Quantification et échantillonnage

Transcription

1 De l numérique à l De l et échntillonnge Signl physique (onde lumineuse, onde sonore) : vrition d une grndeur physique (éclirement, pression) en temps et/ou espce De l et échntillonnge Contrintes de l représenttion informtique : le temps d un processeur est discret ; les mesures doivent être représentées pr un nombre fini de bits. Signl discret : une suite de 0-. Frédéric Sur École des Mines de Nncy Lori Conversion Anlogique Numérique = échntillonnge + quntifiction Problème inverse : conversion N/A (DAC) Question : perte d informtion? /26 2/26 Exemple d échntillonnge De l Exemple de quntifiction exemple de quntifiction sur 2 bits : De l Remrque : l fréquence d échntillonnge doit être dptée u signl à numériser... Son qulité CD : 44. khz (4400 échntillons pr seconde) Source : en.wikipedi.org Son qulité CD : 6 bits Niveux de gris dns une imge : 8 bits (mis thirty shdes of gry...) 3/26 4/26

2 De l L quntifiction q 8 q 7 De l 2 3 q 6 q 5 q 4 q 3 q 2 q q 8 q 7 q 6 q 5 q 4 q 3 quntifiction uniforme q 2 4 q quntifiction dptée 5/26 Intervlles de quntifiction et niveux de reconstruction. 6/26 Bruit de quntifiction De l De l Bruit de quntifiction : e = différence entre signl source et signl quntifié. Modélistion dns le cs de l quntifiction uniforme : erreur de quntifiction uniformément distribuée sur [ δ q /2, δ q /2] Vr(e) = δq /2 δ q /2 x 2 dx = δ3 q 2 Remrque : dns le cs où on connît l distribution de probbilité du signl source, le quntifieur (dpttif) optiml est donné pr l lgorithme de Lloyd-Mx /26 8/26

3 Échntillonnge Bon cdre : espce des distributions tempérées S. De l Signux à bnde limitée et formule de Poisson De l Échntillonnge de f (distrib. tempérée ssez régulière ) toutes les secondes représenté pr l distribution : f = f (n)δ n (= f ) ( cr ) S f (n)δ n f si 0 Définition - Signl à bnde limitée Soit f S t.q. F(f ) est à support compct [ λ c, λ c ]. (f n ps de fréquence supérieure à une fréquence limite λ c ) On dit que f est à bnde limitée. Proposition - Formule sommtoire de Poisson Soit f S à bnde limitée. F( f )(y) = f (n)e 2iπny = F(f ) ( y n ) Question : Lien entre F(f ) et F( f ) = f (n)e 2iπny? (et l TFD si nombre fini?) 9/26 0/26 Conséquence de l formule de Poisson De l Illustrtion De l Soit f signl à bnde limitée, u ps de. Formule de Poisson : F( f )(y) = F(f ) ( y n ) : Spectre de f périodique de période /. Spectre obtenu en fisnt l somme des trnsltés de F(f ) u ps n/. Source : C. Gsquet & P. Witomski, Anlyse de Fourier et pplictions, Msson 990. Définition - Fréquence de Nyquist 2λ c est l fréquence de Nyquist. /26 2/26

4 Vers le théorème de Soit f un signl à bnde limitée t.q. / > 2λ c. De l de De l (-Nyquist) f L 2 (R), supp(f(f )) [ λ c, λ c ], et 2λ c Alors f (x) = ( ) x n f (n) sinc Formule de Poisson : F( f )(λ) = f (n)e 2iπnλ = ( F(f ) λ n ) (dns L 2 ) Soit χ l indictrice du segment [ /2, /2] : F(f )(λ) = f (n)χ (λ)e 2iπnλ. Rppel : sinc(x) = sin(πx) πx (sinus crdinl) /26 4/ Considértions De l Recouvrement de spectre ou lising Remrque : reconstruction multipliction pr χ dns le domine de Fourier De l Interpréttion : si on échntillonne un signl (à bnde limitée) à une fréquence supérieure u double de s plus grnde fréquence, lors on peut le reconstruire de mnière excte! Si < 2λ c... Problème prtique : ps rélisble Question : que se psse-t-il si le signl contient des fréquences supérieures à /2? Phénomène de recouvrement / repliement de spectre dns les hutes fréquences, ou lising (lis = à un utre endroit), ou lisge. Reconstruction très perturbée (exemples en TP). Solution technologique : filtrge du signl nlogique vnt échntillonnge pour éliminer les fréquences > /2. 5/26 6/26

5 Retour sur l Trnsformée de Fourier Discrète De l Alising discret > 2λc De l Nombre fini N : x n = f (n) ( f périodique), (X n ) TFD de (x n ) (= intervlle d échntillonnge ; période de f : N). On clcule (conséquence de l formule de Poisson) : ) F ( f = X k δ k/(n) k Z < 2λc /26 8/26 De l Numéristion Compct Disc Oreille humine sensible ux fréquences < Hz Donc, pour l numéristion du son : filtrge psse-bs, coupure à Hz. De l numéristion pr échntillonnge à Hz 44. khz Pourquoi 44. khz? (et ps 40 khz?) source : en.wikipedi.org/wiki/compct_disc conversion numérique nlogique pr fonction à décroissnce plus rpide que le sinus crdinl, d où des fonctions de coupure moins rides que le créneu. (d utnt moins que CNA/DAC bon mrché) Donc fréq. échntillonnge > 40 khz. 2 initilement, enregistrement sur cssette vidéo. 6 échntillons pr ligne x 294 lignes (PAL) x 50 demi-imges/sec éch. pr seconde (stéréo) 9/26 20/26

6 Photogrphie numérique Cpteur ppreil photo numérique : De l Exemple d lising (réel) () De l Échntillonnge, donc lising sur les zones de l imge présentnt des détils de hute fréquence. nécessité de plcer un filtre psse-bs devnt le cpteur (ou une optique peu piquée )...ou course ux mégpixels : cpteur de résolution supérieure à l meilleure optique (limitée de toute fçon pr l diffrction). Compromis filtre psse-bs / lising. Cnon EOS Ds 2/26 22/26 Exemple d lising (réel) (2) De l Exemple d lising (réel) (3) De l Cnon EOS 5D cf Moiré defects.php Sigm SD0 (cpteur Foveon) defects.php 23/26 24/26

7 De l De l 2 3 Propriété fondmentle du tritement des signux numériques : un signl à bnde limitée peut être représenté pr un signl discret sns perte d informtion s il est à une fréquence supérieure u double de s plus hute fréquence. sinon pprition de perturbtions dues à l lising / repliement de spectre. 4 25/26 26/26