= (x en m et S(x) en m²) On note S(x) l aire (colorée en rouge), limitée par les trois demi-cercles de diamètres respectifs [AB], [AM] et [MB].
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- Ségolène André
- il y a 6 ans
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1 Eercice 1 : 1 Etudier le sens de variation de la fonction f définie sur R par f ( ) Eercice : Un maître nageur dispose d un cordon flottant de 360m de longueur pour délimiter un rectangle de baignade surveillée 1) Avec les notations de la figure, vérifier que l aire de la baignade est : S( ) ( 360 ) ( en m et S() en m²) ) Vérifier l égalité : ( ) 1600 ( 90) S En déduire la valeur de pour laquelle l aire de baignade est maimale Eercice 3 : On note S() l aire (colorée en rouge), limitée par les trois demi-cercles de diamètres respectifs [AB], [AM] et [MB] On suppose que AB 10 et AM ( 0 10) π 4 A) Vérifier l égalité : S( ) ( 10 ) Trouver le maimum de S() revient alors à trouver celui de f ) ( 10 ) ( B) Maimum de f() 1) Méthode algébrique : Vérifier que ( ) 5 ( 5) f et résoudre le problème posé ) Méthode géométrique : La perpendiculaire à (AB) en M coupe le demi-cercle de diamètre [AB] en H a) Montrer que MAH B b) En utilisant la tangente de ces angles, établir que f ( ) c) Résoudre alors le problème posé RFlouret
2 Eercice 4 : Le but du problème est de rechercher si, parmi les rectangles inscrits dans un cercle, il en est qui sont d aire maimale On désigne par C le cercle, O son centre et R son rayon A) Approche 1 On choisit comme variable la moitié de l un des côtés du rectangle 1) Etablir que les dimensions du rectangle sont : et R ) En déduire que le problème posé revient à chercher le maimum de la fonction f définie sur[ 0 ; R] par : 4 R f ( ) Remarque : Devant l aspect peu engageant de la formule eplicite, envisageons une autre approche RFlouret
3 B) Approche On choisit comme variable la distance d un sommet à la diagonale ne le contenant pas Eprimer l aire du rectangle et montrer qu elle est maimale lorsque R Evaluer cette aire et préciser la forme du rectangle obtenu RFlouret
4 Corrigé 1 : 1 1 On a f ( ) f ( ) f est donc paire Nous pouvons nous limiter à l intervalle[ 0 ;+ [ ( ) Soient et ' deu réels positifs quelconques tels que On en déduit que [ 0 ;+ [ < ' + < ' puis < ' On a donc Du fait que f soit paire, nous pouvons en déduire le tableau de variation : < ' c est-à-dire f ( ' ) < f ( ) f est donc décroissante sur f() O + 1 Remarque : vous verrez plus tard (ou pas ) que cette fonction est la fonction arctan Corrigé : 1) La longueur du cordon en mètre est + y Comme + y 360, on en déduit que y 360 L aire du rectangle est : y ( 360 ) ) On a ( 90) ( 90) (360 ) S( ) Clairement, S() sera maimale lorsque ( 90) 0 c est-à-dire 90 et cette aire maimale est de 1600m² Le rectangle correspondant a pour dimensions 90m et 10m Corrigé 3 : π A) L aire du demi-cercle de diamètre [AM] est On a MB AB AM 10 donc l aire du demi-cercle de diamètre [MB] est π 10 L aire du demi-cercle de diamètre [AB] est On en déduit que : 5π π S( ) π (10 ) 100π π 5π 100π + 0π π 0π π π (10 ) π (10 ) 4 RFlouret
5 B) 1) 5 ( 5) ( 10 ) f ( ) Ainsi, f() sera maimale lorsque ( 5) 0c est-à-dire 5 ) a) H appartient au demi-cercle de diamètre [AB] donc le triangle AHB est rectangle en H AHB est un triangle rectangle en H On a donc AHM π B En utilisant le fait que la somme des angles d un triangle est égale à π, on en déduit que MAH π π π + B Ainsi, MAH B b) On a tan(mah) et tan( B) AM MB 10 Comme, on en déduit que tan(mah)tan(b) Ainsi, 10 donc (10 ) f ( ) c) La question B) 1) nous permet de conclure Ainsi, M doit être le milieu de [AB] Corrigé 4 : 1) Avec les notations de la figure, on a clairement Aussi, on a OD R On applique le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle OHD pour obtenir : OD HD HD OH OD R OH + HD Comme HD 0, on en déduit que HD R puis que CD HD R ) On a A ABCD R 4 R Ainsi, l aire sera maimale lorsque f() sera maimale Remarque : Dès l année prochaine, des outils supplémentaires vous permettront d étudier facilement ce genre de fonction RFlouret
6 B) On applique le théorème de Pythagore dans les triangles rectangles ABD, AHO et AHD pour obtenir : BD AB + 4R AB + (1) OA AH + HO donc R + HO () AH + HD + HD (3) On déduit de () que HO R donc HO R Comme [ HD] O, on a DH HO + OD donc DH R + R A partir de (3), on en déduit que ( ) R( R + R ) Ainsi, R( R + R ) + R + R + R + R + R R donc (1) nous donne AB 4R 4R R( R + R ) R( R R ) AB R( R R ) Ainsi, On a A ABCD AB A A A ABCD ABCD ABCD 4R R ( + R ) R( R R ) R R ( R R + ) L aire est donc maimale lorsque R et vaut R Le rectangle obtenu est alors un carré RFlouret
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