INTEGRATION CHAPITRE 8 HOUPERT N. Contenus :

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1 Contenus : Définition de l intégrale d une fonction continue et positive sur un intervalle, comme aire sous la courbe Notation Théorème : si est une fonction continue et positive sur,, la fonction définie sur, par est dérivable sur, et a pour dérivée. Primitive d une fonction continue sur un intervalle Théorème : toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives Intégrale d une fonction continue de signe quelconque Linéarité, positivité, relation de Chasles Valeur moyenne Algorithmique : o Encadrement d une intégrale par la méthode des rectangles : math x 2p233 o Méthode d approximation des trapèzes : math x 3p246 o Méthode d approximation de Simpson : math x 3p246 o Etude d un algo incorrect : Declic 16p195 AP : o o o Calculer une intégrale : math x 1p263 Majorer, minorer, encadrer une intégrale : math x 2p263 Calculer un volume à l aide du calcul intégra : math x 3p264 QCM interactif Objectifs : Déterminer des primitives des fonctions continues usuelles par lecture inverse du tableau des dérivées Connaitre et utiliser les primitives de, (n entier relatif différent de 1) et pour u strictement positive,, Calculer une intégrale Utiliser le calcul intégral pour déterminer une aire Encadrer une intégrale Pour une fonction monotone positive, mettre en œuvre un algorithme pour déterminer un encadrement d une intégrale.

2 Activité 1_Lien entre dérivée et primitives 1. Calculez la dérivée de la fonction f définie par Déduisez en deux primitives de la fonction g définie par 9²9. 3. Déterminer le sens de variation de f sur. Activité 2_Usage des tableaux de primitives usuelles 1. Justifier que les fonctions suivantes possèdent des primitives sur un intervalle I que l on précisera. 2. Déterminer une primitive de f sur un intervalle contenu dans son ensemble de définition : ² ² Activité 3_Primitive et constante Soit la fonction définie sur 0, par 31 ². 7. sin 2cos Déterminer la primitive de sur 0, qui s'annule pour 1. Activité 4_Utilisation d une condition initiale Trouver la primitive de f sur I vérifiant la condition donnée 1. 1² ² 0, 1 1 Activité 5_Utilisation du tableau des primitives sin cos

3 Activité 6_ Utilisation du tableau des primitives 1. ² 2. ² 3. ² 4. ² 6. ² 7. ² ² ² 5. ² Activité 7_Primitive de fraction rationnelle Soit la fonction définie par. 1. Déterminer les réels a et b tels que, pour tout 1, 2. En déduire une primitive de sur 1,. ². Activité 8_ Utilisation du tableau des primitives ² 5. ²

4 Activité 9_Lecture grahique La courbe donnée ci dessous est la représentation graphique dans un repère orthonormal d une fonction f définie et dérivable sur. 1. Pour chacune des affirmations ci dessous indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier votre réponse : a. Toute primitive de f s annule pour 0,5. b. Toute primitive de f est décroissante sur 0 ; 0,5. 2. Parmi les courbes 1 et 2 données ci dessous, l une est la représentation graphique d une primitive de f sur. Indiquer laquelle en précisant les raisons de votre choix. Courbe 1 Courbe 2 Activité 10_Calcul de primitives Déterminez une primitive de la fonction f proposée sur l'intervalle donné : 1. ²5 0,

5 2. ² 0, 3. 0, ² 4., 5., 1 6., discuter les cas selon le signe de , 8. ² 9. 1,1 Activité 11_Primitive de fraction rationnelle On considère la fonction définie sur 4, par ² 1. Trouver trois réels a, b, et c tels que. 2. En déduire une primitive de f sur 4,.. Activité 12_Primitives de fonctions élaborées Déterminez une primitive de la fonction f proposée sur l'intervalle I donné : 1. sur 0, sur 1, 2. sur 1, tan sur,. Activité 13_Primitive avec la fonction exponentielle Déterminez une primitive de la fonction f proposée sur l'intervalle I donné : 1. sur 2. sur 3. sur

6 4. ² sur 5. sur Activité 14_Primitive d une exponentielle polynôme Soit f la fonction définie sur par 2. Déterminez les nombres tels que la fonction, définie sur, par soit une primitive de f. Activité15_Primitive Soit f la fonction définie sur par. 1. Vérifiez que pour tout de, on a :. 2. Déduisez en la primitive F de f qui s'annule pour 0. Activité 16_Calcul d intégrales simples Calculez les intégrales suivantes et l aire du domaine correspondant dans les différents repères proposés : Repère 1 : abscisse : 1 unité = 1 cm/ordonnée : 1 unité = 1 cm Repère 2 : abscisse : 1 unité = 2 cm/ordonnée : 1 unité = 1 cm Repère 3 : abscisse : 1 unité = 3 cm/ordonnée : 1 unité = 0,5 cm ² 3. 4 ² ² ² ² ²

7 Activité 17_Vrai ou Faux? 1. sin cos 0 2. ² sin sin Activité 18_Calcul d intégrale Calculez l intégrale Activité 19_Primitive de la fonction ln. (indication : 1 Soit la fonction définie sur 0; par. 1. Déterminez la dérivée de. 2. Calculez ln. Activité 20_Intégrale d une fonction rationnelle Soit la fonction définie sur 1; par ². 1. Montrez que pour tout de 1;, 4 2. Calculez ². Soit la fonction définie sur ; par ². ). 1. Trouver trois nombres réels a, b et c tels que pour tout de ;, 3 2

8 2. Calculez ². Activité 21_Intégrale d une valeur absolue 1. Etudiez le signe de ² 5 6 sur 0,7. 2. En utilisant la relation de Chasles, calculez ² 5 6. Activité 22_Intégrale et inégalités Soit la fonction définie sur par ². 1. Etudiez les variations de. 2. Démontrez que pour tout de 1; 2, Démontrez que 3. ² Activité 23_Intégrale et inégalité Etablir que. Activité 24_Valeur moyenne Soit la fonction définie sur par. Calculez les valeurs moyennes de sur 0; 2, 1; 3 1; 1. Activité 27_Suite de fonctions On considère l'application définie pour tout 0 par strictement positif., où est un entier

9 1. Déterminer les réels a, b et c tels que pour tout réel strictement positif : 2. Montrer que : ln. 3. A l'aide d'une intégration par parties, calculer :. ² Activité 28_Approximation de e On considère les réels! pour tout n entier naturel. 1. Calculer. 2. En utilisant une intégration par parties, montrer que pour tout entier naturel non nul, on a :.! 3. Montrer que pour tout n entier naturel on a : I e.! 4. Montrer que pour tout entier naturel non nul, on a : 0.! 5. En déduire la limite de la suite. Activité 29_Volume On considère le cylindre de révolution d'axe, de rayon 0 et de hauteur Pour tout 0,, déterminer l'aire de l'intersection du cylindre avec le plan perpendiculaire à 0 passant par 0,0,. 2. Retrouver la formule du volume du cylindre. On considère le cône de révolution d'axe de rayon pour sa base et de hauteur h.

10 1. Pour tout 0,, déterminer l'aire de l'intersection du cône avec le plan perpendiculaire à 0 passant par 0,0,. 2. Retrouver la formule donnant le volume du cône. On considère la sphère de centre O et de rayon. 1. Pour tout,, déterminer l'aire de l'intersection de la sphère avec le plan perpendiculaire à 0 passant par 0,0,. 2. Retrouver la formule donnant le volume de la sphère de rayon.