Chapitre 2 : Fonctions affines par morceaux

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1 Lycée Paul Sabatier, y Classe de Première ES, Spécialité Chapitre 2 : Fonctions affines par morceaux C. Aupérin Télécharger c est tuer l industrie, tuons les tous Thurston Moore Dernière modification : 9 janvier

2 Chapitre 2 Table des matières 1 Fonctions et fonctions affines Rappels Fonctions affines et proportionnalité Équations et inéquations Résolution graphique d équation du type f(x) = k Interpolation linéaire 6 1

3 Chapitre 2 Cours : 1 Fonctions et fonctions affines 1.1 Rappels Définition 1. Une fonction f est un procédé qui à un élément x d un ensemble de départ fait correspondre au plus un élément y noté f(x) d un ensemble d arrivée. On dit que f(x) est l image de x par la fonction f et que x est l antécédent de f(x) par la fonction f. L ensemble de définition D f d une fonction f est l ensemble des réels possédant une image par f. La courbe représentative d une fonction f définie sur D f est l ensemble des points de coordonnées (x; f(x)) dans un repère, où x parcourt D f Exemples : Regarder sur la calculatrice l allure des courbes repésentatives des fonctions f et g suivantes : C fcg f : x x 2 + 3x 5, D f =]2; + [, g : x x, D g = R + Définition 2. Une fonction affine est une fonction de la forme : x ax + b, avec a et b réels. Exemples : u : x 3x 4, v : x 1 3 x w : x 1. Pour chacune d elles préciser leur ordonnée à l origine et leur coefficient directeur. Propriété 1. L ensemble de définition d une fonction affine est R. La courbe représentative d une fonction affine f : x ax+b est une droite, non parallèle à l axe des ordonnées, d équation y = ax + b. b est l ordonnée à l origine et a le coefficient directeur. Exemples : Regarder sur la calculatrice l allure des courbes repésentatives des fonctions u, v et w précédentes. 1

4 Chapitre 2 Remarques : Une droite parallèle à l axe des ordonnées a une équation du type x = c. Deux droites du plan (non parallèles à l axe des ordonnées) sont parallèles entre elles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur. Une fonction linéaire est une fonction affine dont l ordonnée à l origine vaut 0. Sa courbe représentative est une droite qui passe par l origine du repère. Méthodes pour tracer la courbe représentative d une fonction affine : 1. On détermine les coordonnées de deux points appartenant à la droite, on les place sur le graphique puis on les relie : Soit on détermine un premier point en se fixant par exemple une valeur de x et en calculant la valeur de y correspondante dans l équation donnée, et on procède de même pour un second point. Soit, on utilise les tables de valeurs d une calculatrice en entrant en Y1 la fonction f. 2. Sans calculer de coordonnées : On place sur l axe des ordonnées le point de coordonnées (0; b), b étant l ordonnées à l origine de la droite, On construit un deuxième point en utilisant le coefficient directeur de la droite. Si a = p q b 1 p a b q j 0 i j 0 i Si y = b Si x = c j 0 i j 0 i 2

5 Chapitre 2 Exemples : Tracer les courbes représentatives des fonctions u, v et w ci-dessus : C v C u C w Exemple : Lire sur le graphique une équation des droites (OA); (OB); (OC); (AB); (AC); (BC) A C O B Propriété 2. Soient deux points A(x A ; y A ) et B(x B ; y B ). Le coefficient directeur de la droite Différence des ordonnées (AB) est : m = = y B y A = y A y B Différence des abscisses x B x A x A x B Méthodes pour déterminer une équation de droite : 1. Par lecture graphique : On lit sur le graphique l ordonnée à l origine et le coefficient directeur. 2. Par le calcul : On choisit deux points de la droite On calcule le coefficient directeur de la droite grâce à la propriété ci-dessus On remplace a par sa valeur trouvée dans l équation y = ax + b, On remplace dans l équation ainsi obtenue x et y par les coordonnées d un des deux points On détermine alors b grâce à cette dernière équation. Exercice 1.1. Donner une équation de la droite passant par A et de coefficient directeur m A confondu avec l origine du repère et m = 1 3 A(1; 2) et m = 3 A(2; 1) et m = 5 A(1; 3) et m = 0 3

6 Chapitre 2 Exercice 1.2. Déterminer une équation des droites passant par les points A et B donnés : A(1; 1) et B( 1; 0) A(2; 1) et B(2; 5) A(3; 0) et B(5; 1) A( 4; 1) et B(0; 2) 1.2 Fonctions affines et proportionnalité Travail de l élève : Activité 2 p 272 : 1. Sur la figure ci-contre, démontrer que AI AJ = IM JB b) m) M B 2. Calculer alors IM en fonction de m et puis I M en fonction de m. (c est-à-dire f(m)). 3. Placer dans un repère les points A(2; 3) et B(5; 7). a) A I J 4. Calculer l ordonnée du point M du segment [AB], d abscisse 4. a I m b Propriété 3. Soit f une fonction affine et d sa courbe représentative dans un repère. Soient deux points A(a, f(a)) et B(b, f(b)) appartenant à d. Alors pour tout réel m, on peut calculer f(m) sans trouver l équation de la droite (AB), en se ramenant à une situation de proportionnalité. 4

7 Chapitre 2 2 Définition 3. Une fonction affine par morceaux est une fonction définie sur R ou sur un intervalle de R, possédant des expressions affines différentes selon l intervalle où se trouve la variable x. f(x) = 2x si x [0; 3] Exemples : Soit f la fonction définie sur [0; 10] par : f(x) = 9 x si x ]3; 7[ f(x) = x 2 si x [7; 10] { x = x si x < 0 La fonction valeur absolue est une fonction affine par morceaux définie sur R par : x = x si x 0 De même, la fonction définie par g(x) = x x + 5 est une fonction affine par morceaux ainsi que la fonction E(x) = partie entière de x, non seulement affine par morceaux mais constante par morceaux. On dit qu il s agit d une fonction en escalier. Exercice 2.1. TD 1 p n 1 à 9 p n 14 à 22 p n 24 à 29 p Équations et inéquations 3.1 Résolution graphique d équation du type f(x) = k Soient deux fonctionx f et g définies sur un intervalle I Méthode pour résoudre graphiquement f(x) = g(x) : On trace sur I les courbes représentatives C f et C g respectivement des fonctions f et g. Les solutions de l équation sont alors les abscisses des éventuels points d intersection de C f et C g. Exemple : Résoudre graphiquement sur [ 1; + [ l équation (x 4) = x + 1 Soient f : x (x 4) définie sur R et g : x x + 1 définie sur [ 1; + [. C f C g Donc S = {x 1 ; x 2 } x 1 x 2 5

8 Chapitre 2 Cas particulier : Quand g(x) est une constante k, la courbe représentative de la fonction g est une droite d équation y = k. Dans ce cas, déterminer sur un intervalle I les solutions de f(x) = k revient à trouver tous les antécédents de k appartenant à I. Exemple : Résoudre graphiquement sur R l équation (x 4) = 3 Soient f : x (x 4) 2 +1 et g : x 3 définies sur R. Donc S = {x 1 ; x 2 } C f x 1 x 2 C g Méthode pour résoudre graphiquement f(x) > g(x) : On trace sur I les courbes représentatives C f et C g respectivement des fonctions f et g. Les solutions de l équation sont alors les abscisses des éventuels points de C f se trouvant au dessous de C g. Exemple : En prenant les deux exemples ci-dessus, on trouve S =]x 1 ; x 2 [ dans les deux cas. Exercice 3.1. n 10 à 13 p n 31 à 39 p Interpolation linéaire Travail de l élève : TD 2 p 274 Définition 4. Lorsque l on ne connaît que quelques point de la courbe représentative C f d une fonction, l interpolation linéaire consiste à supposer que en reliant ces points de proche en proche par des segments de droite, la courbe C obtenue est voisine de la courbe C f. Remarque : Plus on a de points, plus C est proche de C f. C est ainsi que fonctionne les tableurs. Exercice 4.1. n 40 à 11 p 282 6

9 Chapitre 2 Les Annexes 7

10 Exercice 1.1. n 4 p 278 Correction DM n j -1 0 i Exercice 1.2. n 23 p x = 1 x = 1 ou x = 1. Comme le dénominaiteur de l expression de f ne peut pas être nul (et qu il s agit de la seule contrainte), f est définie sur R \ { 1; 1} 2. (a) Sur R \ { 1; 1}, on a f(x) = x2 1 x 1 = x 2 1 ( x 1)( x + 1) = x 1 x 1 7 Exercice 1.3. n 29 p279 (b) -5 x + 4 = x + 4 x x 4 x + 4 = x 4 x x 4 On peut alors dresser le tableau suivant : j i x 4 + x + 4 x 4 0 x + 4 2x + 3 2x x + 3 f(x) 3x 1 11 x + 7 = x + 1

11 On obtient alors la courbe suivante : Exercice 1.4. n 44 p j 00 i Distance Tente-Mer : x = x. Deux allers-retours constituent donc une distance de 4x. Distance Tente-Sanitaire : 300 x. Quatre allers-retours constituent une distance de x. Distance Tente-Commercial : 100 x. Deux allers-retours constituent une distance de x. Au final, le campeur aura effectué p(x) = 4x x x 2. x x x 0 x 100 x 100 x x 300 x 0 x 300 p(x) x x Le campeur doit donc planter sa tente n importe où entre 100 et 300 m de la mer, soit ente le centre commercial et les sanitaires. Il parcourera ainsi 2 km par jour.

12 Devoir surveillé n 2 (2h) Exercice 1.1. (4 points) L espace est rapporté à un repère ( O; i; j; ) k. Les questions suivantes sont indépendantes : 1. Les points A(1; 4; 6), B( 5; 2; 0), et C( 2; 3; 3) sont-ils alignés? 2. Les vecteurs i(2; 3; 1.5) et j( 3; 4; 4) sont-ils orthogonaux? 3. Les points E(2; 1; 1), F(5; 1; 2), G(4; 0; 0) et H(2; 2; 4) sont-ils coplanaires? Exercice 1.2. (6 points) La courbe ci-dessous représente une fonction affine par morceaux f définie sur [ 5; 6]. 1. Déterminer l expression de f en fonction de x. 2. Résoudre graphiquement f(x) = 1 et f(x) Retrouver ces résultats par le calcul. Exercice 1.3. (5 points) 1. Trouver l expression explicite de la fonction g définie sur R suivante : g : x 2 3x 1 4 2x Tracer la courbe représentative de cette fonction g

13 Chapitre 2 Exercice 1.4. (5 points) Le tableau suivant donne le niveau de vie moyen et le niveau de vie médian des individus en France en euros pour certaines années entre 1990 et Années Niveau de vie moyen Niveau de vie médian On note Moy(t) le niveau de vie moyen l année t et Med(t) le niveau de vie médian l année t. On se place dans un repère du plan, l axe des abscisses représente le temps avec 1 cm pour deux ans, l axe des ordonnées représente les niveaux de vie en euros, avec 2 cm pour 1000=C. 1. Placer les huit points dont les coordonnées correspondent aux couples (Année; Niveau de vie moyen) et (Année; Niveau de vie médian) 2. Tracer la courbe d interpolation linéaire de la fonction Moy associée aux points précédents, puis celle de la fonction Med 3. Par interpolation linéaire, lire sur le graphique le niveau de vie moyen en 1995 arrondi à la centaine d euros près. 4. En supposant que la tendance observée entre 2000 et 2005 se maintienne, lire sur le graphique en quelle année le montant du niveau de vie médian dépassera euros? 5. Retrouver le résultat de la question 4. par le calcul. Exercice 1.5. Bonus Donner un exemple de fonction affine par morceaux définie sur l intervalle [0; 4] et telle que l équation (E) : f(x) = α vérifie à la fois les cinq conditions suivantes : (E) n a pas de solution si α > 1 (E) n a pas de solution si α < 0 (E) a deux solutions si α = 1 (E) a trois solutions si α = 0 (E) a quatre solutions si α ]0; 1[ 11

14 Correction DS n 2 Exercice 1.1. (5 points) 1. Trois points sont alignés ssi deux des vecteurs formés par ces trois points sont colinéaires. On a : AB( 6; 2; 6) et AC( 3; 1; 9). Or 3 2 = 6, 1 2 = 2 mais Donc les vecteurs ne sont pas colinéaires et les points ne sont pas alignés. 2. Deux vecteurs u(x, y, z) et v(x, y, z ) sont orthogonaux ssi xx + yy + zz = 0. On a 2 ( 3) ( 1, 5) 4 = 0. Donc les vecteurs i et j sont orthogonaux. 3. Quatre points sont coplanaires ssi trois des vecteurs formés par les quatre points sont coplanaires. Trois vecteurs sont coplanaires ssi l un des vecteurs peut s exprimer en fonction des deux autres. On choisit par exemple les vecteurs EF(3; 2; 3), EG(2; 1; 1) et EH(0; 1; 3). Ces vecteurs ne sont clairement pas colinéaires. On cherche s il existe a et b tels que (par exemple) EF = aeg + beh 3 = 2a 2 = a b 3 = a 3b a = 1, 5 2 = 1, 5 b 3 = 1, 5 3b a = 1, 5 b = 0, 5 3 = 1, 5 3 0, 5 La troisième équation n est pas vérifiée, donc le système n a pas de solution. Les vecteurs considérés ne sont pas coplanaires. Les points E(2; 1; 1), F(5; 1; 2), G(4; 0; 0) et H(2; 2; 4) ne sont pas coplanaires. Exercice 1.2. (3 points) f(x) = 2.5x 6 Si x [ 5; 2] 1. f(x) = 2x + 3 Si x ] 2; 1[ f(x) = 2 3x + 2 Si x [1; 6] 2. On trace la droite d équation y = 1. Les solutions de l équation f(x) = 1 sont les abscisses des points d intersection de la courbe représentative de f et de cette droite. Donc S = { 2; 4, 5}. On trace la droite d équation y = 2. Les solutions de l inéquation f(x) 2 sont les abscisses des points de la courbe représentative de f situés en dessous de cette droite. S = [ 3, 2; 0, 5] [1; 6]. 3. 2, 5x 6 = 1 x = 2 or 2 [ 5; 2] donc -2 est solution sur cet intervalle. 2x + 3 = 1 x = 2 or 2 ] 2; 1[ donc -2 n est pas solution sur cet intervalle. 2 x + 2 = 1 x = 4, 5 or 4, 5 [1; 6] donc 4,5 est solution sur cet intervalle. S = { 2; 4, 5}. 3 2, 5x 6 2 x 16 5 = 3, 2. Donc [ 3, 2; 2] est solution. 2x+3 2 x 1 = 0, 5. 2 Donc ] 2; 0, 5] est solution. 2 x x 0. Donc [1; 6] est solution. Finalement S = [ 3, 2; 0, 5] [1; 6]. 3 Exercice 1.3. (5 points) 1. 3x 1 = 3x 1 3x 1 0 x 1 3 3x 1 = 3x + 1 3x 1 0 x 1 3

15 Chapitre 2 2x + 6 = 2x + 6 2x x 3 2x + 6 = 2x + 6 2x x 3 On obtient le tableau suivant : x 3 2 3x 1 6x + 2 6x x x + 6 8x x 24 8x 24 g(x) 2x x 19 2x Exercice 1.4. (4 points) On lit sur le graphique que le niveau de vie moyen en 1995 était d environ euros. 4. On lit sur le graphique que le niveau de vie médian dépassera euros en On cherche l équation de la droite d passant par les points (2000 ;15289) et (2005 ;16348). On trouve d : y = 211, 8x On cherche alors les solutions de l inéquation 211, 8x x , 8 Donc le niveau de viemédian atteindra euros en , 1. 13