Terminale ES Problèmes d'études de fonctions avec des logarithmes - Corrigés

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1 Trminal ES Problèms d'étuds d onctions avc ds logarithms - Corrigés Problèm : st déini sur [;9] par ()= 4 ln. V st la courb rprésntativ d. ) D'après l'allur du graphiqu, il smbl qu soit conv sur [;9]. (courb «n cru») ) a) st dérivabl sur [;9] (En tant qu somm d onctions qui l sont) t [;9] : '()= 4, soit '()= 4. Pour étudir l sign d '(), on réduit son prssion on mêm dénominatur : [;9], '()= 4 4, soit '()=. 9 b) '() ln ln ()= 4 ln = ()= 4 ln =4 4 ln (9)= 9 4 ln 9=8 4 ln 9 3) a) Pour calculr ' '(), on put partir d l'prssion '()= 4 Avc l'prssion 4 : '() st d la orm 4 ' '()=0 4 ( ), soit ' '()= 4. Avc l'prssion 4 : '() st d la orm v '()=. Donc pour tout d [;9], ' '()= ou '()= 4, donc pour tout d [;9], u( ) v() u '()v() v '()u( ), [ v()] avc u()= 4, u'()=, v( )= t ( 4) +4 Soit ' '()= =, soit ' '()= 4. b) Pour tout d [;9], >0 donc >0, donc, d'après la règl ds signs, ' '()>0. st donc bin conv sur [;9]. 4) a) T st la tangnt à la courb rprésntativ d n son point A d'absciss. Pour détrminr un équation d T, on calcul ()= 4 ln = 4 t '()= 4. '() st l coicint dirctur d (T). Si on connaît la ormul d l'équation d la tangnt : un équation d (T) st y= '()( )+ (). soit y= 4 ( )+( 4) soit y=( 4) ( + ) soit y=( 4) ( + 4, soit y=. ). Si st dérivabl n a, un équation d la tangnt à la courb rprésntativ d n son point d'absciss a st y= '(a)( a)+ (a). TES Prmièr ich d problèms d'étuds d onctions avc ds logarithms /8

2 Si on n connaît pas par cœur ctt ormul, on utilis l ait qu l coicint dirctur d (T) st 4 t qu (T) pass par l point A( ; 4). Comm (T) admt pour coicint dirctur 4 Comm (T) pass par A( ; 4), on a y A = 4, son équation réduit st d la orm y= 4 A + p, soit 4= 4 + p 4= 4+ p 0= p. L'ordonné à l'origin d (T) st 0. Son équation réduit st y= 4. + p. b) L résultat qui nous donn la position rlativ d la courb t d la tangnt sur [;9] st l'étud d la convité d vu à la qustion 3 : lorsqu'un onction st dérivabl t conv, sa courb st situé audssus d chacun d ss tangnts (théorèm du cours sur la convité). Comm st conv sur [;9], V st situé au-dssus d (T), cpté n A qui st l point commun d (T) t V. Problèm : Pour tout d [0,5;8], ()=(ln )( ln ).V st la courb rprésntativ d. ) a) Pour tout d [0,5;8], () st d la orm u() v( ). avc u()=ln, u'()=, v( )= ln t v '()=. Comm u t v sont dérivabls sur [0,5;8], l'st aussi, t pour tout d [0,5;8], on a : '()=u '()v() v '()u(), soit '()= ( ln )+ ( ln ) = ln ( ln ) (ln ) '()=, ou ncor '()=. b) ln 0 ln ln ln car la onction ln st strictmnt croissant sur ]0 ;+ [. Comm on résout dans [0,5;8], S=[;8]. c) 0,5 8 ln '() + 0,87 ()=ln ( ln )=( )= (0,5)=ln 0,5( ln 0,5)= ln (+ln ),87. (8)=ln 8( ln 8)=ln( 3 )( ln( 3 ))=3ln ( 3 ln ) 0,7, soit 0,7 ) Rmarqu : l théorèm ds valurs intrmédiairs, à la lctur du tablau d variations d, nous indiqu qu l'équation ()=0 doit admttr un solution dans ]0,5;[ t un autr dans ] ;8[. Résolvons numériqumnt l'équation ()=0. TES Prmièr ich d problèms d'étuds d onctions avc ds logarithms /8

3 ()=0 (ln )( ln )=0 ln =0 ou ln =0 ln =0 ou =ln ln =ln ou = ln = ou =. S={; }. Intrprétation graphiqu : La courb V coup donc l'a ds abscisss n du points, son point d'absciss t son point d'absciss. 3) W st la tangnt à la courb V n son point A d'absciss. L'ordonné du point A st 0 (puisqu'on vint d voir qu st l'un ds solutions d l'équation ()=0 ) t l coicint dirctur d W st '()= (ln ) = (0 )=. Si on connaît la ormul d'un équation d la tangnt : un équation d W sra : y= '()( )+ (), soit y=( )+0, soir y=. Si on n connaît pas par cœur la ormul : On sait qu W a pour coicint dirctur, donc admt un équation réduit d la orm y= + p. On sait qu W pass par A(; 0), donc qu y A = A + p, soit 0= + p = p. Donc l'équation réduit d W st y=. Problèm 3 : La onction st déini sur l'intrvall I= [ ; ] par ()= ln. ) Pour tout d I, ()=u()v() avc u()= t v( )=ln. u t v sont dérivabls sur I, donc l'st aussi, t pour tout d I, on a u'()=, v '()= t '()=u'()v()+v '()u()= ln +, soit '()= ln + ou ncor '()= ( ln +). ) a) Dans I, ln + 0 ln ln ln. Rmarqu : =. Comm la onction ponntill st strictmnt croissant sur R t comm < <, < <, donc s situ dans l'intrvall ] ; [. C'st pourquoi, dans I, l'nsmbl ds solutions d l'inéquation ln + 0 st S=[ ;]. TES Prmièr ich d problèms d'étuds d onctions avc ds logarithms 3/8

4 b) Rmarqu : >0 puisqu pour tout rél, >0. C'st pourquoi st toujours strictmnt positi sur l'intrvall I=[ ; ]. ou ln '() 0 + 3) a) ( ) = ( )=( ) ln( )= ( )= ( Rmarqu : = = Donc ( ) = ( ) = ( ) ln( ) = ( ) = ) = ( ) = ()= ln = = ()=. b) Problèm 4 : déini sur I=]0 ;+ [ par ()=a+b+ ln, où a t b sont du réls. On not V la courb rprésntativ d dans un rpèr (O; i, j). A(; 0) st un point d V n lqul la tangnt à V st parallèl à la droit d'équation y=3 +. ) Pour tout d I, ()=a+b+u( ) v() avc u()= t v( )=ln. u t v sont dérivabls sur I, t pour tout I, u '()= t v '()=. Donc st dérivabl sur I t pour tout I, '()=a+u '()v( )+v'()u( ), Soit '()=a+( ) ln + ln =a +, soit '()= a ln + ) a) L'énoncé indiqu qu la tangnt à V n son point d'absciss st parallèl à la droit d'équation y=3 +. Cla signii qu l coicint dirctur d ctt tangnt st 3, donc qu '()=3. TES Prmièr ich d problèms d'étuds d onctions avc ds logarithms 4/8

5 Or, d'après l'prssion d '() pour tout d I, '()= a ln + =a+. Donc a+=3. b) La courb V, rprésntativ d, pass par l point A(; 0). Donc ()=0. Or, d'après l'prssion d () pour tout d I, ()=a +b+ ln =a+b. D'où a+b=0. 3) Calculons a t b à partir ds du rlations a+=3 t a+b=0. a+=3 a= Comm a+b=0 t a=, +b=0 donc b=. Donc pour tout I, ()= + ln. Problèm 5 : ) g st la onction déini sur R par g( )= +. a) Pour tout d R, g( ) st d la orm u()v( )+ avc u()= t v( )=. u t v sont dérivabls sur R, donc aussi. Pour tout R, u'()= t v '()=. Donc '()=u '()v()+u()v '()= +, donc '()=(+ ) '() 0 + g( ) b) g( )= += += + =. Comm >, >0 t >0 donc g( )>0. Comm g( ) st l minimum absolu d g sur R (d'après l tablau d variations d g ), on put n déduir qu pour tout R, g( )>0. (donc g( ) 0 ) ) st la onction déini sur ]0;+ [ par ()= +ln. a) st la somm d du onctions dérivabls sur ]0;+ [, donc st dérivabl sur ]0;+ [, t pour tout d ]0;+ [, on a '()= +, soit '()= + g( ), soit '()=. b) Pour tout d ]0;+ [, g( )>0 t >0, donc '()>0, donc st strictmnt croissant sur ]0 ;+ [. Problèm 6 : L plan st muni d'un rpèr orthonormal (O; i, j) d'unité graphiqu cm. Parti A : g st déini sur ];+ [ par g( )=a+ b ln. ( ) st la courb rprésntativ d g. On sait qu : TES Prmièr ich d problèms d'étuds d onctions avc ds logarithms 5/8

6 ( ) pass par E(;0) (Puisqu'on vut qu ( ) coup l'a ds abscisss n son point E d'absciss ), donc g()=0. La tangnt à ( ) n E st parallèl à la droit d'équation y=, donc a pour coicint dirctur. Donc g '()=. Calculons g '() pour tout d ];+ [ : Pour tout d ];+ [, g( )=a+ b, donc g( ) st d la ln orm a+b ( v()), avc v( )=ln (qui n s'annul pas sur ];+ [ car pour tout d ];+ [, donc ln 0 ). v st dérivabl sur ];+ [ t pour tout d ];+ [, v '()=, t comm v n s'annul pas sur ];+ [, g st dérivabl sur ];+ [, t pour tout d ];+ [, g '()=a+b v'(), soit g '()=a+b [ v()] (ln()), soit b g '()=a (ln( )). Traduisons maintnant nos du inormations pour calculr a t b : g()=0 a+ b ln =0 a+ b =0 a+b=0 b= a. b g '()= a (ln ) = a b = Comm b= a, la rlation a b = put s'écrir : a a a = a+ a = a+a= a= a= Comm b= a, b=, donc b=. Pour tout d ];+ [, g( )= ln. Parti B : st déini sur ];+ [ par ()= ln. V st sa courb rprésntativ dans l rpèr (O; i, j). ) a) Pour tout d ];+ [, () st d la orm, avc v( )=ln. v( ) v st dérivabl sur ];+ [ t n s'annul pas sur ct intrvall. Pour tout d ];+ [, v '()=. v '() v '() Donc st dérivabl sur ];+ [ t, pour tout d ];+ [, '()= =+ [v( )] [ v()], soit '()=+, soit '()=+ (ln ) (ln ). b) Pour tout d ];+ [, >0, ln >0 puisqu >, >0, donc, d'après la règl ds signs, TES Prmièr ich d problèms d'étuds d onctions avc ds logarithms 6/8

7 >0, donc + >, donc '()>0. st donc strictmnt croissant sur ];+ [. (ln ) (ln ) + ) Donnr un équation d la tangnt (T) à V n son point d'absciss. ()= ln = donc ()=0. '()=+ (ln ) =+ =+, donc '()=. Un équation d (T), tangnt à la courb rprésntativ d n son point d'absciss st : y= '()( )+ (), soit y=( )+0, soit y=. Ou, si on n connaît pas ctt ormul par cœur : l coicint dirctur d (T) st '()=. Donc (T) admt un équation réduit d la orm y= + p. Et comm ()=0, (T) pass par l point d coordonnés ( ;0), donc 0=+ p = p. Donc l'équation réduit d (T) st y=. 3) Pour tracr V, établissons un tablau d valurs (arrondis ici à 0 - près) :,,4,6,8,,4,6,7,8 3 3,5 4 ( ) -3,70-6,68-4,8 -,8 -,9 -,4-0,7-0,4 0 0,6 0,5,33,04 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 8,5 9 9,5 0 0,5 ( ),69 3,3 3,9 4,48 5,05 5,6 6,5 6,7 7,3 7,76 8,9 8,8 9,34 Construir dans (O; i, j) ls droits (D) t (T) t la courb V. La droit (D) a pour équation y=, donc ll pass par O t par l point d coordonnés (4;8) (puisqu 8= 4 ) Pour (T), d'équation y=, on sait qu'll pass par E(;0). On put calculr un valur approché d l'ordonné d son point d'absiss 7 : 7 8,56 t d son point d'absciss 0 : 0 5,44. Graphiqu : voir l'ann. Problèm 7 : Parti A : st la onction déini sur ]0;+ [ par ()= +4 8 ln. ) st un somm d onctions dérivabls sur ]0 ;+ [, donc st dérivabl sur ]0 ;+ [, t pour tout d ]0;+ [, '()= 8. '()= 8, '()= 8, '()= ( 4) ( )( +), '()=. TES Prmièr ich d problèms d'étuds d onctions avc ds logarithms 7/8

8 ) '() ǁ 0 + 8( ln ) ()= +4 8ln =8 8ln =8( ln ) Comm >, ln >ln, soit >ln, donc ln >0. On a donc ()>0. L minimum d sur ]0;+ [ st strictmnt positi, donc st à valurs strictmnt positivs sur ]0;+ [. Parti B : ) D'après l'étud d, l pri d l'action st minimal pour =. décmbr 0+mois= évrir 0. C'st n évrir 0 qu'il st l plus judiciu d'achtr cs actions. ) La dépns d l'invstissur, n dizain d'uros, sra d 500 ()=500 8( ln )=0 000( ln ) 637,. La dépns d l'invstissur, arrondi à l'uro, sra d TES Prmièr ich d problèms d'étuds d onctions avc ds logarithms 8/8