Chapitre 8 Produit scalaire

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Chapitre 8 Produit scalaire"

Transcription

1 Chapitre 8 Produit scalaire I. Produit scalaire 1) Norme d'un vecteur Soit u un vecteur du plan, et soit A et B deux points du plan tels que u= AB. La norme du vecteur u, notée u, est la longueur du segment [ AB] ; on a : u = AB = AB. Remarque : Dans un repère orthonormé, si u a pour coordonnées ( x y), alors : u = x + y. Propriétés : Soit u et v deux vecteurs du plan. Pour tout nombre réel k, on a k u = k u (notamment, u = u ). u+ v u + v (inégalité triangulaire). u =0 u= 0. ) Produit scalaire de deux vecteurs Soit u et v deux vecteurs du plan. On appelle produit scalaire de u et de v, noté u v, le nombre réel défini par : u v= 1 ( u + v u v ) Remarques : Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre Soit A, B, C trois points du plan tels que u= AB et v= AC, on a : u v= AB AC = 1 (AB + AC BC ) Théorème : expression dans un repère orthonormé Le plan est muni d'un repère orthonormé (O ; i, j). Soit u( x y) ( et v x' y ') deux vecteurs du plan. On a alors : u v=xx '+ yy '. Cette forme est l'expression analytique du produit scalaire. 1

2 Dans le plan muni d'un repère orthonormé. u =x + y, v =x ' + y' et u v =( x x ') +( y y '). Ainsi u v= 1 ( u + v u v )= 1 [(x +y )+(x ' +y' ) ((x x' ) +( y y') )]. En développant le membre de droite, il vient : u v= 1 (x + y +x ' + y' x + x x ' x' y + y y ' y' )= 1 ( xx' + yy' )=xx ' + yy' Propriété : Pour tout vecteur u du plan, on a u u= u. u u= 1 ( u + u u u )= 1 ( u 0 )= 1 ( u )= u. Le produit scalaire du vecteur u par lui-même, noté u, est appelé carré scalaire de u. II. Propriétés du produit scalaire 1) Symétrie et bilinéarité Propriétés : Le produit scalaire de deux vecteurs est symétrique : pour tous vecteurs u et v, on a u v= v u. Le produit scalaire de deux vecteurs est bilinéaire, c est-à-dire que : pour tous vecteurs u, v et w et pour tout réel, on a : (λ u) v =λ ( u v) et u ( v + w)= u v + u w On munit le plan d'un repère orthonormé. Soit u( x y) (, v x' y ') ( et w x' ' trois vecteurs du plan et un nombre réel. y' ') On utilise l'expression analytique du produit scalaire et les propriétés de la multiplication des nombres réels (commutativité et distributivité). Symétrie : u v=xx '+ yy '= x' x+ y ' y= v u Bilinéarité : (λ u) v=(λ x) x' +(λ y) y '=λ xx '+λ yy '=λ (xx ' + yy' )=λ ( u v) u ( v+ w)=x( x' +x ' ')+y(y' +y ' ')= xx' +xx ' ' +yy' +yy' '=(xx ' +yy' )+(xx ' ' +yy' ')= u v+ u w Exemples : 5 u (3 v w)=5 u (3 v) 5 u ( w)=15 u v 10 u w. AB AC= BA AC= BA ( AC )= BA CA.

3 Soit ABCD un rectangle avec AB=a et AD=b. En utilisant la relation de Chasles, on peut décomposer les vecteurs et développer grâce aux propriétés du produit scalaire : AC DB=( AB+ BC) ( DA+ AB)= AB DA+ AB AB+ BC DA+ BC AB AC DB= 0+ AB AB BC DA+ 0=a b Égalités remarquables : Pour tous vecteurs u, v du plan, on a : ( u+ v) = u + u v+ v soit u + v = u + v + u v ( u v) = u u v+ v soit u v = u + v u v ( u+ v) ( u v)= u v soit ( u+ v) ( u v)= u v On utilise les propriétés de symétrie et de bilinéarité du produit scalaire : ( u+ v) =( u+ v) ( u+ v)= u u+ u v+ v u+ v v= u + u v+ v u+ v = u + u v+ v Remarques : La première égalité nous donne une nouvelle expression du produit scalaire en fonction des normes : u v= 1 ( u+ v u v ) La deuxième égalité correspond à l'expression donnant la définition du produit scalaire. ) Produit scalaire et orthogonalité Soit u et v deux vecteurs non nuls du plan, et soit A, B, C et D quatre points tels que u= AB et v= CD. Les vecteurs u et v sont orthogonaux lorsque les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires. Théorème : Soit u et v deux vecteurs non nuls du plan. Les vecteurs u et v sont orthogonaux si, et seulement si, leur produit scalaire est nul. On écrit u v u v=0 Soit A, B et C trois points du plan distincts deux à deux tels que u= AB et v= AC. On a u v=0 1 ( u + v u v )=0 u + v = u v. Or u = AB =AB, v = AC =AC et u v = AB AC = CB =BC Ainsi u v=0 AB + AC =BC ABC est rectangle en A (théorème de Pythagore). On conclut u v=0 u et v sont orthogonaux. Remarques : Par convention, le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur du plan. Le théorème nous donne une condition nécessaire et suffisante d'orthogonalité de deux droites : les droites (AB) et (CD) sont orthogonales si, et seulement si, AB CD=0. 3

4 Soit u, v et w trois vecteurs tels que u v= u w. Il ne faut pas en conclure que les vecteurs v et w sont égaux. En effet, u v= u w u v u w=0 u ( v w)=0 Donc les vecteurs u et v w sont orthogonaux Propriété : Le plan est muni d'un repère orthonormé (O ; i, j). Les vecteurs u( x y) ( et v x' y ') sont orthogonaux si, et seulement si : xx '+ yy '=0 Dans la base orthonormée ( i, j), on peut montrer que les vecteurs u( 3 5 ) et v ( 3+ 5 ) sont orthogonaux. En effet : u v=(3 5)(3+ 5)+ ( )=3 ( 5) 4=9 5 4=0, III. Applications en géométrie analytique Dans toute cette partie, le plan est muni d'un repère orthonormé (O ; i, j). 1) Équation d'une droite de vecteur normal n Soit (d) une droite de vecteur directeur u. Un vecteur normal à la droite (d) est un vecteur non nul orthogonal au vecteur u. Soit (d) une droite de vecteur normal n( a b) et A( x 0 ; y 0 ) un point de (d). Un point M (x ; y) du plan appartient à la droite (d) si, et seulement si, les vecteurs AM et n sont orthogonaux, autrement dit si, et seulement si, AM n=0. Or les coordonnées du vecteur AM sont ( x x 0 y y 0) ; le produit scalaire AM n vaut donc a(x x 0 )+ b( y y 0 ). On en déduit le théorème suivant : Théorème : Soit a et b deux nombres réels non nuls tous les deux ((a;b) (0;0)). La droite (d) admet le vecteur n( a pour vecteur normal si, et seulement si, elle admet une b) équation cartésienne de la forme ax+ by+ c=0, où c R. 4

5 Remarques : Une droite peut donc être complètement définie par la donnée d'un point et d'un vecteur normal. Dans un repère orthonormé du plan (O ; i, j), une droite (d) d'équation cartésienne ax+ by+ c=0 admet pour vecteur directeur u( b a ) et pour vecteur normal n ( a b). De plus, u et n ont la même norme Soit (d) la droite d'équation x+ 5 y 18=0. Un vecteur normal à (d) est n( 5 ) et un vecteur directeur de (d) est u ( 5 ). ) Équation d'un cercle Propriété : Soit c un cercle de centre Ω(x 0 ; y 0 ) et de rayon R. Un point M (x ; y) appartient au cercle c si, et seulement si : (x x 0 ) + ( y y 0 ) =R. Cette équation est une équation cartésienne du cercle c. M c Ω M = R Ω M =R. Or dans (O ; i, j), on a Ω M =(x x 0 ) + ( y y 0 ). Propriété : Soit c un cercle de diamètre [ AB]. Un point M appartient au cercle c si, et seulement si, MA MB=0. Si M est distinct de A et B : MA MB=0 les droites (MA) et (MB) sont orthogonales le triangle AMB est rectangle en M M appartient au cercle de diamètre [ AB]. Si M = A ou M =B, alors le point M appartient évidemment au cercle de diamètre [ AB], et le produit scalaire MA MB est nul (car MA= 0 ou MB= 0 ). Exemples : Dans un repère orthonormé (O ; i, j), l'équation du cercle c de centre Ω( ; 3) passant par le point A(;1) est : (x+ ) + ( y 3) =0 car Ω A =( ( )) + (1 3) =4 + ( ) =16+ 4=0. Soit l'ensemble des points M (x ; y) vérifiant x + y + 6 x y+ 8=0. x + y + 6 x y+ 8=0 [ x + 6 x ]+ [ y + y]+ 8=0 [(x+ 3) 9]+ [( y 1) 1]+ 8=0 (x+ 3) + ( y 1) = On reconnaît l'équation du cercle c de centre Ω( 3 ;1) et de rayon. 5

6 IV. Autres expressions du produit scalaire 1) Formule du cosinus Théorème : Soit u et v deux vecteurs non nuls, et une mesure de l'angle de vecteurs ( u; v). Alors u v= u v cos θ. Soit O un point du plan. On pose i = 1 u u et j le vecteur tel que ( i ; j) π [ π] et j =1. Le repère (O ; i, j) est un repère orthonormé, dans lequel on a : u( u 0 ) et v ( v cosθ v sin θ) On a donc u v= u v cos θ +0 v sin θ. Notation : ( i ; j)= π + k π (pour k Z) est équivalent à ( i ; j) π [π] qui se lit : «( i ; j) mesure π modulo π» Remarques : Cette formule peut-être très utile pour calculer une mesure de l'angle de vecteurs ( u; v) : cosθ= u v u v Pour tout réel x, on a cos( x)=cos( x). On peut donc utiliser des angles géométriques. Propriétés : Si u et v sont colinéaires et de même sens, alors u v= u v. Si u et v sont colinéaires et de sens contraire, alors u v= u v. Si u et v sont de même sens, alors θ 0[ π], donc cos θ=1. Si u et v sont de sens contraire, alors θ π[ π], donc cos θ= 1. Soit ABC un triangle équilatéral de côté a. On a : AB 1 AC= AB AC cos(60 )= AB AC = a 6

7 ) Formule des projetés orthogonaux Le projeté orthogonal d'un point M sur une droite (d) est le point d'intersection de la droite (d) et de la droite perpendiculaire à (d) passant par le point M. Théorème : Soit A, B, C et D quatre points du plan (avec A et B distincts) ; soit H et K les projetés orthogonaux respectifs de C et D sur la droite (AB). Alors : ={ AB HK si AB et HK sont de même sens AB CD= AB HK AB HK si AB et HK sont de sens contraire On a : AB CD= AB ( CH + HK+ KD)= AB CH + AB HK+ AB KD Or les droites (AB) et (HC) sont, par définition, orthogonales ; il en est donc de même pour les vecteurs AB et HC, dont le produit scalaire est nul. De la même manière, on a AB KD=0. Par conséquent, on a u v= AB HK. Or les vecteurs AB et HK sont colinéaires ; on peut donc conclure en utilisant la propriété précédente. H est le projeté orthogonal de M sur (d) Soit ABCD un carré de côté a. On a alors : AB AC= AB AB=a Car le point C se projette orthogonalement en B sur (AB) Remarques : L'expression donnée dans le théorème est une «définition équivalente» du produit scalaire. La formule du cosinus est une «définition équivalente» du produit scalaire, pour des vecteurs non nuls. 7

8 V. Applications au triangle et en trigonométrie 1) Relations dans le triangle Formule de la médiane Formules de la médiane : Soit A et B deux points du plan, et I le milieu du segment [ AB]. Pour tout point M du plan : MA + MB = MI + AB MA MB = IM AB MA MB=MI AB 4 Pour tout point M du plan, on a MA + MB = MA + MB =( MI + IA) +( MI + IB). Ainsi, MA + MB = MI + MI IA+ IA + MI + MI IB+ IB qui s'écrit encore : MA + MB = MI + MI IA+ MI IB+ IA + IB = MI + MI ( IA+ IB)+ IA + IB Or I est le milieu de [ AB] ; on a donc IA+ IB= 0 et IA =IB = ( 1 AB ) = AB 4. On a donc MA + MB = MI + MI 0+ AB 4 + AB 4 = MI + AB. Dans le triangle ABC ci-contre, on a BA + BC = BI + AC On a donc : BI = 1 ( BA + BC AC ) = 1 ( ) = 11, soit BI = 11. 8

9 Formule d'al-kashi Dans un triangle ABC, on notera : a=bc, b=ac, c= AB, ^A=^BAC, ^B=^ABC, ^C=^ACB Formule d'al-kashi : Pour tout triangle ABC, on a : a =b + c bc cos  b =a + c ac cos B c =a + b abcos Ĉ a =BC = BC =( BA+ AC) = BA + BA AC + AC =BA +AC AB AC. Or AB AC= AB AC cos ^A qui est l'égalité recherchée. Soit EFG un triangle tel que EF=7, FG=4 et EG=5. On cherche à déterminer les mesures de ses angles. On a donc : g =e + f ef cosĝ Soit 7 = cosĝ. D'où cosĝ= 8 = 0, soit Ĝ 101,5. 40 De même : f =e + g eg cos^f. D'où cos F = =5 7 soit F 44,4. Donc Ê=180 (Ĝ+ F ), soit Ê 34,1. Formule des aires Formule des aires : Pour tout triangle ABC non aplati, si on note s l'aire du triangle ABC, on a : s= 1 bcsin ^A= 1 acsin ^B= 1 ab sin ^C 9

10 Démonstration (par disjonction des cas) : Appelons H le pied de la hauteur issue de C dans le triangle ABC. Cas 1 :  est aigu On a ^HAC =^BAC=^A Dans le triangle AHC rectangle en H, on a sin^hac = HC AC, c est-àdire sin Â= HC AC. ce que l'on peut encore écrire HC=bsin  Cas :  est droit H et A sont confondus ; on a donc HC= AC=b. Dans ce cas, on a Â= π, donc sin Â=1 ; on peut alors écrire HC=b=b 1=b sin  Cas 3 : A est obtus ^HAC et ^BAC=^A sont supplémentaires ; ils ont donc le même sinus : sin^hac=sin ^A Dans le triangle AHC rectangle en H, on a sin^hac = HC AC, c est-à-dire sin Â= HC ; b ce que l'on peut encore écrire HC=bsin  Dans tous les cas, on peut écrire HC=bsin Â. On peut donc exprimer l'aire s du triangle ABC : s= 1 AB HC= 1 c b sin  ; ce qui s'écrit également s= 1 bc sin Â. Formule des sinus : Pour tout triangle ABC non aplati, on a : a sin  = b sin B = c sin Ĉ On utilise la formule S=bcsin ^A=acsin ^B=absin^C et on divise par le produit abc, ce qui donne : S abc = sin  a = sin B b = sin Ĉ c ou encore a sin  = b sin B = c sin Ĉ = abc S. 10

11 ) Trigonométrie Formules d'addition : Pour tous réels a et b, on a : cos(a+ b)=cosa cosb sin a sin b cos(a b)=cosa cosb+ sin a sin b sin(a+ b)=sin acosb+ sin bcos a sin(a b)=sin acosb sin bcos a Soit a et b deux réels. On munit le plan d'un repère orthonormé (O ; i, j). On définit les vecteurs u et v de la façon suivante : u = v =1 ( i ; u) b[ π ] et ( i ; v) a[ π ] On peut écrire : ( u; v)=( u; i )+( i ; v)= ( i ; u)+( i ; v)= b+a Donc ( u ; v) a b[ π] De plus, les coordonnées des vecteurs u et v sont données par u( cos b D'une part, on a : u v=cos acos b+sin asin b d'autre part, on a : u v= u v cos( u; v)=1 1 cos(a b). On en déduit cos(a b)=cosa cosb+ sin a sin b En remplaçant b par b, on obtient : cos(a+ b)=cosa cosb sin a sin b On a sin(a b)=cos ( π (a b) ) =cos ( ( π + b ) a ). sin b) et v ( cos a sin a). En appliquant la formule on a : sin(a b)=cos (( π + b ) a ) =cos ( π + b ) cos a+ sin ( π + b sin a= sin b cosa+ cos bsin a ) Donc sin(a b)=sin acosb sin bcos a. Puis en remplaçant b par b, on obtient : sin(a+ b)=sin acosb+ sin bcos a Formule de duplication : Pour tous réel a, on a : cos a=cos a sin a=cos a 1=1 sin a sin a=sin a cosa 11

PRODUIT SCALAIRE. Première S - Chapitre 7

PRODUIT SCALAIRE. Première S - Chapitre 7 PRODUIT SCALAIRE Première S - Chapitre 7 Table des matières I Expressions du produit scalaire I 1 Exercice de motivation....................................... I Norme d un vecteur........................................

Plus en détail

I. Produit scalaire de deux vecteurs du plan

I. Produit scalaire de deux vecteurs du plan 1 ère S - Chapitre 12 : PRODUIT SCALAIRE I. Produit scalaire de deux vecteurs du plan 1. Vocabulaire Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on considère les vecteurs u( x y) ( et v x ' y '). Le produit

Plus en détail

On se place dans un repère orthonormé (O ; i, j ) du plan.

On se place dans un repère orthonormé (O ; i, j ) du plan. Première S Produit scalaire et applications Année scolaire 01/013 I) Produit scalaire et orthogonalité : On se place dans un repère orthonormé (O ; i, j ) du plan. 1) Définition analytique du produit scalaire

Plus en détail

Le produit scalaire. II) Propriétés du produit scalaire 2 a) Symétrie et bilinéarité... 2 b) Orthogonalité... 3

Le produit scalaire. II) Propriétés du produit scalaire 2 a) Symétrie et bilinéarité... 2 b) Orthogonalité... 3 Le produit scalaire Table des matières I) Définitions et propriétés 1 a) Norme d un vecteur............................................ 1 b) de deux vecteurs..................................... 1 c) Autres

Plus en détail

CHAPITRE 12 : Produit scalaire

CHAPITRE 12 : Produit scalaire CHAPITRE 12 : Produit scalaire 1 Définition avec la norme des vecteurs et la norme de leur somme... 2 2 Produit scalaire de vecteurs colinéaires de même sens ; Produit scalaire de vecteurs orthogonaux...

Plus en détail

CHAPITRE 13 : Produit scalaire

CHAPITRE 13 : Produit scalaire CHAPITRE 13 : Produit scalaire 1 Définition avec la norme des vecteurs et la norme de leur somme... 2 2 Produit scalaire de vecteurs colinéaires de même sens ; Produit scalaire de vecteurs orthogonaux...

Plus en détail

Le produit scalaire et ses applications

Le produit scalaire et ses applications Le produit scalaire et ses applications Lycée du golfe de Saint Tropez Année 2017/2018 1 Définitions et propriétés Norme d un vecteur de deux vecteurs Autres expressions du produit scalaire 2 Symétrie

Plus en détail

Le produit scalaire et ses applications

Le produit scalaire et ses applications Le produit scalaire et ses applications Lycée du golfe de Saint Tropez Année 2016/2017 Première S ( Lycée du golfe de Saint Tropez) Produit scalaire Année 2016/2017 1 / 1 Première S ( Lycée du golfe de

Plus en détail

PRODUIT SCALAIRE. I)Produit scalaire de deux vecteurs. 1. Définition

PRODUIT SCALAIRE. I)Produit scalaire de deux vecteurs. 1. Définition PRODUIT SCALAIRE I)Produit scalaire de deux vecteurs 1. Définition Définition : Si u et v sont deux vecteurs non nuls, on appelle produit scalaire de u par v, le réel noté u. v = u v cos( u, v) u. v défini

Plus en détail

PRODUIT SCALAIRE. , noté u.

PRODUIT SCALAIRE. , noté u. 1 PRODUIT SCLIRE I. Définition et propriétés 1) Norme d'un vecteur Définition : Soit un vecteur u et deux points et B tels que u B. La norme du vecteur u, notée u, est la distance B. ) Définition du produit

Plus en détail

Produit scalaire. A) Définitions et propriétés.

Produit scalaire. A) Définitions et propriétés. Produit scalaire A) Définitions et propriétés Soient u et v sont deux vecteurs non nuls Les quatre définitions suivantes sont équivalentes, on pourrait donc choisir comme point de départ chacune d elle

Plus en détail

Ch.8 : Produit scalaire

Ch.8 : Produit scalaire 1 e - programme 011 - mathématiques ch8 - cours Page 1 sur 7 (D après Hachte - Déclic 011 ch9) 1 PRODUIT SCALAIRE DE DEUX VECTEURS 11 Deux définitions géométriques équivalentes DÉFINITION 1 Ch8 : Produit

Plus en détail

Produit scalaire. 1 Vecteurs Norme Angle orienté-angle géométrique Projection orthogonale... 3

Produit scalaire. 1 Vecteurs Norme Angle orienté-angle géométrique Projection orthogonale... 3 Table des matières 1 Vecteurs 1.1 Norme................................................. 1. Angle orienté-angle géométrique.................................. 1.3 Projection orthogonale........................................

Plus en détail

Produit scalaire de deux vecteurs

Produit scalaire de deux vecteurs Index Prérequis... 2 I- Présentation du produit scalaire... 2 I-1- Vocabulaire... 2 I-2- Quoi, pourquoi, comment?... 2 I-3- Quelques calculs :... 3 I-3-1- Travail d'une force... 3 1er cas : La force est

Plus en détail

Produit scalaire. Chapitre Définition et expressions du produit scalaire Définition

Produit scalaire. Chapitre Définition et expressions du produit scalaire Définition Chapitre 10 Produit scalaire 10.1 Définition et expressions du produit scalaire 10.1.1 Définition Définition 18. u et v sont deux vecteurs du plan. Le produit scalaire de u par v, noté u. v est défini

Plus en détail

Chapitre 13 Produit scalaire (2) Applications

Chapitre 13 Produit scalaire (2) Applications Chapitre 13 Produit scalaire (2) Applications Ex 1 Soit ABCD un losange de côté 5 avec AC=4. 1. Calculer la longueur BD. 2. Calculer les produits scalaires suivants : a. AB AC ; b. AB c. AB CD ; AD ; d.

Plus en détail

CHAPITRE 6 : PRODUIT SCALAIRE

CHAPITRE 6 : PRODUIT SCALAIRE CHPITRE 6 : PRODUIT SCLIRE I. Produit scalaire de deux vecteurs dans le plan 1. Généralités Définition : Soit u et v deux vecteurs du plan non nuls, et, B, C trois points du plan tels que Le produit scalaire

Plus en détail

APPLICATIONS DU PRODUIT SCALAIRE. I et

APPLICATIONS DU PRODUIT SCALAIRE. I et APPLICATIONS DU PRODUIT SCALAIRE Cours Première S 1 Calculs de longueurs 1) Théorème de la médiane Théorème 1 : Soit I le milieu du segment [ BC ] Alors BC AB + AC = AI + Démonstration : On a : AB = AB

Plus en détail

Applications du produit scalaire, cours, première S

Applications du produit scalaire, cours, première S Applications du produit scalaire, cours, première S F.Gaudon 9 juin 009 Tale des matières 1 Relations métriques dans le triangle 1.1 Théorème de la médiane.................................... 1. Théorème

Plus en détail

1 Norme d un vecteur. 2 Produit scalaire. 2.1 Definition. #» u + #» v 2 #» u 2 #» v 2 ) = #» u #» v cos( #» u, #» v )

1 Norme d un vecteur. 2 Produit scalaire. 2.1 Definition. #» u + #» v 2 #» u 2 #» v 2 ) = #» u #» v cos( #» u, #» v ) 1 Norme d un vecteur Définition 1. Soit #» u un vecteur, A et B deux points du plan tels que #» AB = #» u. On appelle norme du vecteur #» u, que l on note #» u, la longueur du segment [AB] : #» u = AB

Plus en détail

Produit scalaire. A) Définitions et propriétés.

Produit scalaire. A) Définitions et propriétés. Produit scalaire A) Définitions et propriétés Soient u et v sont deux vecteurs non nuls Les quatre définitions suivantes sont équivalentes, on pourrait donc choisir comme point de départ chacune d elle

Plus en détail

Produit scalaire de deux vecteurs de l espace. 1 Rappels sur le produit scalaire de deux vecteurs du plan

Produit scalaire de deux vecteurs de l espace. 1 Rappels sur le produit scalaire de deux vecteurs du plan Produit scalaire de deux vecteurs de l espace 1 Rappels sur le produit scalaire de deux vecteurs du plan 1.1 Définition Soit u et v deux vecteurs du plan. Si u = 0 ou v = 0, alors u v = 0 (Attention! On

Plus en détail

On note u = AB = AB. de (AB) tel que (CC ) est perpendiculaire à (AB). AB = u et AC = v et un point C

On note u = AB = AB. de (AB) tel que (CC ) est perpendiculaire à (AB). AB = u et AC = v et un point C I Pour bien commencer I.1 Norme d un vecteur Une unité de longueur étant choisie, la norme d un vecteur u = AB est la longueur AB. Si u = 1, le vecteur u est dit unitaire. On note u = AB = AB. Conséquences

Plus en détail

PRODUIT SCALAIRE. I Produit scalaire : définition. Définition première expression du produit scalaire ( voir animation ) Remarques ( voir animation )

PRODUIT SCALAIRE. I Produit scalaire : définition. Définition première expression du produit scalaire ( voir animation ) Remarques ( voir animation ) PRODUIT SCLIRE I Produit scalaire : définition Définition première expression du produit scalaire ( voir animation ) Soient et v deux vecteurs du plan. On considère trois points O, et tels que : O = u

Plus en détail

PRODUIT SCALAIRE. I Produit scalaire. Définition ( voir animation ) Remarques ( voir animation ) Configurations fondamentales.

PRODUIT SCALAIRE. I Produit scalaire. Définition ( voir animation ) Remarques ( voir animation ) Configurations fondamentales. PRODUIT SCALAIRE I Produit scalaire Définition ( voir animation ) Soient et deux vecteurs du plan. On considère trois points O, A et tels que : OA = u et O =. On appelle produit scalaire du vecteur par

Plus en détail

Produit scalaire. 1 Vecteurs Norme Angle orienté de deux vecteurs Projection orthogonale... 4

Produit scalaire. 1 Vecteurs Norme Angle orienté de deux vecteurs Projection orthogonale... 4 Table des matières 1 Vecteurs 1.1 Norme................................................. 1. Angle orienté de deux vecteurs................................... 1.3 Projection orthogonale........................................

Plus en détail

Chapitre 7 : Produit scalaire. Module 1 : Découverte du produit scalaire

Chapitre 7 : Produit scalaire. Module 1 : Découverte du produit scalaire Module 1 : Découverte du produit scalaire 1 ) Norme d un vecteur Définition : soit u un vecteur du plan et soient A et B deux points tels que : AB u La norme du vecteur u, notée u, est la distance AB Exemple

Plus en détail

Produit scalaire. Définition. Définition. Théorème. Théorème. I. Définition et expressions. 1) Norme d'un vecteur. AB est la distance AB.

Produit scalaire. Définition. Définition. Théorème. Théorème. I. Définition et expressions. 1) Norme d'un vecteur. AB est la distance AB. Produit scalaire. I. et expressions. 1) Norme d'un vecteur Une unité de longueur étant choisie, la norme d un vecteur u u AB AB. AB est la distance AB. On note Conséquences : équivaut à Pour tout nombre

Plus en détail

Produit scalaire. 1. Introduction p1 2. Produit scalaire p6. Copyright meilleurenmaths.com. Tous droits réservés

Produit scalaire. 1. Introduction p1 2. Produit scalaire p6. Copyright meilleurenmaths.com. Tous droits réservés 1. Introduction p1 2. p6 Copyright meilleurenmaths.com. Tous droits réservés 1. Introduction Le plan est orienté, une unité de longueur est fixée, l'unité de mesure des angles est le radian. (O ; i, j)

Plus en détail

Chapitre VII. Produit scalaire. Activité introductive

Chapitre VII. Produit scalaire. Activité introductive Chapitre VII Produit scalaire VII1 VII11 Introduction Activité introductive EXERCICE I A, B, C sont trois points et a, b, c désignent respectivement les distances : BC ; CA ; AB Partie A Extension du théorème

Plus en détail

BC = 3 4 AB ( BA 8

BC = 3 4 AB ( BA 8 1 e S - programme 011 mathématiques ch8 cahier élève Page 1 sur 6 Ch8 : Produit scalaire Exercice n A page 5 : Calcul vectoriel Reproduire la figure et compléter le texte On considère le triangle ABC donné

Plus en détail

Première S chapitre 11 : Applications du produit scalaire

Première S chapitre 11 : Applications du produit scalaire SOMMAIRE XI. 1. VECTEUR NORMAL A UNE DROITE... THEOREME : VECTEUR DIRECTEUR... DEFINITION : VECTEUR NORMAL... THEOREME : DROITE ET VECTEUR NORMAL... EXERCICES :... 3 XI.. CARACTERISATION D UN CERCLE...

Plus en détail

Chapitre : Produit scalaire

Chapitre : Produit scalaire I) Norme d'un vecteur Chapitre : Produit scalaire Exemple Lequel des vecteurs suivants est le "plus grand"? Pour comparer des vecteurs, on introduit un nouvel outil appelé norme : Définition (norme d'un

Plus en détail

Applications du produit scalaire.

Applications du produit scalaire. 1. Équations cartésiennes d'une droite... p2 2. Équations de cercles... p4 3. Compléments trigonométrie... p6 Copyright meilleurenmaths.com. Tous droits réservés (O ; i, j) est un repère orthonormal du

Plus en détail

Chap 13 Application du produit scalaire.

Chap 13 Application du produit scalaire. Chap 13 Application du produit scalaire. Table des matières I. Projeté orthogonal d un vecteur sur un axe... 1 II. Equations cartésiennes dans un repère orthonormé... 1 1. Equation cartésienne d une droite...

Plus en détail

1 Produit scalaire de deux vecteurs

1 Produit scalaire de deux vecteurs Exposé 34 : Définitions et propriétés du produit scalaire dans le plan; expression dans une base orthonormale. Application au calcul de distances et d angles. Prérequis 1 : -Notion de distance entre points

Plus en détail

P R O D U I T S C A L A I R E.

P R O D U I T S C A L A I R E. ère S 00/005 Produit scalaire J TAUZIEDE P R O D U I T S C A L A I R E I- DEFINITION ET PREMIERES PROPRIETES ) Produit scalaire de deux vecteurs colinéaires Définition Soit u et v deux vecteurs colinéaires

Plus en détail

Applications du produit scalaire

Applications du produit scalaire pplications du produit scalaire I Relations métriques dans le triangle Soit un triangle BC. On note B = c, C = b et BC = a. On note BC, B BC et CB c b On note S l'aire du triangle BC 1) Relation d'l KSHI

Plus en détail

APPLICATIONS DU PRODUIT SCALAIRE

APPLICATIONS DU PRODUIT SCALAIRE APPLICATIONS DU PRODUIT SCALAIRE I. Calculs d'angles et de longueurs 1) Calculs d'angles Méthode : Déterminer un angle à l'aide du produit scalaire Vidéo https://youtu.be/ca_pw79ik9a. " Calculer la mesure

Plus en détail

Chapitre 3 Produit scalaire. T ale STI2D. Un peu d'histoire

Chapitre 3 Produit scalaire. T ale STI2D. Un peu d'histoire Un peu d'histoire Le produit scalaire est une notion de géométrie euclidienne découverte tardivement par Camille Jordan (1838 1922). Né à Lyon, cet élève de l'école polytechnique entre major avec la note

Plus en détail

Produit scalaire. v =

Produit scalaire. v = Produit scalaire Le produit scalaire est un outils très puissant utilisé sur des vecteurs. Il permet notamment de montrer que deux vecteurs sont perpendiculaire. Il est très souvent utilisé en physique.

Plus en détail

Exercices sur le produit scalaire

Exercices sur le produit scalaire Exercices sur le produit scalaire Exercice 1 : Sur les expressions du produit scalaire Pour les sept figures suivantes, calculer AB AC. Exercice : Sur les expressions du produit scalaire Sur la figure

Plus en détail

v = 3 v = 3 4 cos( 6 ) = 12 2 = 6 Le produit scalaire, comme je vous l ai dit en introduction, permet de démontrer l orthogonalité de deux vecteurs.

v = 3 v = 3 4 cos( 6 ) = 12 2 = 6 Le produit scalaire, comme je vous l ai dit en introduction, permet de démontrer l orthogonalité de deux vecteurs. Produit scalaire dans l espace L année dernière, nous avions vu le produit scalaire dans un espace de deux dimensions. Nous allons généraliser cette notion dans l espace à trois dimension. Je vais d abord

Plus en détail

1. Définition du produit scalaire et orthogonalité

1. Définition du produit scalaire et orthogonalité Dans tout ce chapitre #» u, #» v et #» w désignent des vecteurs du plan. 1. Définition du produit scalaire et orthogonalité DÉFINITION Le produit scalaire de #» u et #» v,noté #» u #» v qui se lit «#»

Plus en détail

DERNIÈRE IMPRESSION LE 12 février 2016 à 12:24. Le produit scalaire

DERNIÈRE IMPRESSION LE 12 février 2016 à 12:24. Le produit scalaire DERNIÈRE IMPRESSION LE 1 février 016 à 1: Le produit scalaire Table des matières 1 Définition et propriétés 1.1 Définition par la norme.......................... 1. Définition analytique...........................

Plus en détail

1 Barycentre de deux points pondérées.

1 Barycentre de deux points pondérées. 1ère STI - Chapitre 7: Géométire Introduction Exercices de révision sur les vecteurs : 35, 37, 38 et 39 page 325. 1 Barycentre de deux points pondérées. 1.1 Présentation du problème. 2kg 5kg? 4kg 1kg On

Plus en détail

Chapitre 10 : Le Produit Scalaire

Chapitre 10 : Le Produit Scalaire Chapitre 10 : Le Produit Scalaire A) Définitions et cas particuliers 1) Rappels a) Norme d'un vecteur La norme d'un vecteur est sa longueur. Par exemple, la norme du vecteur AB la longueur AB, ou encore

Plus en détail

Méthodes sur le produit scalaire

Méthodes sur le produit scalaire Méthodes sur le produit scalaire G. Petitjean Lycée de Toucy 10 juin 2007 G. Petitjean (Lycée de Toucy) Méthodes sur le produit scalaire 10 juin 2007 1 / 32 1 connaître les différentes façons de calculer

Plus en détail

Chapitre 6 Géométrie élémentaire dans le plan

Chapitre 6 Géométrie élémentaire dans le plan I - Terminologie Chapitre 6 Géométrie élémentaire dans le plan Notations. Le sens trigonométrique munit le plan d'une orientation. Étant donnés deux vecteurs non nuls du plan u, v, on note ( u, v ) l'angle

Plus en détail

Exercices sur le produit scalaire

Exercices sur le produit scalaire Correction 1 1. En remarquant l égalité suivante : AC AB + BC On obtient les coordonnées du vecteur : AC Ä x + x ; y + y ä. On a : AB» x + y BC» x + y AC» (x + x ) + (y + y ) 3. Le théorème de Pythagore

Plus en détail

Applications du Produit Scalaire ( En première S )

Applications du Produit Scalaire ( En première S ) Applications du Produit Scalaire ( En première S ) Dernière mise à jour : Mercredi 1 Décembre 010 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble (Année 010-011) 1 J aimais et j aime encore les

Plus en détail

Année Produit scalaire. l angle orienté délimité par les vecteurs AB. v le nombre réel défini par : 1 u. v = u + v 2. v 2 ).

Année Produit scalaire. l angle orienté délimité par les vecteurs AB. v le nombre réel défini par : 1 u. v = u + v 2. v 2 ). Chap 8 : Produit scalaire I. Définitions Rappels : Si u = AB alors u = AB. Si ; j est une base orthonormale et si u (x, y alors : On note AB ; AC l angle orienté délimité par les vecteurs AB u = x 2 +

Plus en détail

Le produit scalaire et ses applications

Le produit scalaire et ses applications 1 Le produit scalaire et ses applications Table des matières 1 Définitions et propriétés 1.1 Définition initiale............................. 1. Définition dans un repère orthonormal................. 1.3

Plus en détail

Trigonométrie et angles orientés

Trigonométrie et angles orientés Trigonométrie et angles orientés A) Angles orientés. 1. Le radian. Le radian est une unité de mesure d un angle comme le degré. Il est défini comme la longueur de l arc entre deux points du cercle unité

Plus en détail

Produit scalaire dans l espace

Produit scalaire dans l espace Vallon 2 février 2016 Vallon 2 février 2016 1 / 13 Table : 1 2 Produit scalaire et orthogonalité dans l espace 3 Equations cartésiennes d un plan 4 Positions relatives de droites et de plans Vallon 2 février

Plus en détail

Chapitre 11 Produit scalaire dans l'espace

Chapitre 11 Produit scalaire dans l'espace I. Produit scalaire Chapitre 11 Produit scalaire dans l'espace 1) Produit scalaire dans l'espace Définition : Soient u et v deux vecteurs de l'espace et A, B, C trois points tels que u= AB et v= AC. Les

Plus en détail

CHAPITRE 9 : Produit scalaire

CHAPITRE 9 : Produit scalaire CHAPITRE 9 : Produit scalaire 1 Produit scalaire, propriétés de calcul et orthogonalité... 2 1.1 Notion de produit scalaire de deux vecteurs... 2 1.2 Un cas simple : les deux vecteurs sont colinéaires...

Plus en détail

Produit scalaire. 1 Produit scalaire et coordonnées. Dans toute la leçon, le plan est muni d un repère orthonormé.

Produit scalaire. 1 Produit scalaire et coordonnées. Dans toute la leçon, le plan est muni d un repère orthonormé. Produit scalaire Dans toute la leçon, le plan est muni d un repère orthonormé. Produit scalaire et coordonnées. Définition.. Soit x u et x v y y deux vecteurs. Le produit scalaire de u et v, noté u v,

Plus en détail

Chapitre 8 Produit scalaire.

Chapitre 8 Produit scalaire. Chapitre 8 Produit scalaire I - Définitions équivalentes Origine du produit scalaire (Physique) Le travail d une force : W AB ( = Calculer le travail de la force F 1 d intensité 3 et le travail de la force

Plus en détail

Produit scalaire. Christophe ROSSIGNOL. Année scolaire 2014/2015

Produit scalaire. Christophe ROSSIGNOL. Année scolaire 2014/2015 Produit scalaire Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 014/015 Table des matières 1 Différentes expressions du produit scalaire 1.1 Norme d un vecteur........................................... 1. Définition

Plus en détail

CORRECTION DES EXERCICES SUR LE PRODUIT SCALAIRE

CORRECTION DES EXERCICES SUR LE PRODUIT SCALAIRE Cité scolaire Claude Monet - 1S6 Année scolaire 016-017 Mathématiques CORRECTION DES EXERCICES SUR LE PRODUIT SCALAIRE Exercice 4 : Soit H le projeté orthogonal de O sur. La droite OH est alors une hauteur

Plus en détail

BARYCENTRE, PRODUIT SCALAIRE

BARYCENTRE, PRODUIT SCALAIRE 1 re STI Ch04 : Barycentre et produit scalaire 006/007 BARYCENTRE, PRODUIT SCALAIRE Table des matières I Barycentre 1 I.1 Barycentre de deux points pondérés.............................. 1 I. Caratérisations

Plus en détail

Corrigé. Exercice 67 D après la formule du cours, u v = 1 ( Exercice 68. Exercice 69. QCM d auto-évaluation sur le produit scalaire

Corrigé. Exercice 67 D après la formule du cours, u v = 1 ( Exercice 68. Exercice 69. QCM d auto-évaluation sur le produit scalaire Lycée Louise Michel Gisors) 1S Corrigé QCM d auto-évaluation sur le produit scalaire Exercice 67 D après la formule du cours, u v = 1 u + v u v ). On applique avec u = AB et v = BC. 1 On obtient : AB BC

Plus en détail

APPLICATIONS DU PRODUIT SCALAIRE

APPLICATIONS DU PRODUIT SCALAIRE APPLICATIONS DU PRODUIT SCALAIRE Lycée Stendhal Première S M Obaton L équipe des professeurs de mathématiques Lycée Stendhal En mathématique, c est comme dans un roman policier ou un épisode de Columbo:

Plus en détail

7 Produit scalaire. 7.1 Norme d un vecteur. 7.2 Produit scalaire

7 Produit scalaire. 7.1 Norme d un vecteur. 7.2 Produit scalaire 7 Produit scalaire 7. Norme d un vecteur Définition : Pour tout vecteur la norme du vecteur æ u, notée Î æ u Î, est la longueur où et sont deux points tels que æ u = æ. Propriété :Si æ u est un vecteur

Plus en détail

Classe de première Du collège au lycée : Fiche de géométrie

Classe de première Du collège au lycée : Fiche de géométrie Classe de première Du collège au lycée : Fiche de géométrie Les outils collège : Tous les axiomes d Euclide, les résultats sur les angles ; les quadrilatères particuliers ; les triangles isocèles ; équilatéraux

Plus en détail

Livre : Chapitre 12 p. 319

Livre : Chapitre 12 p. 319 TABLE DES MATIÈRES Produit scalaire dans l espace D. Péron 14 Livre : Chapitre 12 p. 319 Table des matières 1 Diérentes expressions du produit scalaire.................................. 2 2 Orthogonalité

Plus en détail

@ Dans l espace personne ne vous entend crier *

@ Dans l espace personne ne vous entend crier * @ Dans l espace personne ne vous entend crier * A/ Droites et plans de l espace : incidence et parallélisme. I/ Positions relatives de droites et de plans. 1/ Deux droites. d 1 et d 2 sont sécantes d 1

Plus en détail

NOM : PRODUIT SCALAIRE 1ère S

NOM : PRODUIT SCALAIRE 1ère S Exercice 1 R D Q C Soit un carré ABCD. On construit un rectangle AP QR tel que : P et R sont sur les côtés [AB] et [AD] du carré ; AP = DR. Le problème a pour objet de montrer que les droites (CQ) et (P

Plus en détail

MATHEMATIQUES. Produit scalaire et applications : sujet d entraînement 1 (corrigé) AD 2

MATHEMATIQUES. Produit scalaire et applications : sujet d entraînement 1 (corrigé) AD 2 Lycée Louise Michel (Gisors) Première S MATHEMATIQUES Produit scalaire et applications : sujet d entraînement 1 (corrigé) Exercice 1 1. On utilise la relation de Chasles. AC =. Calcul de AC BD. AB + BC

Plus en détail

I. Vecteur normal à une droite

I. Vecteur normal à une droite pplications du produit scalaire I. Vecteur normal à une droite 1. Définition : n D u Dire que n ( n ) est un vecteur normal à D de vecteur directeur u signifie que n est orthogonal à u.. Caractérisation

Plus en détail

CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES. Utiliser le cercle trigonométrique, notamment

CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES. Utiliser le cercle trigonométrique, notamment Chapitre 6 Trigonométrie CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Trigonométrie Cercle trigonométrique. Radian. Mesure d un angle orienté, mesure principale. Utiliser le cercle trigonométrique, notamment

Plus en détail

Mathématiques en première S Produit scalaire dans le plan

Mathématiques en première S Produit scalaire dans le plan Mathématiques en première S Produit scalaire dans le plan Table des matières 1 Introduction 1 2 Définitions du produit scalaire de deux ecteurs du plan 2 3 Propriétés du produit scalaire 3 4 Orthogonalité

Plus en détail

Cours - Méthodes. 1. Repérage sur le cercle trigonométrique. A. Enroulement de la droite numérique. B. Le radian. DÉFINITION : Cercle trigonométrique

Cours - Méthodes. 1. Repérage sur le cercle trigonométrique. A. Enroulement de la droite numérique. B. Le radian. DÉFINITION : Cercle trigonométrique Dans ce chapitre, on munit le plan du repère orthonormé ;,.. Repérage sur le cercle trigonométrique A. Enroulement de la droite numérique DÉFNTN : Cercle trigonométrique Le cercle trigonométrique C est

Plus en détail

UNIVERSITE DE LIEGE EXAMEN D ADMISSION AUX ETUDES D INGENIEUR CIVIL. Enoncés et solutions de l examen de première session 2012

UNIVERSITE DE LIEGE EXAMEN D ADMISSION AUX ETUDES D INGENIEUR CIVIL. Enoncés et solutions de l examen de première session 2012 UNIVERSITE DE LIEGE EXAMEN D ADMISSION AUX ETUDES D INGENIEUR CIVIL Géométrie et géométrie analytique Enoncés et solutions de l examen de première session 01 Enoncés On demandait de résoudre trois questions

Plus en détail

LE PRODUIT SCALAIRE I) COMPLEMENT ET ACTIVITES. 1) La mesure algébrique. 2) Activités. 1.1 Définition et propriétés Définition :

LE PRODUIT SCALAIRE I) COMPLEMENT ET ACTIVITES. 1) La mesure algébrique. 2) Activités. 1.1 Définition et propriétés Définition : LE PRODUIT SCALAIRE I) COMPLEMENT ET ACTIVITES 1) La mesure algébrique 1.1 Définition et propriétés Définition : Soit (D) (O,I) une droite graduée ; M et N deux points sur la droite (D) d abscisses respectifs

Plus en détail

Forme algébrique d'un complexe

Forme algébrique d'un complexe On note l'ensemble des nombres complexes. Forme algébrique d'un complexe La forme algébrique d'un nombre complexe s'écrit = x + iy où x et y sont des nombres réels et i vérifie i = 1. x est la partie réelle

Plus en détail

Le déterminant dans le plan

Le déterminant dans le plan 1 1994-95 Le déterminant dans le plan Leçon (supprimée en 1993): Définition et propriétés du déterminant de deux vecteurs du plan. Expression dans une base orthonormée. Applications géométriques. Je propose:

Plus en détail

Produit scalaire. Expressions et propriétés du produit scalaire

Produit scalaire. Expressions et propriétés du produit scalaire Produit scalaire 1ère STI2D I - Expressions et propriétés du produit scalaire 1 Définitions Le produit scalaire de deux vecteurs non nuls u et v, noté u v, est le nombre, u v = u. u.cos ( u, v. u v θ u

Plus en détail

Produit scalaire dans l espace.

Produit scalaire dans l espace. Terminale S, Espace Produit scalaire dans l espace. Produit scalaire: Définitions. Définitions du produit scalaire: Soit u et v deux vecteurs de l'espace. On appelle produit scalaire des vecteurs u et

Plus en détail

Exercices proposés : semaine n o 7

Exercices proposés : semaine n o 7 Prépa ATS Exercices proposés : semaine n o 7 I. Géométrie dans le plan 1 Soit ABC un triangle rectangle en A et H le pied de la hauteur issue de A. Montrer que : 1. BA 2 = BH BC 2. CA 2 = CH CB 3. AH 2

Plus en détail

Exercices Les nombres complexes ENONCES. DECLIC TS 2012.

Exercices Les nombres complexes ENONCES. DECLIC TS 2012. Exercices Les nombres complexes ENONCES DECLIC TS 0 ) N 8 page 8 Déclic TS Pour tout nombre complexe z, on définit le polynôme ( ) ( ) ( ) ) a) Calculer P ( ) b) Déterminer deux réels et P z = z + z +

Plus en détail

On appelle H la projection orthogonale de A sur la droite (BC).

On appelle H la projection orthogonale de A sur la droite (BC). Première S 2010-2011 Exercices sur le produit scalaire, équations de droite et de cercles Exercice 1 : Distance d'un point à une droite. On se donne une droite ( ) dont l'équation cartésienne est de la

Plus en détail

Produit scalaire, cours, première S

Produit scalaire, cours, première S Produit scalaire, cours, première S F.Gaudon 2 mai 2016 Table des matières 1 Norme d'un vecteur 2 2 Produit scalaire 2 3 Orthogonalité de vecteurs 4 4 Produit scalaire et projection orthogonale 4 5 Propriétés

Plus en détail

Première S Exercices préparation composition troisième trimestre

Première S Exercices préparation composition troisième trimestre Exercice 1 Les courbes seront tracées dans un repère orthonormal (O; i ; j ). 1) Tracer la courbe P représentative de la fonction g définie sur Ρ par g(x) = x² - x. ) On considère le polynôme P(x) = x

Plus en détail

Produit scalaire. 1 Produit scalaire de deux vecteurs. 1.1 Produit scalaire et normes. Activité : Kitesurf "planche + cerf-volant"

Produit scalaire. 1 Produit scalaire de deux vecteurs. 1.1 Produit scalaire et normes. Activité : Kitesurf planche + cerf-volant 1 Produit scalaire de deux vecteurs ctivité : Kitesurf "planche + cerf-volant" 1.1 Produit scalaire et normes Définition 1 (Norme). Produit scalaire Soit u un vecteur et et deux points du plan tels que

Plus en détail

1 ère S Exercices sur le produit scalaire dans le plan) Réponses

1 ère S Exercices sur le produit scalaire dans le plan) Réponses ère S Exercices sur le produit scalaire dans le plan) Soit CD un carré de côté a. Calculer les produits scalaires p C ; p C ; p3 CD ; p D D. Soit et deux points tels que a. On note I le milieu de [] et

Plus en détail

Produit scalaire. 1 Produit scalaire de deux vecteurs. 1.1 Produit scalaire et normes. Activité : Kitesurf "planche + cerf-volant"

Produit scalaire. 1 Produit scalaire de deux vecteurs. 1.1 Produit scalaire et normes. Activité : Kitesurf planche + cerf-volant 1 Produit scalaire de deux vecteurs ctivité : Kitesurf "planche + cerf-volant" 1.1 Produit scalaire et normes Définition 1 (Norme). Produit scalaire Soit u un vecteur et et deux points du plan tels que

Plus en détail

Chapitre 10 - Produit scalaire dans l espace - Barycentre Page 1/??

Chapitre 10 - Produit scalaire dans l espace - Barycentre Page 1/?? Chapitre 10 - Produit scalaire dans l espace - Barycentre 1 Produit scalaire dans le plan 1.1 Expressions et propriétés du produit scalaire Si les vecteurs u et v sont deux vecteurs colinéaires Définition

Plus en détail

Applications du produit scalaire

Applications du produit scalaire Applications du produit scalaire Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 014/015 Table des matières 1 Relations métriques dans un triangle quelconque 1.1 Quelques notations............................................

Plus en détail

CHAPITRE G: Produit scalaire dans l'espace

CHAPITRE G: Produit scalaire dans l'espace CHAPITRE G: Produit scalaire dans l'espace plan I - Rappels de première sur le produit scalaire dans le A) Dénitions et propriété Définition 1: - Si u et v sont deux vecteurs non nuls tel que u = AC. On

Plus en détail

I. Relations métriques

I. Relations métriques 1 sur 8 08/04/2005 22:29 LEÇON 38 : RELATIONS MÉTRIQUES ET TRIGONOMÉTRIQUES DANS UN TRIANGLE QUELCONQUE. APPLICATIONS. Niveau : Première S Prérequis : i) Produit scalaire : Définitions (par distances et

Plus en détail

1 ère S Le plan muni d un repère orthonormé

1 ère S Le plan muni d un repère orthonormé ère S Le plan muni d un repère orthonormé I. Expression analytique du produit scalaire ) Remarque préliminaire Dans tout le chapitre, O, i, est un repère orthonormé du plan P c est-à-dire vérifiant les

Plus en détail

I. Relations métriques

I. Relations métriques 1 sur 8 http://www.ilemaths.n/maths-capes-lecon-37-relation-triangle-rectang... LEÇON 37 : RELATIONS MÉTRIQUES DANS UN TRIANGLE RECTANGLE. TRIGONOMÉTRIE. APPLICATIONS Niveau : Collège (4 ème - 3 ème )

Plus en détail

Extension du produit scalaire à l espace

Extension du produit scalaire à l espace Extension du produit scalaire à l espace Table des matières 1 Rappel du produit scalaire dans le plan 2 1.1 Définitions.................................................. 2 1.2 Orthogonalité................................................

Plus en détail

Ch.5èTrigonométrie. 1ere S. LFA / Première S mathématiques Mme MAINGUY 1. I. Mesure des angles orientés de vecteurs 1/ cercle trigonométrique

Ch.5èTrigonométrie. 1ere S. LFA / Première S mathématiques Mme MAINGUY 1. I. Mesure des angles orientés de vecteurs 1/ cercle trigonométrique LFA / Première S mathématiques Mme MAINGUY 1 Ch.5èTrigonométrie 1ere S I. Mesure des angles orientés de vecteurs 1/ cercle trigonométrique définition le cercle trigonométrique de centre O est celui qui

Plus en détail

PRODUIT SCALAIRE DANS V 2

PRODUIT SCALAIRE DANS V 2 I) RAPPELLE 1) Définition du produit scalaire. 1.1 Mesure algébrique : PRODUIT SCALAIRE DANS V Soit (D) (O,I) une droite graduée ; M et N deux points sur la droite (D) d abscisses respectifs x M et x N

Plus en détail

Produit scalaire dans l'espace

Produit scalaire dans l'espace Produit scalaire dans l'espace Il y a de la géométrie dans l'espace au bac tous les ans. Dans tout ce chapitre, on se place dans un repère (O, ı, j, k ) orthonormal de l'espace. Introduction L'espace,

Plus en détail

Produit scalaire dans le plan

Produit scalaire dans le plan ème année Maths Produit scalaire dans le plan Octobre 009 A LAATAOUI Exercice n 1 La figure ci-dessous représente un rectangle ABCD tel que : AB = 5 et BC = ; un triangle ABF équilatéral et un triangle

Plus en détail