ à l aide du scéma d ordre

24 Calcul de U n+1/ = U n + U n+1 en utilisant ces valeurs, idem pour V n+1 V n+1 V n+1 Calcul complet de U n+1 V n+3/ V n+3/ V n+3/ à l ordre 4 L approximation de U n+1/ est d ordre, on garde globalement un scéma d ordre Utilisation de termes décentrés On peut également utiliser une évaluation d ordre décentré U n+1/ = 3U n U n 1 Comme les PML sont absorbantes, le décentrage rajoute de l absorption, ce qui est peu gênant! Le coix d une tecnique doit se faire vis-à-vis de la stabilité. Les résultats numériques présentés ont été réalisés en utilisant des termes décentrés. 3.3 Résultats numériques On utilise le même cas test que dans le cas de la condition absorbante. On diffracte un disque diélectrique avec un point source. En revance, on coisit cette fois un domaine carré entouré de couces absorbantes. Le maillage est relativement bien régulier, comme on peut le voir sur la figure Figure 3.1: Maillge utilisé pour les simulations numériques Le scéma d ordre 4 donne les résultats suivants (v σ = 1.) 3

25 t Erreur Ordre Temps s e 4 35s e s e s s La limite de stabilité est située entre t = 0.05 et t = On peut comparer les sismogrammes obtenus avec les PML, par rapport à la condition absorbante sur la figure x PML ABC Order 1 Solution U(t) Time (s) Figure 3.: Sismogrammes avec condition absorbante et PML Le scéma d ordre donne les résultats suivants 4

26 t Erreur Ordre Temps 0.04 instable s s s s s On se fixe une erreur à 5%, on peut estimer le temps de calcul des deux scémas. Ordre 4 : 5% d erreur pour t = 0.038s soit 176 s Ordre : 5% d erreur pour t = s soit 41 s La limite de stabilité est située vers t = 0.05s pour l ordre 4. La présence des PML diminue aussi la CFL, comme dans le cas de la condition absorbante. La CFL dépend en fait de l amortissement v σ. Mais on remarque, que proce de la CFL, on commet une erreur nonnégligeable. Quand on utilise de l ordre, il est souvent préférable d être bien en-dessous de la CFL d au moins un facteur 10! Pour l ordre 4, on peut se contenter de la CFL divisée par deux. Ces conclusions ne sont valables que sur cet exemple numérique. Il serait judicieux d étudier le comportement de la solution quand on diminue à la fois le pas d espace et le pas de temps. Il serait également intéressant de comparer les deux scémas lorsqu on utilise des maillages pourris. Dans ce cas-là, le facteur limitant n est plus la précision, mais plutôt la stabilité. 3.4 Comparaison avec d autres scémas plus classiques Scémas de Runge-Kutta On compare avec le scéma de Runge-Kutta d ordre 4. Sur l équation ; dx = BX + F(t) = G(t,X) 5

27 il s écrit k 1 = G(t n,x n ) k = G(t n + t,xn + t k 1) k 3 = G(t n + t,xn + t k ) k 4 = G(t n + t,x n + tk 3 ) X n+1 = X n + t 6 (k 1 + k + k 3 + k 4 ) Sur le cas PML, il donne les résultats suivants ; t Erreur Ordre Temps 0.04 instable e 3 415s e 4 830s e s e s La limite de stabilité est située vers t = 0.08s. L erreur commise sur le sismo est alors de 1.7% RK d ordre 4 : 5% d erreur pour t = 0.08s soit 98 s On peut noter, que le scéma d ordre 4 utilisant la tecnique de l équation modifiée a une constante plus petite que le scéma de Runge-Kutta d ordre 4 et une limite de stabilité plus élevée sur ce cas test. Un autre désavantage de ce scéna Runge-Kutta, est qu il coûte 4 évaluations de G contre 3 pour le scéma équation modifiée. Il est donc plus lent et moins précis! Il reste néanmoins plus compétitif que le scéma d ordre Relation d un scema Runge-Kutta avec les séries de Taylor Si on considère l équation différentielle dx = BX B étant un opérateur linéaire. On peut alors expliciter par exemple le scéma de Runge- Kutta d ordre 4 : k 1 = BX n k = B(X n + t BXn )) = BX n + t B X n 6

28 k 3 = B(X n + t (BXn + t B X n ) = BX n + t B X n + t 4 B3 X n k 4 = BX n + t B X n + t B3 X n + t3 4 B4 X n En regroupant les puissances de B, on obtient le scéma : X n+1 = X n + t BX n + t B X n + t3 6 B3 X n + t4 4 B4 X n Ce qu on peut reinterprêter comme, X n+1 = X n + t dx + t d X + t3 d 3 X t4 d 4 X 4 4 où on a une puissance de B pour la dérivée n-ième de X en utilisant l équation. Dans le cas de systèmes linéaires, il est probable que certains scémas de Runge-Kutta, comme celui qu on a utilisé soient complètement équivalent à un scéma série de Taylor. Pour l équation des ondes, B n est pas un opérateur linéaire, mais un opérateur affine à cause de la source! Des expériences numériques ont montré que le scéma séries de Taylor d ordre 4 et le scéma RK4 n était pas équivalents, mais les résultats sont très proces. 7

29 3.5 Instabilité des PML? Formulation instable Lors de multiples expériences numériques, nous avons identifié des instabilités dans les PML. Dans cette section, nous allons présenter ces instabilités, mais nous n avons aucune justification téorique expliquant ce pénomène! Nous rappelons la formulation PML qu on a coisi (3.8) ρ u t v t v t 1 v µ t div( v) d k=1 v e k = 0 dans Ω pml + T v = u dans Ω pml + T v = T v dans Ω pml + µ 1 T v = v t dans Ω pml u = 0 sur Ω pml On a discrétisé cette formulation avec des élements finis quadrilatéraux avec condensation de masse. L inconnue scalaire est prise dans H 1 et les inconnues vectorielles dans L. Les expériences numériques sont menées sur le carré 8x8 entouré de couces absorbantes. On impose une condition de Diriclet sur le bord de PML, mais les résultats numériques sont identiques dans le cas Neumann. Le milieu est omogène isotrope ρ = 1, µ = 1. On prend une gaussienne en espace de rayon de distribution 0.3 et un Rickert en temps avec une fréquence de 1. On coisit un maillage Q5 avec trois éléments par longueur d onde, v σ = 50. On observe les instabilités sur la figure et t = 5s t = 15s 8

30 t = 5s t = 35s t = 45s t = 55s t = 65s 9 Figure 3.3: Evolution de la solution à différents instants t = 95s

31 Quand on raffine le maillage, les instabilités diminuent fortement et sont repoussées à des temps longs. On affice sur la figure 3.4 la solution pour un maillage avec 5 éléments par longueur d onde v σ = 50, pour t = 95s, mais en multipliant par l écelle par rapport aux figures précédentes t = 95s Figure 3.4: Instabilité se developpant sur un maillage plus fin On peut également afficer sur la figure 3.5 la norme de la solution, qui devrait tendre vers zero. On affice la norme pour trois maillages avec des pas d espace différents : trois, quatre et cinq éléments par longueur d onde. On voit nettement que l instabilite se développe très lentement sur des maillages suffisamment fins. En ordonnée, on a utilisé une écelle logaritmique, l instabilité est exponentielle. Le coix de v σ est à ce titre très important. En effet pour v σ = 50, il est certain que de prendre trois éléments par longueur d onde est largement insuffisant, car on a une couce limite qui est plus petite que la taille d une maille! Pour des amortissements aussi importants, il est conseillé de raffiner le maillage dans la PML. On regarde l influence de l amortissement sur les instabilités sur la figure 3.6. Dans cette expérience, on a l illusion que pour v σ =, le scéma est stable, ce qui est faux. On affice le logaritme de la norme de la solution pour t allant de 50s à 950s sur la figure 3.7. Des expériences numériques 3-D, qu on a représentées sur la figure et 3.8, nous permettent d affirmer que cette formulation donne lieu également à des instabilités, comme on peut le voir ; 30

32 4 3 3 elements 4 elements 5 elements log( u ) Time (s) Figure 3.5: Logaritme en base 10 de la norme de la solution en fonction du temps log( u ) v = 100 σ v = 50 σ v = 5 σ v = σ Time (s) Figure 3.6: Logaritme de la norme de la solution en fonction du temps pour différentes valeurs de v σ 31

33 5 v σ = 5.5 log( u(t) ) Time(s) Figure 3.7: log( U(t) ) pour v σ = sur des temps longs, jusqu à 950s. t = 4s t = 8s 3

34 t = 44s t = 50s t = 60s t = 70s Figure 3.8: Solution numérique sur un maillage 4x4x4 longueurs d onde, v σ = 5 avec trois éléments par longueur d onde et du Q5. Apparition d une instabilié à partir de t = 4s, et croissance exponentielle... 33

35 Là aussi, on observe une instabilité exponentielle! Ces instabilités sont obtenues que ce soit avec un scéma d ordre deux en temps, d ordre 4 avec l équation modifiée ou avec un scéma de Runge-Kutta. Les résultats sont identiques et semblent ne pas dépendre du scéma en temps. On peut s interroger sur la nuisance d une telle instabilité. Il nous apparait clairement que ce type d instabilités n est pas nuisible pour la plupart des cas. En effet si on veut avoir une solution précise pour des temps longs, on est amené à raffiner le maillage en espace, et par là même on éloigne l instabilité! Si on veut utiliser les PML dans des milieux étérogènes avec des forts constrastes de vitesses, il est important de mailler suffisamment la PML, dans les zones où la vitesse est faible. Comme ultime argument, si on calcule l erreur u(x,t) à T fixé, on convergera vers la solution quand ( t, x) tend vers zéro. L ordre de convergence sera alors de 4, si on utilise du Q3, Q4 ou Q5 avec le scéma d ordre 4 qu on a présenté. A ce titre-là, est-ce vraiment une stabilité, puisqu on a la convergence? On notera qu aucune instabilité n a été observée en Q1, mais Q1 donne des résultats faux sur des temps longs, alors le fait que ce soit stable ne nous réjouit pas outre mesure log( U(t) ) Q1 10 pts / λ Q 10 pts / λ Q3 1 pts / λ Q4 1 pts / λ Q5 10 pts / λ Time (s) Figure 3.9: Logaritme de la norme de la solution sur des temps longs, de 50s à 950s, pour plusieurs ordres d approximation et v σ = 50. Dans cette dernière expérience - cf figure 3.9 -, on a voulu comparer l évolution d instabilité pour divers ordres d approximations. v σ = 50, et le maillage n est pas adapté à cet amortissement, on prend un maillage avec environ 10 points par longueur d onde. On confirme que Q1 est stable, et l énergie converge vers zéro. Q n est pas vraiment stable, ni vraiment instable. De fait, on observe qu une solution oscillante perdure, sans jamais tendre vers zéro, ni exploser! A partir de Q3, on observe une instabilité d autant plus forte que l ordre d approximation est élevé. 34

36 3.5. Formulation stable En -D, on a la formulation suivante des PML ρ du d v div( v) = 0 = u (3.9) d u 1 d v µ + (τ 1 + τ ) du + τ 1 τ u = d u + µ 1 T v = d v + τ 1 τ T 1 v u = 0 sur Ω pml Dans cette formulation, on a les inconnues u,v,u,v, soit deux inconnues scalaires et deux inconnues vectorielles. Mais on a des dérivées secondes en temps. Dans la première formulation, on avait comme inconnues u,v,v,v, soit une inconnue scalaire et trois inconnues vectorielles. On a en revance, uniquement des dérivées premières en temps. Dans la première formulation, on a introduit les dérivées en fonction de l espace de l amortissement dans la PML, tandis que ces dérivées sont absentes de la seconde formulation. Après discrétisation en espace, la seconde formulation aboutit au système semi-discret : (3.10) du dv d U + Σ du,1 dv = A 1 V = A U + Σ, U = d U = T,1 V + dv + T V Pour résoudre cette EDO, on utilise un scéma saute-mouton d ordre : (3.11) U n+1 U n t = A 1 V n+1/ U n+1 U n + U n 1 U n+1 U n 1 t = Σ,1 t V n+3/ V n+1/ t V n+3/ V n+1/ t = A U n+1 = T,1 V n+3/ +V n+1/ 35 Σ, U n+1 + U n + U n T, V n+3/ + V n+1/ + U n+1 U n + U n 1 t + V n+3/ V n+1/ t

37 Comme dans le cas de la première formulation, on affice le logaritme de la norme de U pour différentes valeurs de sigma, sur la figure log( U(t) ) v = 100 σ v = 50 σ v = 5 σ v = σ Time (s) Figure 3.10: Logaritme de la norme de la solution sur des temps longs, pour différentes valeurs de v σ. Utilisation de la seconde formulation PML On est clairement stable! Le maillage utilisé est du Q5, avec 3 éléments par longueur d onde. On constate également la stabilité de ces PML, quand on remplace la condition de Diriclet par la condition de Neumann. 36