Université Pierre et Marie Curie-Paris 6 - Eléments de Mathématiques. Feuille d exercices n 4 : Calculus

Transcription

1 Université Pierre et Marie Curie-Paris 6 - Eléments de Mathématiques Feuille d exercices n 4 : Calculus Dans ce qui suit, l espace euclidien de dimension 3 est rapporté à un repère orthonormé direct (O; i, j, k). 1. Familles libres, familles liées Déterminer si les vecteurs suivants sont linéairement indépendants ou non : (a) u = (1,, 3) et v = (, 3, 1). (b) u = (, 1, 3), v = (4,, 6).. Droites (a) Déterminer une représentation paramétrique, puis un système d équations cartésiennes, de la droite D passant par le point A(1,, 1), et dirigée par le vecteur u = (1, 1, 0). De quel type de droite s agit-il, affine ou vectorielle? (b) Déterminer une représentation paramétrique, puis un système d équations cartésiennes, de la droite D passant par le point B(0, 1, ), et orthogonale au plan P d équation x y + z =. (c) Déterminer une représentation paramétrique, puis un système d équations cartésiennes, de la droite passant par les points C(0, 1, 0), et D(, 0, ). 1

2 (d) On considère la droite dont une représentation paramétrique est donnée par : x = 1 + λ y = + 3 λ z = 4 λ Donner un vecteur directeur de cette droite., λ IR 3. Plans (a) Déterminer une équation cartésienne du plan P 1 passant par le point A(1,, 1), et engendré par les vecteurs u = (1, 0, 1) et v = (1, 1, 1). (b) Déterminer une équation cartésienne du plan P passant par le point B(1, 0, 1), et orthogonal au vecteur n = (4, 5, 6). (c) Déterminer une représentation paramétrique, puis une équation cartésienne du plan P 3 passant par le point C(0, 3, 4), et engendré par les vecteurs u = (0,, 0) et v = (1, 0, 1). (d) On considère le plan vectoriel P 4 dont une représentation paramétrique est donnée par : Donner deux vecteurs engendrant P 4. x = λ + µ y = λ µ z = λ + µ, (λ, µ) IR 4. Intersections... (a) Déterminer l intersection des plans P et P d équations respectives x + y z = 3, x y z = 3 (b) Soit (a, b, c, d) (IR ) 3 IR. On considère le plan P, d équation x + y + z = d, et la droite passant par le point O et dirigée par le vecteur u(a, b, c). Donner les conditions devant être vérifiées par a, b, c, d pour que : i. P contienne ; ii. P et soient strictement parallèles.

3 Corrigé Dans ce qui suit, l espace euclidien de dimension 3 est rapporté à un repère orthonormé direct (O; i, j, k). 1. Familles libres, familles liées (a) u = (1,, 3) et v = (, 3, 1) : pour déterminer si u et v sont ou non linéairement indépendants, on cherche s il existe une combinaison linéaire non triviale de ces deux vecteurs, i.e. de la forme λ u + µ v qui soit égale au vecteur nul, avec (λ, µ) (0, 0). Supposons donc qu il existe deux réels λ et µ tels que : λ u + µ v = 0 soit : soit : λ µ 3 1 λ + µ = 0 λ + 3 µ = 0 3 λ + µ = 0 = 0 (deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils leurs composantes sont égales) ce qui conduit à : λ + µ = 0 λ + µ = 0 3 λ + µ = 0 3

4 La seule possibilité est donc : λ = µ = 0 Les vecteurs u et v sont donc linéairement indépendants («libres»). (b) u = (, 1, 3), v = (4,, 6) : on remarque que v = u : les vecteurs u et v ne sont donc pas linéairement indépendants, puisque : v u = 0 4

5 . Droites (a) La droite D passant par le point A(1,, 1) et dirigée par le vecteur u = (1, 1, 0) est une droite affine. C est l ensemble D = A + IR u = {A + λ u, λ IR} = {M(x, y, z) / x = 1 + λ, y = λ, z = 1, λ IR} i.e. l ensemble des points M de coordonnées (x, y, z) tels que x = 1 + λ y = λ z = 1, λ IR On a ainsi obtenu une représentation paramétrique, ou paramétrage, de D. En éliminant le paramètre λ, par exemple, en utilisant la première relation : λ = x 1, on en déduit : { y = λ = x + 3 z = 1 on obtient un système d équations cartésiennes de D. (b) La droite D passant par le point B(0, 1, ) et orthogonale au plan P d équation x y+ z = admet donc tout vecteur normal à P pour vecteur directeur. Le vecteur n P (1, 1, ) est normal à P. Ainsi : D = B + IR n P = {B + λ n P, λ IR} i.e. D est l ensemble des points M de coordonnées (x, y, z) tels que x = λ y = 1 λ z = + λ, λ IR On a ainsi obtenu une représentation paramétrique, ou paramétrage, de D. En éliminant le paramètre λ, par exemple, en utilisant la première relation : λ = x, on en déduit : { y = 1 x z = + x qui est un système d équations cartésiennes de D. 5

6 (c) La droite passant par les points C(0, 1, 0), et D(, 0, ) a pour vecteur directeur CD(, 1, ), par exemple. C est donc l ensemble = C + IR { CD = C + λ } CD, λ IR i.e. l ensemble des points de coordonnées (x, y, z) tels que x = λ y = 1 λ z = λ, λ IR On a ainsi obtenu une représentation paramétrique, ou paramétrage, de. En éliminant le paramètre λ, par exemple, en utilisant la première relation : λ = x, on en déduit : { y = 1 x z = x on obtient un système d équations cartésiennes de. (d) On considère la droite dont une représentation paramétrique est donnée par : x = 1 + λ y = + 3 λ z = 4 λ, λ IR est l ensemble des points de coordonnées (x, y, z) tels que : x y z = λ 3 4, λ IR Soit Ω le point de coordonnées ( 1,, 0), et u le vecteur de coordonnées (, 3, 4). est donc l ensemble des points M de coordonnées (x, y, z) tels que : u est un vecteur directeur de. M = Ω + λ u, λ IR 6

7 3. Plans (a) Le plan affine P 1 passant par le point A(1,, 1) et engendré par les vecteurs u = (1, 0, 1) et v = (1, 1, 1) est l ensemble des points M(x, y, z) tels que les vecteurs AM, u et v soient colinéaires, et donc tels que AM u = 0 et AM v = 0 soit : soit : x z = 0 qui est une équation cartésienne de P 1. (b) Le plan P passant par le point B(1, 0, 1), et orthogonal au vecteur n = (4, 5, 6) est l ensemble des points M(x, y, z) tels que : soit soit qui est une équation cartésienne de P. BM n = 0 4 (x 1) + 5 y + 6 (z 1) = 0 4 x + 5 y + 6 z 10 = 0 (c) Déterminons une représentation paramétrique, puis une équation cartésienne du plan P 3 passant par le point C(0, 3, 4), et engendré par les vecteurs u = (0,, 0) et v = (1, 0, 1). Le plan affine P 3 passant par le point C(0, 3, 4) et dirigé par les vecteurs u = (0,, 1) et v = (1, 1, 1) est l ensemble soit encore P 3 = C + IR u + IR v = { C + λ u + µ v, (λ, µ) IR } P 3 = { M(x, y, z) / x = µ, y = 3 + λ + µ, z = 4 + λ + µ, (λ, µ) IR } i.e. l ensemble des points M de coordonnées (x, y, z) tels que 7

8 x = µ y = 3 + λ + µ z = 4 + λ + µ, (λ, µ) IR On a ainsi obtenu une représentation paramétrique, ou paramétrage, de P 3. En éliminant les paramètres λ et µ, par exemple, en remarquant que : on en déduit : y z + 1 = λ z = 5 + x + y On obtient alors une équation cartésienne de P 3. (d) On considère le plan vectoriel P 4 dont une représentation paramétrique est donnée par : x = λ + µ y = λ µ z = λ + µ, (λ, µ) IR P 4 est l ensemble des points de coordonnées (x, y, z) tels que : x y z = λ 1 1 Soient u = (1, 1, ) et v = (, 1, 1). + µ 1 1, (λ, µ) IR P 4 est donc l ensemble des triplets (x, y, z) tels que : (x, y, z) = λ u + µ v, (λ, µ) IR P 4 est donc engendré, par exemple, par u = (1, 1, ) et v = (, 1, 1) Intersections... (a) Considérons les plans P et P d équations respectives x + y z = 3, x y z = 3 On vérifie que ces deux plans ne sont pas parallèles, puisque leurs vecteurs normaux n(1,, 1) et n (1, 1, 1) ne sont pas colinéaires. Leur intersection est donc la droite D dont un système d équations cartésiennes est : 1. Attention! Un plan vectoriel étant engendré par une infinité de couples de vecteurs, ce n est qu un exemple parmi d autres ; u et 3 v engendrent également P 4, etc, etc... 8

9 { x + y z = 3 x y z = 3 (b) Soit (a, b, c, d) (IR ) 3 IR. On considère le plan P, d équation x + y + z = d, et de la droite passant par le point O et dirigée par le vecteur u(a, b, c). Un vecteur normal à P est n (1, 1, 1). est l ensemble des points M(x, y, z) tels que : OM u = 0 soit et donc : x y z a b c = b x a y = 0 c y b z = 0 a z c x = Comme a, b et c sont par hypothèse non nuls, ce système est équivalent à : { b x a y = 0 c y b z = 0 (on le retrouve facilement à partir du système initial en exprimant, par exemple, x en fonction de y, et en injectant l expression ainsi obtenue dans les deux autres équations) i. Pour que P contienne, il faut déjà que soit orthogonale à n, ce qui conduit à : et donc : u n = 0 a + b + c = 0 Il suffit ensuite que P contienne un point de, par exemple, O, ce qui conduit à : d = 0 ii. Pour que soit strictement parallèle à P, il faut déjà que soit orthogonale à n, ce qui conduit à : et donc : u n = 0 a + b + c = 0 9

10 Il suffit ensuite que P ne contienne pas le point O, ce qui conduit à : d 0 10