Effet Doppler en cinématique non relativiste

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1 Eet Doppler en inématique non relatiiste Une soure mobile émet un signal périodique (une onde sonore ou lumineuse de réquene ; le signal perçu par un réepteur ie a une réquene diérente de. Cela onstitue l eet DLE (ou DLE-FIZEAU Eet Doppler longitudinal La soure mobile dérit une droite passant par le réepteur. ignal se propageant à la élérité Notations : est l ae dérit par le point, ae une origine onondue ae le point. = r e est le eteur-itesse de. ( r e : eteur unitaire est la itesse de propagation du signal, ou élérité. our une onde sonore dans l air atmospérique 34 m.s et pour une onde lumineuse dans le ide ou dans l air, 3,. 8 m.s. remier eemple : La soure émet des impulsions (des «bips» ae une période et une réquene =. A la date t, est au point d absisse et émet l impulsion n A la date t = t +, est au point d absisse = + et émet l impulsion n L impulsion n est reçue en à la date t = t + L impulsion n est reçue en à la date t = t + réepteur ie = t + + La période du signal perçu par le déteteur est don : = t t = + et la réquene : = eond eemple : La soure émet une signal qui est une ontion sinusoïdale du temps, de période. Au nieau de l émetteur d absisse (t = + t, le signal est de la orme ; s(t = s os (ωt + ϕ ae ω = π. (t Le signal émis à la date t est reçu en à la date t = t + = t + t + t (émission et t (réeption sont don liés par : t + = t + t' ou enore : t = + + Le signal reçu par le réepteur est don : ω t' s (t = s os + + ϕ est un ateur inérieur à, qui traduit l atténuation du signal entre et. + ω Le réepteur perçoit don un signal de la orme : s (t = s os (ω t + ϕ ae ω = Conlusion : Dans les deu as, nous aons troué : =. Cette relation est généralisable à tout signal périodique. Quelques remarques : Cette relation n est raie que dans le adre de la inématique non relatiiste, 'est-à-dire si est très inérieure à la élérité de la lumière. i <<, nous aons la orme approée : Le son émis par une soure qui se dirige ers le réepteur est perçu par elui-i à une réquene supérieure : ela orrespond bien au as < dans notre étude. Inersement le son est plus grae si la soure s éloigne ( > i = (possible pour les ondes sonores, = : toutes les impulsion arrient en même temps que la soure i < ( < et >, la soure eurte le réepteur aant les signau émis. Appliation ue une route retiligne, une automobile se déplae à 9 km/. Dérire e que perçoit un obserateur immobile. Déterminer la ariation de auteur du son perçu par et obserateur. + soure mobile

2 La auteur des sons est déinie sur une éelle logaritmique: Deu sons de réquenes et orment un interalle de ton si : og log log = log = =,5 6 éléments de réponse : A grande distane, on peut négliger le ait que la trajetoire de l automobile ne passe pas rigoureusement par l obserateur. et étant les réquenes aant et après, à grande distane : = =,85 log =,7 soit un interalle légèrement inérieur à,5 ton. y Eiste-t-il un eet Doppler transersal? La droite est, lors de l émission du signal, quasiment ortogonale à la itesse de l émetteur. Dans ette position (. igure, la distane est : = ae θ très oisin de. os θ ant que l angle θ est oisin de, os θ reste pratiquement égal à (os =,9998, e qui permet d érire : : onstant. Il est aile de ériier que dans e as, = t t = t t = En inématique lassique, il n y a pas d eet Doppler transersal. 3 as général remière approe Déomposons la itesse de la soure mobile en une omposante longitudinale //, orientée omme, et une omposante transersale. Les as étudiés préédemment nous suggèrent que seule la omposante longitudinale produit un eet Doppler. i nous déinissons l angle par : = (, r : // = os ae os > lorsque la soure se rapproe. D où : = os oure mobile Dans ette epression, est une quantité positie. Le sens du déplaement est donné par le signe de os. eonde approe soure mobile Nous supposons = r e onstant. L absisse du point est don de la orme : Le réepteur est à une distane e l ae. (t Un signal émis en à la date t est reçu en à la date t = t + = t + La date de réeption t est une ontion de la date d émission t. a dériée est : d t' ( + t os = + = + = d t + ( + t + + (t = + t et étant les périodes à l émission et à la réeption, nous pouons érire : t (t + = t (t + d t' t' (t + t' (t ' ar déinition de la dériée : = lim = lim d t Don, s la période est suisamment petite (ou la réquene suisamment grande : ignal se propageant à la élérité y = t + ' = à t + ( d t ignal se propageant à la élérité // réepteur ie + t d t' = θ à t oure mobile éepteur ie ignal se propageant à la élérité os = = os éepteur ie +

3 La relation entre les réquenes est, dans e as plus général : = os Quelques remarques Lorsque est positi, pour la même orientation de la itesse, est supérieur à π et os < : deient inérieure à. Ce résultat est onorme à l epériene que l on peut aire, au bord d un route, en éoutant le son émis par des oitures. i = (émetteur sonore supersonique, alors est ininie et =. ous les sons émis pendant une ertaine durée os arrient en même temps sur le réepteur. Celui-i perçoit alors un son très intense (le «bang» supersonique. Appliations L éart entre et dépend de os, 'est-à-dire de la projetion du eteur itesse sur l ae. L eet Dopler autorise don une mesure de la itesse radiale, 'est-à-dire de la omposante selon de la itesse. Appliations en astronomie: mesure de la omposante radiale de la itesse d une étoile. 4 éleion d un signal sur un obstale mobile aisonnons à noueau sur le as longitudinal. La soure et le réepteur sont ies et plaés en. L obstale mobile, d absisse, est animé de la itesse. (il s éloigne si >.La soure émet des impulsions ae une réquene =. signal réléi oure et signal émis bstale mobile réepteur ies (t' A la date t, émet l impulsion n. Cette impulsion est reçue en à la date t = t + (t' A la date t = t +, émet l impulsion n qui est reçue en à la date t = t + = t t représente la période qui serait mesurée par un réepteur mobile plaé en. (t' = t + (t' t (t' = + (t' (t' = + t' = + n en déduit : = Le signal réléi est don identique à un signal de période émis par une soure mobile ae une période. D après notre étude préédente (, il est reçu par le déteteur qui perçoit une période = +. Finalement, la période perçue par le déteteur est : = et la réquene est : = Une étude identique à elle du 3 montrerait que dans le as plus général représenté sur la igure, on aurait : os = osβ β signal émis bstale mobile oure et réepteur ies signal réléi Appliations mesure d une itesse : Vitesse de éiules (eu-i réléissent une onde radio de même nature qu une onde lumineuse Vitesse d éoulement sanguin (les globules réléissent une onde ultrasonore

4 Eerie sur la propagation : nde de o r Un aion de position M(t est en ol supersonique à la itesse onstante = r e. Un M obserateur immobile situé en à une distane de la trajetoire reçoit les ondes sonores qui r se propagent à la élérité. n note t l émission d un signal par l aion et t (t l instant de sa réeption. n ie les origines de açon que l aion passe en à l instant t =. n prendra : = m ; = 5 m.s - ; = 34 m.s - Déterminer la ontion t (t ; traer son allure. ourquoi l obserateur ressent une détonation (le «bang» supersonique ou onde de o à l instant t tel que dt ' dt 3 Eprimer et aluler numériquement : L instant t où l obserateur perçoit le bang. L instant t où l aion a émis les sons perçus à t. La position A de l aion à l instant t La position B de l aion à l instant où l obserateur perçoit le bang. 4 Quelle est la durée de réeption des sons émis entre t, s et t +, s. Conlure. 5 L obserateur entend-il l aion aant le bang? =? 6 Eprimer en ontion de et l angle = ( r e, B uuur. En déduire l ensemble des points reeant l onde de o à un instant donné. 7 Y a-t-il un rapport ae l eet Doppler? 8 Interpréter le sillage en V derrière un naire. A quelle ondition se orme-t-il?

5 + t t = t + Eet d aumulation : les sons émis pendant une durée t sont perçus pendant une durée t bien inérieure. 3 A = dt ' dt = + t + t ; B = ; t = ; t = t (t = ; t n remarque que l aion émet le bang aant d être à la ertiale de l obserateur mais que elui-i oit l aion s éloigner lorsqu il entend la délagration. AN : t = -3,7 s ; t = 4,3 s ; A =,85 km ; ; B =,6 km. 4 Numériquement : t (t,s t = 7,. -4 s et t (t +,s t = 7,3. -4 s ; Les sons émis pendant, s sont perçus pendant,73 ms ; 5 n oit sur la ourbe que auun son n est perçu aant t. t = sin = os β π + β = position de l aion à l instant où est émis le «bang» perçu en A β position de l aion à l instant où le «bang» est perçu en B 6 tan = = sin = ; B représentant la position de l aion à l instant où on perçoit le bang. Les points où se B troue l onde de o à et instant sont tous sur un ône de demi ouerture, dont l aion oupe le sommet. Ce ône suit l aion dans son déplaement. 7 n applique la ormule trouée pour l eet Doppler au ondes émises à l instant t en A. oit β = ( A uuur, r e ; on troue : osβ = d où une réquene apparente ininie : l énergie sonore orrespondant à un grand nombre de périodes arrie don en au même instant. 8 C est le même pénomène ; le sillage se orme si le naire a plus ite que la élérité de propagation des ondes de surae sur l eau.